【基础数学】数学分析Ⅲ：微分形式简介

taotao_2016 2024-12-19

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为了便于理解，我们先从数学分析的角度，而不直接从流形的角度来引入微分形式.

一、微分形式

二、微分形式的外积

三、外微分

一、微分形式

（一）一阶微分形式

设 $f(\boldsymbol x) = f(x_1,x_2\cdots,x_n)$ 是定义在 $\mathbb R^n(n\geqslant 2)$ 中的一个可微函数，则它的微分是

$\displaystyle\mathrm{d}f=\sum_{i=1}^n\frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial x_i}\mathrm{d}x_i.$

现在抛开微分的几何意义，来观看右边的表达式，可以认为 $\displaystyle\sum_{i=1}^n\frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial x_i}\mathrm{d}x_i$ 是 $\mathbb R^n$ 中点 $\boldsymbol x$ 处的一个关于 $(\mathrm dx_1,\mathrm dx_2,\cdots,\mathrm dx_n)$ 的线性组合. 因此，我们可以将 $(\mathrm dx_1,\mathrm dx_2,\cdots,\mathrm dx_n)$ 看作一组基，对给定 $\mathbb R^n$ 中的一个区域 $D$ ， $D$ 内连续可微函数的全体 $C^1(D)$ 在这组基上的线性组合

$\begin{aligned} \displaystyle\sum_{i=1}^n&a_i(\boldsymbol{x})\mathrm{d}x_i\\&(a_i(\boldsymbol{x})\in C^1(D), i=1,2,\cdots,n) \end{aligned}$

称为 $D$ 内的一个一次微分形式或1-形式，一般用 $\omega,\eta$ 来记之. 所有内的1-形式的全体记为 $\varLambda^1(D)$ . 固定区域 $D$ 后，也直接记为 $\varLambda^1$ .

在

\varLambda^1

内，我们可以自然地定义加法与数乘.

\displaystyle\omega_{1}+\omega_{2}=\sum_{i=1}^{n}\left(a_{i}^{1}(\boldsymbol{x})+a_{i}^{2}(\boldsymbol{x})\right) \mathrm{d} x_{i} \in \varLambda^{1}

\displaystyle\lambda \omega=\sum_{i=1}^{n}\left(\lambda a_{i}(\boldsymbol{x})\right) \mathrm{d} x_{i} \in \varLambda^{1},

不难验证，上述两种运算满足一个线性空间所要求的运算定律，从而

\varLambda^1

构成一个线性空间.

（二）二次微分形式

进一步，在

(\mathrm dx_1,\mathrm dx_2,\cdots,\mathrm dx_n)

中任取2个组成二元有序元，记为

\mathrm dx_i\wedge\mathrm dx_j

，称为

\mathrm dx_i

与

\mathrm dx_j

的外积（暂时把它看作一种形式记号）.

仿照向量的外积，规定

\begin{aligned} \mathrm dx_i\wedge\mathrm dx_j = -\mathrm dx_j\wedge\mathrm dx_i,\quad \mathrm dx_i\wedge\mathrm dx_i =0,\\ i,j = 1,2,\cdots,n.\end{aligned}

因此有

\mathrm C^2_n

个有序元

\mathrm dx_i\wedge\mathrm dx_j,\quad 1\leqslant i<j\leqslant n.

同

\varLambda^1

的构造类似，以这些有序元为基就可以构造一个

C^1(D)

上的向量空间

\varLambda^2

\varLambda^2

的元素称为二次微分形式，简称2-形式. 于是

\varLambda^2

的元素就可以表为

\displaystyle\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}g_{ij}(\boldsymbol x ) \mathrm{d}x_{i} \wedge \mathrm{d}x_{j}.

这称为2-形式的标准形式.

