大家好，我是科学羊。今天这篇我们简单聊一下关于空间的数学问题。我们先聊聊关于几何学的起源！ 几何学的起源可以追溯到几千年前，当时它的出现更多是为了满足实际需求。 比如，在古埃及和古巴比伦，人们需要测量土地、划分农田、修建庙宇和宫殿，这些活动都离不开几何知识。 事实上，“几何”（geometry）一词源自希腊语“geo”（地球）和“metron”（测量），字面意思就是“测量土地”。 古埃及的尼罗河每年泛滥后，农田的边界会被冲刷殆尽，重新测量土地成为一项必需的工作。埃及人开发出一些实用的几何技巧，比如通过绳结构造直角三角形的方法，为田地划分提供了极大便利。 在古巴比伦，人们不仅发展了算术，还开始研究几何问题。 他们发现了一些基本的几何性质，比如三角形的面积公式和勾股定理的早期雏形。这些知识被刻在泥板上，为后世的数学发展提供了重要线索。 总之，几何学从实用需求出发，经历了多次革新：中世纪阿拉伯学者将其与代数结合；文艺复兴时期应用于透视画法和科学研究；笛卡尔创立解析几何，将几何与代数统一；非欧几里得几何突破平行公设，黎曼几何助力广义相对论。 现代几何广泛应用于计算机图形学、天体物理、生物学等领域，持续拓展着人类对世界的认知。 ... 当然最重要的还属19世纪是研究虚空、空间与几何学的黄金时代。在这个时代伟大的数学家们以非凡的想象力和逻辑推演证明了各种类型空间的存在，揭示了空间的无限可能性。他们发现，空间不仅具有复杂的不变量，还可能偏离经典的欧几里得几何，例如曲率偏离的现象。正是在这一背景下，物理学家迈克尔·法拉第测量了电常数和磁常数，从而确定了空间的物理性质，为詹姆斯·克拉克·麦克斯韦解释光速提供了基础。尽管我们常将爱因斯坦视为引入空间曲率概念的开创者，但实际上，这一思想早在他之前的一个世纪就已萌芽。当时，数学家们开始思考一个问题：我们所处的空间真的是欧几里得空间吗？ 于是，他们不断尝试用各种方法测量空间的非欧几里得特性。 这些努力奠定了现代几何学的基础，也引领我们走进一个充满曲率、流形和非凡想象力的世界。 好，接下来我们从下面几个方面开始。 01 拓扑流形的兴起：从平行公设说起
当时，欧几里得几何的第五公设，即“平行公设”，成了几何学家争论的焦点。
这个公设看似简单：给定一条直线和直线外的一点，通过这一点可以画出且仅能画出一条与这条直线平行的直线。 然而，它的逻辑复杂性让许多数学家怀疑它是否可以由其他公设推导出来。于是，无数数学家投入了大量时间试图证明或否定这一假设的独立性。 最终，19世纪的两位天才数学家，匈牙利的雅诺斯·鲍耶（János Bolyai）和俄罗斯的尼古拉·罗巴切夫斯基（Nikolai Lobachevsky），几乎在同时但相互独立地构建了非欧几里得几何。
三种几何中垂直于同一线段的两条直线的图片 左：罗氏几何（双曲几何） 中：欧几里得几何 右：黎曼几何（椭圆几何） 他们的研究表明，如果放弃平行公设，仍然可以建立一种自洽的几何体系。 这一突破打破了传统几何的束缚，为双曲几何和球面几何的诞生铺平了道路。 02 非欧几里得几何：从理论到模型 非欧几里得几何的核心思想是重新定义“直线”和“距离”的概念。 例如，在双曲几何中，直线可以被定义为测地线，即曲面上两点之间的最短路径。 通过这种定义，我们可以在一个曲面上构造一个满足非欧几里得几何特性的空间模型，其中最著名的便是“庞加莱圆盘模型”。
庞加莱圆盘模型是理解双曲几何的关键工具。
在庞加莱圆盘模型中，我们定义了两个无穷小间隔点之间的距离，这并不是勾股定理，而是通过一个广义勾股和 在这一模型中，圆盘的边界代表无穷远，而“直线”是圆盘内与边界垂直相交的圆弧。 这一模型有一个重要特性：它保留了角度的大小，即使在投影到二维平面时，三角形的内角和仍小于180度。 这一特性不仅验证了双曲几何的逻辑一致性，还让我们能够在欧几里得的背景下直观地观察非欧几里得几何。
03 从抽象到现实：双曲几何的应用 双曲几何并不是一种纯粹的理论概念，它在自然界中无处不在。 例如，双曲曲面经常出现在贝壳的形状、花边的边缘以及复杂的服装设计中。此外，它还被广泛应用于天体物理学、相对论和地图投影等领域。 正如庞加莱圆盘模型在几何学中揭示的优雅逻辑，它同样为理解自然的曲率提供了全新的视角。 令人惊讶的是，双曲几何的规则可以通过简单的工具——直尺和圆规——在欧几里得几何中模拟出来。 这种优雅的对应关系不仅让几何学家深感震撼，也让这一理论更容易被接受和传播。 非欧几里得几何的提出曾引发激烈争论。 许多人无法接受这样一个事实：经典的欧几里得几何并不是唯一的选择。 然而，随着研究的深入，数学家发现，欧几里得几何和双曲几何实际上是逻辑等价的。 1868年，数学家贝尔特拉米（Eugenio Beltrami）证明了，如果欧几里得几何是自洽的，那么双曲几何也是一致的。 这一发现消除了对非欧几里得几何的疑虑，进一步巩固了它在数学史上的地位。 结语：几何学的未来 如今，拓扑学和黎曼几何学的出现为研究空间结构提供了更多可能性。
尼古拉・罗巴切夫斯基 它们不仅将几何学的研究扩展到了多维空间，还让我们得以深入探索宇宙的本质。也许在未来，我们将迎来更多惊人的发现，而这些发现都源于当初对平行公设的简单质疑。 几何学的发展告诉我们，无论是数学世界还是现实生活，突破传统思维的界限，勇敢质疑与探索，才能发现那些被隐藏的真理。 正如罗巴切夫斯基曾坚定地表示：“真理总在我们意想不到的地方等待着。” 好，今天先这样啦～ 科学羊🐏 2025/01/26 祝幸福~ 参考文献： Selena Routley's acticle 「感恩关注，科学羊持续为您带来最好的科普知识」 |
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