|
收录于《解析几何》，同时收录于《白话高中数学》，点击可以阅读全部文章。 配套练习请参阅《解析几何十年真题》 —————————————— 在实数系中，我们熟知实数的加、减、乘、除、幂运算等等。但向量既有大小又有方向，它的运算迥异于我们熟悉的实数运算。向量是一个数学概念，但它的婴儿时期，与物理学的矢量概念密切相关，那么向量不同方向上的加减运算也必定遵从矢量加减的等效原则，也就是两个不同方向的向量加减，遵从向量的平行四边形法则。向量OC和向量OD相加，我们可以把向量OD平移到向量CG，把向量OC平移到向量DG，形成一个平行四边形，我们就可以得到平行四边形的对角线OG，向量OG就是向量OC和向量OD相加的等价向量，也就是：同理，如果向量EF等价于向量CG，那么二者相加，也可以把它平移到CG的位置，然后利用平行四边形法则，得到结果：向量的平行四边形法则，又可以演化成向量加法的三角形法则，如上图：也就是说，如果两个向量首尾相连，那么两向量的和就是从起点指向终点的向量。规定：向量的加法，满足结合率和交换律，即：0+a=a+0=a，具体到本例也就是：上述交换律，其实也可以根据自由向量的平移等价性得到验证：把向量CG平移到向量OD，把向量OC平移到向量DG，现在两向量又变成首尾相连，根据向量相加的三角形法则，即可得到：向量相减，其实就是被减数加上减数向量的相反向量，也就是：我们看到，两向量相加的三角形法则，可以形成一个向量相加的回路，两向量相加，它的结果向量总是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点。根据这个特点，多个向量相加，只要符合首尾相连的特征，我们就可以利用加法结合律，首先计算前两项的结果，然后顺次两两相加，得到最终的和向量：当然，后面两项你完全可以不用首先加起来，直接采用顺次相加的办法，依旧可以得到相同的结果。根据这个特点，我们无需考虑上述多个向量是否存在于同一个平面内，只要是能找到多个向量首尾相连的特征，我们就可以直接得到结果向量。利用这种向量回路，有时可以在平面几何或者立体几何的图形证明中收到奇效，可以拓宽我们的解题思路，或者减少代数运算的计算量。向量除了这种几何运算方法之外，还可以进行坐标运算。在直角坐标系中，无论向量OZ在哪，都可以把它的起始点平移到原点的位置，从终点Z分别向x轴和y轴做垂线，和两坐标轴相交，可以得到唯一的坐标值a和b，这样我们就可以把向量OZ在x轴和y轴的投影向量，分别定义为向量ai和向量bj，其中向量i和向量j分别是x轴和y轴上的单位向量（此处把它们选做一组基底向量）。这样，我们把向量OZ用直角坐标（a,b）来唯一表示，是不会引起任何误解的，所以向量OZ又可以写成:根据平行四边形法则，和是向量OB，显然，向量OB也可以写成：也就是说，两向量相加，其实就是两向量的坐标对应相加。同理，我们也可以知道，两向量相减，就是两向量坐标对应相减。高中数学各个专辑的全部内容，可以点击下面这些合集的链接图片，按照提示，在页面打赏就可以得到可以打印的PDF电子文档。直接在自己喜欢的专题合集页面打赏，然后留下您的邮箱，我会把文件直接发送到您的邮箱。或者您直接扫文末的二维码，加入本公众号官方交流群，群内给我留言，告诉我是哪个专题就可以了，我会把文件发送给您。如果您是QQ用户，您也可以通过加入付费资料群的方式获取所有专题资料，群号：685908703。群费30元，在公众号任意一篇文章页面打赏30元即可申请加入，申请时请告知您打赏使用的微信名称即可。10多个合集，在群文件目录里可以自由下载，不用额外付费。手头有原来未更新版本的读者，可以给我留言提醒，我会免费发送更新后的版本。1、三角函数+解三角形专题合集，更新至2024-11-13
5、散点函数和数列+新定义合集:更新至2024-10-23
图书一本;《How to solve it》。作者波利亚。这本书的副标题是——数学思维的新方法——这个标题其实并不准确，更为准确的副标题应该是——数学思维的通用方法。
一句话，授人以鱼不如授人以渔，它就是教你怎样打开解题思路的一本好书！即日起，接受寒假网上一对一预约，有需要寒假加油的同学，请提前给我打招呼。但每天授课只能一个小时，时间长了效果会受影响。请直接加微信18863732978给我留言，框定时间。
|