（三）

k

次微分形式

进一步，现对任意的

k\ (1 <k\leqslant n)

，在

(\mathrm dx_1,\mathrm dx_2,\cdots,\mathrm dx_n)

中取

k

个元素，将其形式地记成

\mathrm dx_{i_1}\wedge\mathrm dx_{i_2}\wedge\cdots\wedge\mathrm dx_{i_k}

，这里

\wedge

暂且作为一个形式记号. 然后规定

\begin{aligned} \mathrm{d} x_{i_{1}} & \wedge \cdots \wedge \mathrm{~d} x_{i_{j}} \wedge \mathrm{~d} x_{i_{j+1}} \wedge \cdots \wedge \mathrm{~d} x_{i_{k}} \& =-\mathrm{d} x_{i_{1}} \wedge \cdots \wedge \mathrm{~d} x_{i_{j+1}} \wedge \mathrm{~d} x_{i_{j}} \wedge \cdots \wedge \mathrm{~d} x_{i_{k}} \end{aligned}

而且如果

i_1,i_2,\cdots,i_k

有两个是相同的，则外积等于0. 因此我们有

\mathrm C^k_n

个有序元

\mathrm{d}x_{i_1}\wedge\mathrm{d}x_{i_2}\wedge\cdots\wedge\mathrm{d}x_{i_k}\quad(1\leqslant i_1<i_2<\cdots<i_k\leqslant n).

我们将以这

\mathrm{C}^k_n

个有序元作为基并且系数在

{C}^1(D)

的线性空间记为

\varLambda^k

\varLambda^k

中的元素称为

k

次微分形式（differential form of degree

k

），简称

k

-形式（

k

-form）. 一般我们还是用

\omega,\eta

等来记它们. 从定义知道，对于

\forall \omega\in\varLambda^k

有如下表达式

\displaystyle\omega=\sum_{1\leqslant i_1<i_2<\cdots<i_k\leqslant n}a_{i_1i_2\cdots i_k}(\boldsymbol{x})\mathrm{d}x_{i_1}\wedge\mathrm{d}x_{i_2}\wedge\cdots\wedge\mathrm{d}x_{i_k},

其中

a_{i_1i_2\cdots i_k}(\boldsymbol{x})\in C^1(D)

\omega

的这种表示称为它的标准形式.

（四）特殊的例子

特别地，我们将

C^1(D)

记为

\varLambda^0

，即

\varLambda^0

是

D

内连续可微函数的全体，它的基是

f(\boldsymbol x)= 1

，从而它是一维线性空间.

另外，我们记

0

为任意次零微分形式.

当

k=n

时，

\varLambda^n

只有一个基

\mathrm dx_{1}\wedge\mathrm dx_{2}\wedge\cdots\wedge\mathrm dx_{n}

，从而

\varLambda^n

也是一维线性空间.

在 $\mathbb R^2$ 中可记 $(x_1,x_2)=(x,y)$ . 在 $\mathbb R^3$ 中，我们记 $(x_1,x_2,x_3)=(x,y,z)$ . 例如，在 $\mathbb R^3$ 中设 $\omega\in\varLambda^2$ ，则 $\omega$ 的标准形式为

其中 $P,Q,R$ 是 $\mathbb R^3$ 中的连续可微函数.

二、微分形式的外积

（一）定义

现在把

\mathrm dx_i\wedge\mathrm dx_j

中的

\wedge

理解为一种运算. 事实上，外积运算建立了不同次微分形式空间的联系.

特殊地，先考虑任意一次微分形式

\omega,\eta\in\varLambda^1

：

\omega=a_{1}\left(\boldsymbol x\right)\mathrm{d}x_{1}+a_{2}\left(\boldsymbol x\right)\mathrm{d}x_{2}+\cdots+a_{n}\left(\boldsymbol x\right)\mathrm{d}x_{n},

\eta=b_{1}\left(\boldsymbol x\right)\mathrm{d}x_{1}+b_{2}\left(\boldsymbol x\right)\mathrm{d}x_{2}+\cdots+b_{n}\left(\boldsymbol x\right)\mathrm{d}x_{n},

定义

\omega

与

\eta

的外积是

\begin{aligned} \omega\wedge\eta & =\sum_{i,j=1}^na_i(\boldsymbol x)b_j(\boldsymbol x)\mathrm{d}x_i\wedge\mathrm{d}x_j \\[1.5ex] & =\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}(a_{i}(\boldsymbol x)b_{j}(\boldsymbol x)-a_{j}(\boldsymbol x)b_{i}(\boldsymbol x))\mathrm{d}x_{i}\wedge\mathrm{d}x_{j} \\[1.5ex] & =\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n} \begin{vmatrix} a_i(\boldsymbol{x}) & a_j(\boldsymbol{x}) \\[1.5ex] b_i(\boldsymbol{x}) & b_j(\boldsymbol{x}) \end{vmatrix}\mathrm{d}x_i\wedge\mathrm{d}x_j, \end{aligned}

它是

\varLambda^2

中的元素.

