【原】中国科学院大学2025年数学分析考研试题解答

中国科学院大学2025年数学分析考研试题解答

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unsetunset试题与解答unsetunset

计算下列极限

(1) .

(2) .

解 (1)计算可知

(2)计算可知

用闭区间套定理证明是不可数集.

证明 反证如下.设可数,即找到一种排列,使得

取闭区间,使得.再将三等分,则在闭区间

中,至少有一个不含,记为.再将三等分,同样,在闭区间

中,至少有一个不含,记为.这样的步骤一直进行,得到闭区间套,满足

而闭区间套定理意味着存在唯一的实数属于所有的闭区间,但,这就与排列表示矛盾.

设在上连续可微, .证明:

证明 令,其中,则

由CBS不等式可知

求二重积分

其中.

解 令,则,故

故

求曲面积分

其中,方向取外侧.

解 令曲面,记与所围的区域为,由Gauss公式计算可知

设在上可积或绝对可积,如何将延拓到上,使得其Fourier级数为

解 由题意可知延拓后为奇函数,且对任意正整数成立.即

即

故考虑将先延拓为上的奇函数,再将上定义为,将上定义为,这样就得到了延拓后的,使得其对称中心为,且均为对称轴,其中均为整数.

设在上可积,且.求系数,使得

最小,并求的表达式.

解 利用三角函数系的正交性可知

将视为关于的函数,计算偏导数可知

解得

故是延拓后在上的余弦级数的部分和函数,故

注 由Fourier级数平方逼近性质可知的最佳平方逼近元素恰为的Fourier级数的部分和函数.

设三次连续可微,且.令,且.求.

解 首先

再利用Stolz公式计算.有

设单调收敛到,若,则在上一致收敛.

证明 利用和差化积公式可知

结合A-D判别法得证.

求的收敛域与和函数.

证明 计算可知

而当时,级数通项均不趋于().故所求收敛域为.记所求和函数为,则

故.

unsetunset参考文献unsetunset

[1]陈纪修, 於崇华, 金路. 数学分析(第二版), 高等教育出版社, 2004年

[2]谢惠民, 恽自求, 易法槐, 钱定边. 数学分析习题课讲义(第二版), 高等教育出版社, 2018年

[3]裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法(第3版), 高等教育出版社, 2019年

[4]陈守信. 考研数学分析总复习——精选名校真题, 机械工业出版社, 2012年

[5]徐森林, 薛春华. 数学分析, 高等教育出版社, 2005年