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据说现在的高中数学已经开始涉及初步的微积分和概率论了，真是一代更比一代强啊！想我们那会可都是上了大学才开始学的。而说到这不得不吐槽一下我们那一代学习微积分的痛苦。 微积分的出现无论在数学发展史上还是学校的教学上都是一个重要转折，因为他标志着数学进入了高等阶段，属于上了一个大台阶。而这必然导致学生在理解上有一个很大的转弯、要经历一个很不容易的阶段。 所以教材怎么编写、老师怎么教授对于初学微积分的同学来讲非常重要。然而可惜的是我们那一代用的教材和老师的讲授真是一言难尽。最大的问题就是：教材内容竟然是从严密的公理化概念开始的！ 我反对的不是严密的公理化体系，因为任何一个学科，尤其是数学，其最终形成一个完善的学科理论必须要用一套严密的公理化体系来构建，就像欧几里得的《几何原本》一样。然而这一套东西核心关注的是逻辑链的严密性、理论的内洽性，以此来证明我这套理论是站得住脚的、是对的，但它却不是人们认识的自然过程。 我们知道微积分开创于牛顿、莱布尼茨时代。当时人们对诸如“变速情况下距离求解”、“曲线下图形面积求解”等问题的思考，其实就是微积分思想的来源。随后牛顿和莱布尼茨给出了他们的解决方法、引入了像“无穷小”之类的基础概念，这门学科算是草创出来了。为啥说是草创呢，因为当时的微积分还算不上严密的理论，远达不到公理化体系的地步。当然一代人干一代人的事，像这么重要的学科通常很难由一代人就能完成。后来在柯西、魏尔斯特拉斯、黎曼、勒贝格等数学家的不断添砖加瓦下，最终才使这个学科完善起来，形成一套完整严密的理论体系，而这中间花了两百多年。 我介绍这段历史是想说：很多学科的建立往往伴随着人们的一个认识过程，那就是先有一个源于现实世界的问题为导向，随后有些人洞察了其中的一些关键，提出了一种新的方法、引入了一些新的概念，从而实现了对现实问题的解答和回应，这是初创期；之后又有很多人对这个方法不断地推进、细化、反思，最终形成严密论证的体系才使得这个学科完善。这才是合乎人类天性的自然认识过程，而不是反过来：上来就先有了严密的概念和逻辑体系。 所以，我认为一个好的教材就应该顺应这样的认识规律来编排。比如一上来可以用“变速情况下距离求解”、“曲线下图形面积求解”等这类实际问题来切入。面对这些问题，原有的初等代数几何方法束手无策了，怎么办？然后再娓娓道来像牛顿他们是如何想出新的办法和概念来一步步解决问题的。通过这个过程让大家入门了之后，你大可再把那套公理化的概念和论证讲出来，这样大家就会很好理解。 下面就我刚学定积分时遇到的一个疑问讲一下我的理解，并给出一个虽不算严谨但较为简便的证明，希望对初学微积分的同学们有所帮助。 定积分的一个常见应用就是求曲线下的面积问题，其思路是：将待求面积在某个区间切分成很多个垂直于横轴的小条形，然后再用一个个矩形“微元”的面积来近似每个条形的面积，最后当切分的数量趋近于无穷后，取极限加总后的“微元”面积就等于曲线下的面积，而这个极限加总式就演化成定积分公式。如下图所示： 
图1. 求解曲线f(x)下面积的分析方法 其中：f(x)为待求面积的曲线，区间为[a，b]，切分数量为n，Δx=xi-xi-1 则： 待求面积可近似为： 
当n趋近于无穷后取和式的极限即为精确的曲线下面积，即其定积分。 
一个个近似值的求和极限就变成了精确值了，这确实让我们当时感到惊叹。然而也同时产生了一个疑问。当n趋近于无穷时，每个矩形“微元”的面积将无限接近于每个小条形的面积，即他们间的误差将趋近于0（无穷小），这个直觉上理解起来不难。但要得到精确的曲线下面积值，还得总的面积误差趋近于0才行，因为每个小段的误差趋近于0还不能直接得到总的误差趋近于0，因为此时小段的数量也变成无穷多了。也就是说无穷多个无穷小是不能一下就断定其结果的。而我们后来知道，无穷多乘以无穷小（简单理解为无穷多个无穷小之和）有三种可能结果，一是无穷小，二是无穷多，三是为一个常数。而在此处，只有结果还是无穷小时，定积分的结果才是精确的，其表示为曲线下面积才是合理的。下面给出我的证明。
每个矩形“微元”与相应小条形的面积误差（ΔSi）其实不好求，这里我们可用“放缩法”，即增大每段面积的误差，这样如果增大过的面积误差之和最后都趋近于0，那原来的误差和自然也是趋近于0了。方法是，用每个右侧临近函数值与Δx围成的大矩形来减去本段的“微元”矩形来放大面积误差，即： 
当然用右侧减左侧求误差的方法的前提是该区间[a，b]的函数是单调上升的，若是单调下降的可以反过来用左侧减右侧的方法，若整个区间里面既有上升段又有下降段，则可以分段考虑。此处以单调上升段为例，如图2所示。
图2. 定积分面积误差分析 
从上式中可发现，除了f(x0)和f(xn)外的每一项都出现了两次且一正一负，最后会消掉，所以有：
以上就证明了总的面积误差极限也为0，所以定积分是精确的。
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