一般地，设

\begin{aligned} & \omega=\sum_{1 \leqslant i_1<i_2<\cdots<i_p \leqslant n} a_{i_1 i_2 \cdots i_p}(\boldsymbol{x}) \mathrm{d} x_{i_1} \wedge \mathrm{~d} x_{i_2} \wedge \cdots \wedge \mathrm{~d} x_{i_p} \in \wedge^p, \\[2ex] & \eta=\sum_{1 \leqslant j_1<j_2<\cdots<j_q \leqslant n} a_{j_1 j_2 \cdots j_q}(\boldsymbol{x}) \mathrm{d} x_{j_1} \wedge \mathrm{~d} x_{j_2} \wedge \cdots \wedge \mathrm{~d} x_{j_q} \in \wedge^q, \end{aligned}

则

\begin{aligned} \omega \wedge \eta= & \sum_{\substack{1 \leqslant i_1<i_2<\cdots<i_p \leqslant n \1 \leqslant j_1<j_2<\cdots<j_q \leqslant n}} a_{i_1 i_2 \cdots i_p}(\boldsymbol{x}) a_{j_1 j_2 \cdots j_q}(\boldsymbol{x}) \\[1.5ex] & \cdot \mathrm{d} x_{i_1} \wedge \mathrm{~d} x_{i_2} \wedge \cdots \wedge \mathrm{~d} x_{i_p} \wedge \mathrm{~d} x_{j_1} \wedge \mathrm{~d} x_{j_2} \wedge \cdots \wedge \mathrm{~d} x_{j_q} \in \wedge^{p+q}. \end{aligned}

（二）性质

(1) 设

f_{1},f_{2}\in\varLambda^{0},\omega_{1},\omega_{2}\in\varLambda^{p},\eta\in\varLambda^{q}

，则有

(f_{1}\omega_{1}+f_{2}\omega_{2})\wedge\eta=f_{1}\omega_{1}\wedge\eta+f_{2}\omega_{2}\wedge\eta.

(2) (反对称性) 设

\omega\in\varLambda^{p},\eta\in\varLambda^{q}

，则有

\omega\wedge\eta=(-1)^{p+q}\eta\wedge\omega.

(3) 设

\omega,\eta,\theta

是任意三个微分形式，

\omega\wedge(\eta\wedge\theta)=(\omega\wedge\eta)\wedge\theta.

例设

\begin{pmatrix} x \y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} x(u,v) \y(u,v) \end{pmatrix}

是

D\subset \mathbb R^2

到

\varOmega\in\mathbb R^2

的

C^1

同胚映射，求

\mathrm d x\wedge\mathrm d y

关于

\mathrm d u\wedge\mathrm d v

的表示.

解由微分定义

\displaystyle\mathrm{d}x=\frac{\partial x}{\partial u}\mathrm{d}u+\frac{\partial x}{\partial v}\mathrm{d}v,\quad\mathrm{d}y=\frac{\partial y}{\partial u}\mathrm{d}u+\frac{\partial y}{\partial v}\mathrm{d}v,

因此

\begin{aligned} \mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y & =\left(\frac{\partial x}{\partial u}\mathrm{d}u+\frac{\partial x}{\partial v}\mathrm{d}v\right)\wedge\left(\frac{\partial y}{\partial u}\mathrm{d}u+\frac{\partial y}{\partial v}\mathrm{d}v\right) \\[2ex] & =\left(\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial u}-\frac{\partial v}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial u}\right)\mathrm{d}u\mathrm{d}v=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\mathrm{d}u\wedge\mathrm{d}v. \end{aligned}

三、外微分

微分形式的外微分是一个重要的运算，利用它可以将许多我们学过的重要定理统一起来.

（一）定义

下面我们先对

\mathbb R^\ (n\geqslant2)

中区域

D

内的微分形式引进外微分这一概念.

