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封面｜阿喀琉斯与乌龟🐢 来自 Hein de Haan大家好，我是科学羊。在一个阳光明媚的日子里，一场看似荒诞的比赛正在进行。挑战者是一只聪明的乌龟，而对手是希腊神话中以速度闻名的阿喀琉斯。听起来毫无悬念？ 但事情没那么简单。 “你想和我比赛？”阿喀琉斯轻蔑地问道，“我是最快的，你却是公认的慢动物，这根本没有悬念。” 乌龟却不以为然：“那当然，但如果你让我先跑10米，我们的比赛可能会有趣得多...” 阿喀琉斯觉得无妨，便欣然同意。 比赛开始后，乌龟一边跑一边说道：“你要追上我，得先跑完我领先的这10米，对吧？ 可是当你跑完10米时，我早就又向前爬了一米。 然后你还要追这一米，而这时我又爬到了更前方。这样下去，你永远也追不上我！” 这个看似荒谬的逻辑，让阿喀琉斯陷入了困惑。 但直觉告诉我们，怎么可能....他一定能追上乌龟。 问题是，乌龟貌似没有错，但它的数学推理错在哪里？
乌龟逻辑的漏洞：无限循环的终点为了弄清问题，我们可以用数学建模来解析（如上图所示）。 假设阿喀琉斯的速度是乌龟的10倍，那么乌龟每爬行1米时，阿喀琉斯就能跑10米。
于是，阿喀琉斯需要1秒就能追上乌龟领先的10米，而在这1秒里，乌龟不过前进了1米。 随后阿喀琉斯只需0.1秒追上这一米，再用0.01秒追上下一段距离……如此循环下去，尽管时间间隔无限递减，总的时间是有限的，通过数学计算，准确的答案实际是10/9秒，也就是1.1111....秒。 乌龟的逻辑问题就在于对“无限”的误解，它是对这个理论数字的误解。 虽然这个过程看似无穷无尽，但每一步所需的时间越来越短，累加起来不过是有限值。 希尔伯特酒店的无限客人奇想如果说乌龟与阿喀琉斯的比赛仅仅是个开胃菜，那么“希尔伯特酒店”的故事则为我们打开了通往无限悖论的奇幻之门。 想象一个拥有无限房间的酒店，每个房间都标着1、2、3……以此类推。
某天，这家酒店客满了——每个房间都住着客人。 但这时，又来了一个新客人。酒店经理灵机一动，命令每位住客搬到下一个房间：住在1号房的客人搬到2号房，2号房的客人搬到3号房，以此类推。 如此一来，1号房空了出来，新客人有了住处！ 这还没完。 一辆载有100名乘客的大巴车到达了酒店。经理再次动用同样的方法：让每位住客搬到自己当前房间号加100的房间，腾出前100个房间给大巴上的乘客。 于是，每位新来的乘客也都妥善安顿。
一辆无限长的大巴车 问题逐渐升级。 一辆无限长的大巴车到达，每个座位都有一个编号：1、2、3……经理这次想了个新办法，把每位现有住客搬到房间号为他们当前房号的两倍的房间（即从n号房搬到2n号房），让所有奇数号房间腾空。 这样，大巴上的乘客就可以分别入住这些奇数号房间：1号座位的乘客入住1号房，2号座位的乘客入住3号房，以此类推。 然而，真正的挑战来自无穷的“层级”。 假如无数辆无限大巴车同时抵达，每辆车上也有无限多的乘客。 酒店经理依旧有办法：为每辆大巴分配一个质数，例如第1辆车分配质数3，第2辆车分配质数5，第3辆车分配质数7……再用这些质数的幂来分配房间号。 如此，所有乘客都能找到唯一的房间。 不过，并非所有无限都是可以这样安排的。 例如，如果某辆大巴上的乘客是以无限长小数（如0.111111…、0.121212…）编号的，那么即使酒店有无限房间，也无法容纳这些乘客。 这种无限被称为“不可数无限”，与前面提到的“可数无限”截然不同。 圣彼得堡悖论：无限中的收益与风险无限悖论不仅出现在空间安排中，也常常在概率与收益的计算中让人抓狂。 想象一个赌局：抛一枚硬币，如果第一次出现反面，你赢2美元；如果第一次是正面，接着再抛，直到出现反面，此时奖金翻倍。例如，第二次出现反面时，你赢4美元；第三次出现反面时，你赢8美元……这个游戏的预期收益是无限的！ 然而，大多数人不会愿意支付高昂的费用来参与这个游戏。 为什么？ 因为人类对收益的感知并非线性增长。 换句话说，赢得100美元确实让人兴奋，但如果已经拥有10000美元，再赢100美元的兴奋感会明显降低。 这种现象被称为“边际效用递减”，在数学上可以用对数函数（如ln）来衡量货币的实际价值。 尽管如此，圣彼得堡悖论依旧提醒我们，面对“无限”的收益预期时，人类的直觉往往会被复杂的数学概念所挑战。 总结： 从乌龟与阿喀琉斯到希尔伯特酒店，再到圣彼得堡悖论，我们一路探索了无限的奥秘。 无限可以是可数的，也可以是不可数的，它可以带来无穷的收益，也可能让人陷入悖论。 通过这些看似荒谬的故事，我们不禁感叹：无限不仅是一种数学概念，更是一扇通向思维深处的大门。无论是科学家、哲学家，还是普通人，每个人都能从中发现属于自己的奇妙旅程。 好，今天就先这样啦～ 科学羊🐏 2024/11/28 祝幸福~ 「感恩关注，科学羊持续为您带来最好的科普知识」 |
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