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二战期间，小约翰·拉里·凯利曾在美国海军担任飞行员，这段经历锤炼了他的意志和勇气。 战后，他在德克萨斯大学完成了本科和研究生学业，并于1953年获得博士学位。他的博士论文是关于材料研究的，但毕业后的工作并不顺遂，他未能得到老板的赏识。 然而，凯利并未因此而气馁，在30岁时，他加入了贝尔实验室。 在贝尔实验室，凯利的生活充满了趣味和挑战。他加入了枪械俱乐部，与妻子组队参加桥牌锦标赛，还给敞篷车装上了弹射座椅，展现出了他多彩的一面。而他被认为是当时整个贝尔实验室里第二聪明的人，排在第一的是香农 一次偶然的契机，凯利在研究电视信号压缩方法时，对赌博产生了浓厚的兴趣。当时，一档名为《64000美元的问题》的电视答题节目正在热播。 由于该节目在纽约录制，居住在美国东海岸的人可以实时观看直播，而西海岸的观众则需等待三小时的延迟播出。这一时间差被西海岸的一些赌徒所利用，他们通过电话提前获取节目信息，以此在赌博中作弊。 
其中，f*为凯利最优投资比例，b为赔率，即期望盈利与预计亏损的比值，p为成功概率，q为失败概率，即1 - p。  为了更清晰地理解这个公式，我们可以通过一个简单的例子来进行说明。假设一个抛硬币猜正反的赌局，每次赌注1元，猜中得2元，猜错输掉1元，赔率b = 2，胜率p = 0.5。 将这些数值代入公式后，可以得出f* = 0.25。这意味着在这种简单的抛硬币赌局中，倘若所有条件不变且能够无限次重复，每次投入本金的25%，便可以在不输光本金的前提下实现收益的最大化。  凯利的这一研究成果引起了香农的极大兴趣。香农认为这个公式具有重要的价值，并建议凯利将其撰写成文章发表在杂志上。 最初，文章的标题为“信息理论与赌博”，但AT&T公司的高管担心这会让公众认为电话业务助长了非法赌博，最终在1956年发表时，文章标题改为了“信息率的新解释”。尽管这篇文章在当时并未引起广泛的关注，但却为后续的研究和应用奠定了坚实的基础。  在香农的建议下，爱德华·索普阅读了凯利的文章，了解了凯利公式的投资策略，并将其应用到了实践当中。在二十一点游戏中，索普通过记牌来判断胜率，再运用凯利公式计算投注金额，首次从技术上战胜了赌场  二十一点游戏有着独特的规则，手中牌的点数总和不能超过21点，否则就会爆掉并输掉赌注，剩下的点数大的一方为赢。在赌场的多人游戏中，玩家不仅要与其他玩家竞争，还要面对庄家的挑战。 庄家会根据既定策略进行抽牌，通常在点数超过17时才会停止。正是庄家的存在，保障了赌场的盈利。 
在某些特定情况下，比如剩余牌数量较少且点数较大时，玩家的胜率会显著提升，此时才符合凯利公式中期望收益率为正的条件。不过，需要注意的是，这种情况是动态变化的，索普只是巧妙地运用了凯利公式的策略，实际上，经典的凯利公式并不能完全适用于二十一点游戏，因为二十一点的胜率会随着牌的变化而不断改变。  虽然凯利公式在一定程度上为投资者提供了策略建议，但其也存在局限性，并非是万能的。现实中的投资远比假设的二元赌博游戏要复杂得多。 在赌博游戏中，规则是人为设定的，赔率和胜率是已知或可计算的，并且游戏可以无限次地重复进行。然而，在现实的投资领域，如股票、基金、期货等，其赔率和胜率不仅难以知晓且难以估算。 
对于大多数普通人而言，在面对复杂的投资环境和各种诱惑时，往往容易陷入困境。尤其是在交友和投资方面，我们需要格外谨慎。 
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