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随便画四个点并连接它们形成四边形，不论这个四边形多么奇怪，接下来做个实验：在每条边的中点上画一个点，并将这些点连接起来。令人惊讶的是，连接中点所得到的四边形总是平行四边形，且无论原始四边形是什么形状。
这个现象源于一个定理：如果连接一个三角形两边的中点，那么这条线段与第三边平行。通过这个定理的推导，连接四边形中点的四边形一定是平行四边形。从二维进入三维，开始讨论三维多面体，特别是柏拉图立体。柏拉图立体有三个主要条件：每个面都是相同的正多边形，每个顶点的相交面数相同，且形状必须是凸的。符合这些条件的三维物体只有五种，分别是：正四面体、正六面体（即立方体）、正八面体、正十二面体和正二十面体。
这些多面体的顶点数、边数和面数之间有一个重要的关系，称为欧拉公式：顶点数 - 边数 + 面数 = 2。这个公式适用于所有凸多面体，并且即使是球体表面也符合这个公式。这是因为球体可以变形为任意凸多面体，它们是同胚的（homeomorphic），而欧拉示性数在同胚变换下保持不变。但是，事情变得更加有趣——比如，四维克莱因瓶（Klein Bottle）的欧拉示性数是0。那么，除了这五个，还有别的可能吗？在二维空间中，可以有无限多种正多边形，每个边长和角度都相等。但在三维空间里，将这些正多边形作为多面体的面，却只有这五种满足所有条件。拓扑学中还有一些有趣的形状，比如莫比乌斯带。你只需将一条纸带扭转半圈后将两端连接，就能得到一个非常特别的形状。如果从中间剪开一圈，你会发现结果不是两条带子，而是剩下了一条纸带。
现在，提出一个问题：如何切开莫比乌斯带才能得到两个莫比乌斯带？如果将两个莫比乌斯带缝合在一起，结果会是什么样的形状？答案是——得到一个克莱因瓶（Klein Bottle），这是一种只能存在于四维空间中的形状。如果你真的把两个莫比乌斯带连接起来，只能得到克莱因瓶的三维表示，这是我们能做到的极限。克莱因瓶在三维空间里看起来是自相交的，但它其实是一个不自相交的形状。这种形状可以视为一种二维流形，局部看起来像二维平面，类似于地球表面。虽然地球是三维球体，但我们站在地表上时，只能感知到二维的平面。
接下来，将目光转向四维空间。我们可以类比二维生物如何无法理解三维物体。假设一个三维球体进入二维世界，二维生物只能看到球体的一个圆形截面。同样，四维物体进入三维世界时，我们只能看到它的三维截面。比如一个四维球体进入我们的世界时，我们看到的会是一个三维球体突然从小到大、再从大到小地消失。那么，四维柏拉图立体是怎样的呢？我们之前讨论了三维空间中的五种柏拉图立体（如正四面体、立方体等）。在四维空间中，每一个三维柏拉图立体都有一个四维版本。比如，通过将四面体的边相连，可以得到超四面体（hyper tetrahedron）。另外还有超立方体（hypercube）、超八面体（hyper octahedron）、超十二面体（hyper dodecahedron）和超二十面体（hyper icosahedron）。在四维空间中，还有一种新出现的柏拉图立体——八方立方体（octa-cube），其三维对应物是菱形十二面体（rhombic dodecahedron），但由于它的面不规则，不能算作三维柏拉图立体。你可能以为随着维度的增加，会出现更多奇异的形状。但有趣的是，当进入五维空间时，柏拉图立体的数量骤减到只有三种。六维空间依然只有三种。而当继续向更高维度探索时，你会发现，无论维度多高，都只有三种柏拉图立体。另一方面，亲吻数（kissing number）是另一个有趣的数学问题，它描述了能紧贴一个单位球的最大单位球数量。在二维空间中，亲吻数是6。
但在三维空间中，这个问题变得困难了许多。数学家们花了很长时间才确定，三维空间的亲吻数实际上是12。
