数学世界的版图：主要分支概览（上）

数学的分支（Areas of Mathematics）

在文艺复兴之前，数学主要分为两个领域：算术（Arithmetic，关于数的运算）和几何（Geometry，关于形状的研究）。当时，一些伪科学，如数字占卜（Numerology）和占星术（Astrology），并未与数学严格区分开来。

文艺复兴时期，两个新的领域逐渐发展起来：代数（Algebra）和微积分（Calculus）。数学符号的发展推动了代数的诞生，广义上讲，它是对公式的研究与操作。微积分，包括微分学（Differential Calculus）和积分学（Integral Calculus）两个子领域，研究连续变化的函数，这些函数通常用来构建非线性的变量之间的关系。这种将数学划分为四大领域（算术、几何、代数、微积分）的方式，一直持续到 19 世纪末。

像天体力学（Celestial Mechanics）和固体力学（Solid Mechanics）这样的学科，最初由数学家研究，但现在通常归入物理学的范畴。组合数学（Combinatorics）虽然在有记载的历史中早已被研究，但直到 17 世纪才被视为数学的一个独立分支。

19 世纪末，数学基础危机的爆发以及随之而来的公理化方法的系统化，催生了大量新的数学分支。

《2020年数学学科分类》（Mathematics Subject Classification）列出了不少于 63 个一级学科。

其中一些延续了传统划分方式，例如数论（即“高等算术”的现代称呼）和几何；另一些领域虽不以“几何”命名，却依然被认为属于几何学范畴。而“代数”和“微积分”虽不再作为一级学科出现，但分别被拆分为多个一级领域。还有一些一级领域是在20世纪出现的，或者此前并不被视为数学的一部分，如数理逻辑和数学基础。

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数论（Number Theory）

这张图展示的是乌拉姆螺旋（Ulam Spiral），用于可视化质数的分布。图中沿对角线的深色点，暗示了一个猜想：质数在某些二次多项式取值中近似呈独立分布，这一猜想现被称为哈代-李特尔伍德猜想 F（Hardy–Littlewood Conjecture F）。

数论起初是对自然数  的研究，后来扩展到整数  和有理数 。数论曾被称为“算术”，但在当今，“算术”一词主要用于指基础的数值计算。

数论的历史可以追溯到古巴比伦，或可能更早的中国。古希腊的欧几里得与亚历山大的丢番图是早期著名的数论学者。现代抽象数论的奠基者被认为是皮埃尔·费马与莱昂哈德·欧拉，而勒让德和高斯的贡献则使该领域逐渐完善。

许多表述简单的数论问题，其解法却需要高度复杂的数学工具，往往跨越多个数学分支。

例如，费马大定理 由费马在 1637 年提出，但直到 1994 年才由 安德鲁·怀尔斯 证明，他运用了包括代数几何中的概形理论、范畴论和上同调代数等工具。

另一个著名问题是哥德巴赫猜想，即每个大于 2 的偶数都可以表示为两个质数之和。该猜想由克里斯蒂安·哥德巴赫于 1742 年提出，尽管已有大量研究成果，但至今仍未被证明。

数论的子领域包括：

• 解析数论（Analytic Number Theory）
• 代数数论（Algebraic Number Theory）
• 几何数论（方法导向，Geometry of Numbers）
• 丢番图方程（Diophantine Equations）
• 超越数论（问题导向，Transcendence Theory）

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几何（Geometry）

在球面上，欧几里得几何仅适用于局部近似。若在更大尺度上，三角形的内角和将不等于 。

几何是最古老的数学分支之一。它起源于对形状的经验性研究，如直线、角度和圆，最初主要为测量和建筑服务，后来发展出众多子领域。

古希腊人开创性的引入了“证明”的概念，强调每一个命题都需经逻辑推导加以证明。例如，不能仅凭测量判断两个线段相等，而应从已知定理和基本前提出发，通过推理得出其等值。这些基本前提包括公设（Postulates，不需证明的自明真理）与公理（Axioms，作为研究对象定义一部分的陈述）。这一原则成为整个数学的基础，最早在几何中进行系统化，由欧几里得在公元前约 300 年所著《几何原本》中完整阐述。

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“在古希腊传统中，'公设’通常指几何直观的规则，而'公理’更偏向逻辑推理的基础前提。在现代数学中，这一区分已无实际作用，二者统一归入'公理系统’。”

