【原】代数综合之一元二次方程的判别式，它可解决更加复杂的问题！

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某学习小组的同学在学完一元二次方程后，发现配方法不仅可以解决一元二次方程，还可以用来求一次二项式的最值；他们对最值问题产生了浓厚兴趣，决定乾深入的研究，下面是该学习小组收集的素材，汇总如下，请根据素材帮助他完成相应任务：

关于最值问题的探究
素材1	“主元法”是指在有多个字母的代数式或方程中，选取其中一个字母为主元(未知数)，将其它字母看成是常数，这样可以把一些陌生的代数式或方程转化为我们熟悉的代数式或方程.例如：当a≠0时，方程ax2+2a-1=0可以看作关于x的一元一次方程，但若把a看成“主元”,x看作常数，则原方程可化为：(x2+2)a-1=0,这就是一个关于a的一元一次方程了.
素材2	对于一个关于x的二次三项式ax2+bx+c=0(a≠0),除了可以利用配方法求该多项式的最值外，还有其他的方法，比如：令ax2+bx+c=y(a≠0),然后移项可得：ax2+bx+(c-y)=0，再利用根的判别式来确定y的取值范围，这一方法称为判别式法.
问题解决
任务1	感受新知：用判别式法求3x2+7x+4的最小值
任务2	探索新知：若实数x，y满足(x-3)2+y2=6,求的最大值. 对于这一问题，该小组的同学有大致的思路，请你帮助他们完成具体计算：首先令,将y=kx代入原式得________;将新得到的等式看作关于字母_____(填x，y，k)的一元二次方程，利用判别式可得的最大值为______
任务3	应用新知：如图，在△ABC中，∠C=60°，AB= ，记BC=a，AC=b,当3a+b取最大值时，求此时b的值.

解：任务1：令y=3x²+7x+4,得关于x的一元二次方程3x²+7x+(4-y)=0，△=7²-4×3(4-y)≥0得y≥-

任务2：y=kx代入原式得(x-3)²+(kx)²=6整理得(1+k²)x²-6x+3=0,△=36-4×3(1+k²)≥0得，故的最大值为

任务3：过点B作BD⊥AC于点D，易知CD=，AD=

,BD=a-,由勾股定理得即有，设k=3a+b得代入方程得整理得，△=得-26≤k≤26,故3a+b的最大值为26，此时

，得b=5，即3a+b取最大值时，b=5

点评：题目以一元二次方程的判别式为背景，解决了二次函数的最值问题，解决了类似比值""的最值问题，最后解决了以几何问题为背景的3a+b的最值问题.此题可以很好的开阔同学们的视野，增加同学们解决问题的思路.

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