在四维空间中，亲吻数为24，而在更高维度中，这个问题仍未完全解决。在五维空间，亲吻数的确切值仍未知，只能确定其介于40到44之间；八维空间的亲吻数为240，24维空间的亲吻数则达到了196,560。此外，四维空间中没有我们熟悉的“结”这一概念，除了平凡结（trivial knot），即没有真正交叉的结。由于结需要第三维度来形成交叉，四维空间中的结可通过额外维度“穿过自己”来消失，因此它不是真正的结，而是伪装成结的环。不过，在四维空间中，可以用二维的曲面来构建结。尽管我们不知道这种结具体长什么样，但要想形成一个真正的结，需要一个维度差为2的空间。因此，按照这个逻辑，我们也可以把一个三维物体打成结，但需要在五维空间中才能做到。你可能不知道的是，所有偶数维度单位球体的体积和，它的值等于e 的 π 次方。
由于这个级数收敛，这意味着球体的体积随着维度的增加会逐渐变小。但实际上，单位球的体积会先增加，达到五维空间的最大值，然后逐渐减少。我们可以通过将球体嵌入更高维度的立方体中，发现随着维度增加，球体所占的比例不断下降，但立方体的体积保持不变。在二维空间中，将一个圆完美地嵌入到一个正方形中，这个正方形的边长为1。结果发现，这个圆占据了正方形面积的78.5%。进入三维空间时，将一个球体嵌入到一个边长为1的立方体中，球体只占据了52.3%的体积。增加一个维度后，球体所占的比例下降了。如果进入四维空间，将一个超球体嵌入到一个超立方体中，球体只占据了31%的体积。但请注意，立方体的体积并没有随着维度增加而改变。在高维空间中，立方体的对角线长度随着维度增加而增大，公式为
这显然是发散的，而球体的直径始终为1，因此球体在高维空间中所占的比例会越来越小。对于单位球体，体积在五维空间达到了峰值，但这种现象仅适用于半径为1的球体，若考虑不同半径的球体，峰值会出现在不同的维度。接下来，让我们看一下球体密堆积问题。在二维空间中，最佳的排列方式可以占据91%的空间；
然而，对于三维以上的高维空间，我们对球体的最佳排列方式所知甚少。随着维度从3维增加到4维、5维……球体之间的间隙越来越大。但奇怪的是，在八维空间中，出现了一些新的间隙，这些间隙刚好能容纳新的球体，使球体完美地锁定到位。在八维空间的最佳排列方式下，球体可以占据约25%的空间。同样地，我们也知道24维空间的最佳球体密堆积方式。就像亲吻数问题一样，这些高维空间的数学问题也是可以解决的。如果把立方体切成小立方体并放入单位球体，接着再在它们的中心放一个相切的球体，
这个中心圆相对于整个正方形来说非常小，而且远离边缘。在三维空间中，我们将立方体切成八个小立方体，并在每个小立方体中放入一个单位球。然后，在八个单位球的中心放一个球体，使其恰好接触其他八个单位球。同样地，你会发现，中心球相对于整个立方体来说要小得多。
随着维度的增加，这个中心球体会越来越大，并且到达九维时，它会接触到立方体的边界，而在十维空间时，它突破了立方体的边界。然而，尽管中心球体的体积突破了立方体的边界，但其体积始终小于立方体，直到262维时，超球体的体积才会超过超立方体。另外，关于球体密堆积的一个实际例子是如何最优化地排列橙子以使用最少的保鲜膜。在低维空间，球体可以按直线或堆积的方式排列，但在更高维空间中，这个问题变得更加复杂。具体来说，在四维空间中，直到球体的数量达到五万到十万个之间，球体应该按照直线排列，以减少使用的保鲜膜；而在42维空间及更高维度中，最佳排列方式会再次变成将球体的中心排成一条直线。这些数学现象不仅解决了几何学中的问题，还在信息论、编码理论等领域有广泛应用。并且，拓扑学作为研究空间性质的数学分支，涉及复杂的高维对称性和曲面问题，是这些现象的理论基础。
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