由此形成的欧几里得几何（Euclidean Geometry），研究由线、面、圆等构成的二维（平面几何）与三维欧几里得空间中的图形结构。

几何的研究方法与范围从古至今变化不大，直到 17 世纪，笛卡尔引入了笛卡尔坐标系，带来了范式的重大变革。通过将点的位置用数值坐标表示，几何问题开始可以借助代数（甚至微积分）来解决。

几何由此分化出两个新分支：

• 综合几何（Synthetic Geometry）：仅依赖几何构造与逻辑推理
• 解析几何（Analytic Geometry）：使用坐标系统研究几何问题

解析几何使得研究抛物线、椭圆等任意曲线成为可能，这些研究推动了：

• 微分几何（Differential Geometry）：研究函数图像定义的曲线与曲面
• 代数几何（Algebraic Geometry）：研究由多项式方程定义的几何对象
• 更高维欧几里得空间

19 世纪，数学家发现了不满足平行公设的非欧几何（Non-Euclidean Geometry）。

通过质疑该公设的真实性，这一发现与罗素悖论一起被视为揭示了数学的基础危机。这一危机的解决方案是系统化公理方法，并接受公理的选取是人为设定的前提。

这一方法的确立，使得数学家能研究不同公理系统下的几何，或在特定变换下保持不变的性质。

现代几何的子领域包括：

• 射影几何：由吉拉德·笛沙格于 16 世纪提出，引入无穷远点，使得所有直线相交，统一了平行线和交点的处理。
• 仿射几何：研究与平行性相关、但与长度无关的几何性质。
• 微分几何：研究由可微函数定义的曲线、曲面及其推广。
• 流形理论：研究不一定嵌入在更高维空间中的几何对象。
• 黎曼几何：研究曲率空间中的距离与测度。
• 代数几何：研究由多项式方程定义的几何对象。
• 拓扑学：研究在连续变形下保持不变的性质。
• 代数拓扑：用代数方法（如上同调代数）研究拓扑问题。
• 离散几何：研究有限图形配置的几何性质。
• 凸几何：研究凸集，广泛用于最优化问题。
• 复几何：将实数替换为复数后得到的几何结构。

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代数（Algebra）

魔方群是群论的一个具体应用。

代数是方程与公式的操作艺术。丢番图（3 世纪）和花拉子米（9 世纪）是代数的两位奠基者。

丢番图通过逻辑推导与变换关系，解出含有自然数解的方程。花拉子米则引入了系统的方程变换方法，如移项等。“代数”一词来自阿拉伯语 al-jabr，意为“复原”，这是他用于命名其主要著作中一种方法的词语。

弗朗索瓦·韦达(François Viète)

直到 16 世纪末，法国数学家弗朗索瓦·韦达引入用字母分别表示已知数和未知数，为代数表达式的形成奠定基础，使其成为一门独立学科。变量的使用使数学家可以用公式表示运算步骤。

19 世纪前，代数主要研究线性方程（即线性代数）和一元多项式方程（即所谓的代数方程）。19 世纪中期起，数学家开始用变量表示非数值的对象（如矩阵、模算术、几何变换等），这些对象也遵循类数的运算规则。

于是，代数结构的概念出现：一个集合、其上的运算、以及这些运算所遵循的规则。该方向发展为现代代数或抽象代数，其体系由艾米·诺特等人确立。

某些代数结构在数学中具有基础性意义，并作为代数的子领域独立发展，例如：

• 群论（Group Theory）
• 域（Field Theory）
• 向量空间（Vector Spaces，即线性代数）
• 环论（Ring Theory）
• 交换代数（研究交换环与多项式，是代数几何的基础）
• 同调代数（Homological Algebra）
• 李代数与李群（Lie Algebra and Lie Groups）
• 布尔代数（Boolean Algebra，广泛用于计算机逻辑结构）

此外，泛代数（Universal Algebra）与范畴论（Category Theory）研究各种代数结构的共性。范畴论最初是为系统化代数拓扑（Algebraic Topology）中的结构与映射而发展出来的，后来成为研究各种数学结构之间共性的强大工具。

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原文：en.wikipedia.org/wiki/Mathematics#Areas_of_mathematics 

翻译：【遇见数学】并补充部分图片)