定义3.1.1 设 $\omega∈\varLambda ^k\ (1\leqslant k\leqslant n)$ ，其形式为
$\displaystyle\omega=\sum_{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\cdots<i_{k}\leqslant n}a_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}(\boldsymbol{x})\mathrm{d}x_{i_{1}}\wedge\mathrm{d}x_{i_{2}}\wedge\cdots\wedge\mathrm{d}x_{i_{k}},$
称 $k+1$ 次微分形式
$\displaystyle\sum_{1\leqslant i_1<i_2<\cdots<i_k\leqslant n}\left(\sum_{j=1}^n\frac{\partial a_{i_1i_2\cdots i_k}(\boldsymbol{x})}{\partial x_j}\mathrm{d}x_j\right)\wedge\mathrm{d}x_{i_1}\wedge\mathrm{d}x_{i_2}\wedge\cdots\wedge\mathrm{d}x_{i_k}$
为 $\omega$ 的外微分，记为 $\mathrm d\omega$ .

显然，当

\omega\in \varLambda^n

时，

\mathrm d\omega =0

当

\omega\in\varLambda^k

，且

\omega

在

\varLambda^k

的基元素前面的系数函数是

D

内的

C^1

函数时，称

\omega

是

C^1

微分形式，这时

\mathrm d\omega

的系数仅在

D

内连续. 若要讨论二次外微分

\mathrm d(\mathrm d\omega)\equiv\mathrm d^2\omega

，则要假定

\omega

是

C^2

微分形式，即

\omega

中在基前面的系数函数在

D

内具有各个二阶连续偏导数.

（二）性质

由定义直接知道外微分具有下述性质：

(1) 设

\omega_1,\omega_2\in \varLambda^k

，则

\mathrm d(\omega_1+\omega_2) = \mathrm d\omega_1+\mathrm d\omega_2.

(2) 设

\omega\in \varLambda^k,\ \eta\in \varLambda^l

，则

\mathrm d(\omega\wedge\eta) = \mathrm d\omega\wedge\eta + (-1)^k\omega\wedge\mathrm d\eta

(3) 当

\omega \in \varLambda^k

，且

\omega

是

C^2

微分形式时，

\mathrm d(\mathrm d\omega) = \mathrm d^2\omega = 0

下面求一些微分形式的外微分.

(1) 设

\omega=P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y,

\displaystyle\mathrm{d}\omega=\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y.

(2) 设

\eta=P(x,y,z)\mathrm{d}x+Q(x,y,z)\mathrm{d}y+R(x,y,z)\mathrm{d}z,

\begin{aligned} \mathrm{d}\eta & =\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\mathrm{d}z\wedge\mathrm{d}x \\[2ex] & +\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y. \end{aligned}

(3) 设

\theta=P(x,y,z)\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z+Q(x,y,z)\mathrm{d}z\wedge\mathrm{d}x+R(x,y,z)\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y,

则

\displaystyle\mathrm{d}\theta=\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z.

（三）统一的Stokes公式

我们曾指出，给了 $\mathbb R^3$ 中的一个微分形式，我们很清楚它在 $\mathbb R^3$ 中什么样的子集上可积分. 对于一个几何体 $D$ （闭区域、曲面、曲线等），由上述外微分的表达式，Green公式、Gauss公式和Stokes公式可以统一地写成

\displaystyle\int_D\mathrm d\omega = \int_{\partial D}\omega,

其中

\omega

是

\overline D

上的一个微分形式，

\partial D

取正向. 这个公式也称为Stokes公式. 尽管如此，任何积分公式最后的计算以及它们的证明都必须要用到牛顿-莱布尼茨公式，所以人们还是称牛顿-莱布尼茨公式为微积分基本定理（fundamental theorem of calculus）.

另外，当 $n\geqslant4$ 时，微分形式具有更多的形式，因此在 $\mathbb R^n$ 中具有更多可以讨论积分问题的子集. 关于这些问题在微分流形课程中将做系统的介绍，在这里我们就不展开这方面的内容了.

参考文献

陈纪修、於崇华、金路，2019：《数学分析（下册）》第三版，高等教育出版社。

陈维桓，2017：《微分几何》第二版，北京大学出版社。

伍胜健，2010：《数学分析（第三册）》，北京大学出版社。

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