第298讲 函数综合-分段的嵌套函数 #高考数学

欠套函数就一个字难，而分段函数也是一个字难。欠套的分段函数就是四个字难上加难。一起来看一下这道函数的综合题，它就是欠套的分段函数的问题。

已知函数fx等于x平方加2x加2x小于等于零的时候等于绝对值洛因x大于零的时候，则方程f括号fx减二括回来等于二，它的实数根会有多少个？

拿到一个分段函数的题，第一要做的事情就是去画图。先来把函数的图像整体绘制出来，图像绘制出来难度并不大，一个是二次函数，另外一个是对数函数，但是它加了一个绝对值。加绝对值就是把x轴下方的部分给它翻折上去，所以这里本来对数函数是会在这个下方的，把这下方这一段翻折上去就可以了。

接下来看它问的问题，它要的是嵌套的方程实数根的个数是怎么样的？而嵌套的问题一般由外及内的去分析。可以先设括号内的fx减二等于t，看一下f、t在什么时候会等于二？把t给它求出来，它等于二其实也就是y等于二，一条直线跟这个图下会有多少个交点？

其实这里已经绘制出来了，就在这个地方，这条虚线跟整体的函数图像会有四个焦点，分别是负二的时候等于零的时候等于一的负二次方和一的平方的时候。所以令这一块等于t，t的数值就会有四个。得到t的四个值之后，接下来就解决内层的问题了。内层就是fx减二要等于t，给它变一个形式，其实也就是fx就要等于t加上一个二。

fx等于t加二，t的值会有四个，t加二的值对也就是四个。接下来看的就是这四条横线跟整体的函数图像会有多少个焦点的问题。接下来一个一个来看。

·第一种情况，当t等于负二的时候，t加二就会等于零。等于零这条直线跟整体函数图像很显然只有一个焦点，就是在这个地方。当x等于一的时候，当t等于零的时候，t加二就会等于二。而等于二的这条直线跟图像很显然有四个焦点。

而当t等于e的负二次方的时候，e的负二次方约等于零点几，加上一个二之后也就是二点几。二点几的一条直线跟图像很显然只有三个焦点。同样的，当t等于一的平方的时候，t加二就是一的平方，再加上二也会在这个上方，只要在二的上方的时候，它的焦点就是三个。

所以第三种和第四种情况都可以。是会有三个焦点，所以整体加合起来就是会有十一个焦点，也就是是一个实数根。

所以对于这道嵌套的分段函数的问题，其实就分了两部分进行处理。第一部分是分段函数，拿到分段函数要做的就是去绘制它的图像。而第二个是嵌套函数的问题，对于嵌套函数要做的就是由外及内的去分析它。