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学霸数学，让你更优秀！ 1.综合与探究 如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，AE与BF交于点P (1)【特例感知】 如图(1),若四边形ABCD是正方形，当∠APB=∠D时，则线段AE与BF的数量关系是______ (2)【深入探究】 如图(2)，若四边形ABCD是菱形，且∠APB=∠D，则线段AE与BF满足怎样的数量关系？请证明你的猜想.关于此问，数学兴趣小组给出如下两种解决思路，请选择其中一种思路解决问题.
(3)【类比迁移】 如图(3)若四边形ABCD是菱形，E为BC的中点，∠APB=∠C=60°，请求出 (4)【联系拓广】 如图(4)在平行四边形ABCD中，AD=3，AB=4，∠C=60°，F是CD边的中点，当点E在直线BC上运动，且直线AE与直线BF所夹的锐角为60°时，请直接写BE的长.
解：(1)AE=BF,(十字架模型)，可证△ABE≌△BCF
(2)证明： 方法一：在BC上取点M使AM=AB，则∠ABM=∠AMB ∵∠BCF+∠ABM=180°，∠AME+∠AMB=180° ∴∠AME=∠BCF ∵∠APB=∠D，∠APB=∠FBC+∠PEB，∠FBC+∠BFC=180°-∠C=∠D ∴∠AEM=∠BFC ∵AB=BC ∴AM=BC ∴△AME≌△BCF ∴AE=BF
方法二：在CB的延长线上取点N使AN=AE，则∠ANE=∠AEN ∵∠APB=∠D，∠APB=∠FBC+∠AEN，∠FBC+∠BFC=180°-∠C=∠D ∴∠AEN=∠BFC ∴∠ANB=∠BFC ∵∠C=180°-∠ABC,∠ABN=180°-∠ABC ∴∠ABN=∠BCF ∴△ABN≌△BCF ∴AN=BF ∴AE=BF (3)方法一：在BC上取点G，使CG=CF,连接FG ∵∠C=60° ∴△GCF为等边三角形 ∴∠CGF=60°，CF=GC=GF ∴∠BGF=120° ∵∠APB=∠PBG+∠PEB=60°，∠PBG+∠BFG=60° ∴∠AEB=∠BFG ∴△ABE~△BGF ∴ ,设AB=2，GC=m，则BG=2-m，则有
方法二：在AB延长线上取点G使BG=BE，连接GE， ∵∠ABC=120° ∴∠EBG=60° ∴△BGE为等边三角形 ∵∠APB=∠PBE+∠PEB=60°，∠PEB+∠BAE=60° ∴∠PBE=∠BAE ∵∠G=∠C=60° ∴△AEG~△BFC ∴ ，设AB=2，得 (4)①如图，当点E在BC的延长线上时， 方法一：在BC上取点G使CG=CF=2， 则△BFG~△AEB, 方法二：在AB延长线上取点H使BG=BE，连接EH， 易知△AEH~△BFC，
②如图，当点E在CB延长线上时，延长BF交AD延长线于点I，先得BF=
综上所述：BE=8或 点评：题目以正方形中的十字架模型开头，对四边形中进行综合探究，从全等到相似，从直观图到学生自主画图解决问题，在难度上有一个较好的梯度，作为压轴题，对学生要求较高，速度要快、辅助线要想到、画图要相对准确.从题中明显可以找到2024年深圳中考数学压轴题的影子. 2025版来了！经过了不断的积累和沉淀，不断对中考数学题型的研究与总结，《中考压轴专题》隆重推出，帮助同学们提升实力.本书包含6个大专题，每个专题下包含多个考点和题型，力求覆盖所有压轴题型.题目取自中考真题、平时模拟真题中的压轴题、经典题，可帮助同学们精准训练，提升解题能力.
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