 1905年，爱因斯坦在一篇论文里描述了布朗运动，本质上就是分子在液体中做的随机游走。这种运动看似杂乱无章，但背后有规律。而我们要看的，是一维随机游走的反直觉特性——一个简单的醉汉走路模型，却隐藏着深刻的数学事实。 想象一个醉汉，被酒馆老板推到门外。他站在巷子里，每一步都随机地向前或向后走一步，每一步的概率都是50%。就像抛硬币，正面就往前，反面就后退。他走啊走，可能回到起点，也可能远离原点。但这条路不像直觉上想的那样平衡，而是充满了意外。  第一，醉汉待在某一侧的时间，远比人们想象的要长。 直觉上，我们可能认为醉汉在巷子里走了一段时间后，应该有一半的时间在巷子左边，一半时间在右边。但事实并非如此。随机游走遵循一个特殊的概率分布，叫做反正弦定律（arcsine law）。根据这个定律，醉汉很可能在一侧待很久，而不是频繁地左右切换。  也就是说，他一旦走到某一侧，未来的大部分时间都可能留在那里，只有极少数情况下才会频繁穿越中心点。这种偏向性不是直觉能解释的，甚至有点像某种“不公平”。 第二，越往后，穿越中心点的次数越来越少。 在一维随机游走里，醉汉穿越起点的次数并不像直觉里那样均匀分布，而是大致和步数的平方根成正比。换句话说，如果走了100步，可能穿越10次；走1万步，穿越大约100次。这意味着，随着时间推移，穿越中心点的频率会越来越低，路径的“波长”越来越长。 如果你站在远处看这条轨迹，它并不是一个均匀的波动曲线，而是越来越长的周期，就像一条拉长的正弦波。这就解释了一个现象：在很多看似公平的竞争中，领先者很可能一直保持领先，而落后者要翻盘极其困难。 第三，这条曲线最终会覆盖整个数轴，但需要无限的时间。 理论上，醉汉的路径最终会遍布所有可能的位置——即概率为1，他最终能走到巷子的任何一个地方。但这个“最终”是个无穷的概念，也就是说，他可能在无穷步之后才到达某个点。 这也意味着，在现实世界的有限时间里，某些状态可能永远不会发生。比如一个投资者如果在最初亏损了，他可能在很长一段时间里都翻不了身，甚至在有限的生命里永远无法回到原点。 数学上的随机游走模型不仅仅是醉汉的故事，而是现实世界中的规律。 NBA比赛的领先情况，也符合反正弦定律。 在一场势均力敌的比赛里，领先的一方在比赛开始时和结束时最容易发生变化，而在中途，比分变动反而少。这解释了一个有趣的现象：很多比赛的逆转，往往发生在开头或结尾，而中段的变化很少。 因此，篮球比赛里，领先并不是一件稳定的事。在比赛开始时，领先方很容易被追平；在比赛结束时，也容易有惊天逆转。但在比赛进行到一半时，如果一支球队一直领先，那么他们可能会一直保持这个优势到终场。 金融市场的涨跌，也符合随机游走的特点。 如果一个投资者定期向某个基金投资，但这个基金的涨跌是随机的，那么他的最终收益，往往取决于他最初的运气。如果他开始时买入后基金下跌，那么他可能很长一段时间都会处于亏损状态，甚至可能一直亏损下去。 这就是为什么，许多投资者一旦发现自己买入的资产长期低迷，就会选择认赔出局。因为根据反正弦定律，如果你开局不顺，你很可能会在亏损状态下停留很久。相反，如果一开始就上涨，你可能会一直保持盈利。这种不对称性，解释了为什么金融市场里，早期优势如此重要。 社会中的“马太效应”，同样可以用反正弦定律解释。 《圣经·马太福音》里有一句话：“凡有的，还要加给他，使他有余；凡没有的，连他所有的也要夺去。”这在社会经济学里被称为“马太效应”——富者愈富，穷者愈穷。 这并不是简单的社会不公，而是数学的必然。因为一旦一个人处于优势地位，他就可能长期保持这个地位。而处于劣势的人，即使开始时只稍微落后一点，也可能长期处于下风。正如随机游走的醉汉一样，一旦他朝着某个方向开始走，很可能就会一直走下去。 这解释了为什么社会上的贫富差距很难被自然缩小。因为最初的微小优势，会通过随机游走的机制逐渐放大，而不是自动回归到平均水平。 甚至，刑事案件的DNA证据，也可能被误解。 曾经在伦敦，有一宗案件，警方在案发现场找到了一份DNA样本。经过比对，他们发现一个嫌疑人的DNA和犯罪现场的DNA完全匹配。法庭上，检验专家告诉法官，DNA匹配的概率是百万分之一——听起来嫌疑人几乎必然是罪犯。 但事实并非如此。 伦敦当时有1000万人口。如果DNA测试的错误率是百万分之一，那就意味着伦敦有大约10个人可能匹配这个DNA。所以，被指控的人其实很可能是无辜的，他只是“恰好”符合这个百万分之一的概率。反过来说，他被冤枉的概率高达90%。 这就是人们误解概率的典型案例。单纯的百万分之一听起来很小，但当总体样本足够大时，误判的绝对数量并不少。直觉和数学，在这种情况下是完全对立的。 所以，不要相信直觉。 在随机游走的世界里，直觉往往是错误的。我们以为公平的事情，其实充满了偏差；我们以为随机的过程，其实有深刻的数学规律。醉汉的步伐，看似毫无方向，但数学告诉我们，它的每一步，都是可计算的命运。 |
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