经典奥数问题——等腰三角形中的最大角

本题是第十五届小学“希望杯”全国数学邀请赛高年级组的一道题目。题目本身不难，但是既考查了等腰三角形的相关知识，又考查了算术运算，以及分类讨论的数学思想。所以是一道考查全面的好题，看一看你能否做对呢？

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问题引入

等腰三角形ABC中，有两个内角的度数比是1:2，则三角形ABC的内角中，角度最大可以是____度

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分析与解答

首先我们复习一下等腰三角形的知识。

所谓等腰三角形是指在该三角形中至少存在两条边的长度相等。长度相等的两条边称为该三角形的两腰。如图所示，在等腰三角形ABC中，边AB的长度与边AC的长度相等，因此AB和AC称为该等腰三角形的两腰。同时角B和角C称为该等腰三角形的底角，角A称为该等腰三角形的顶角。在等腰三角形中，两底角的度数相等。

知道了以上等腰三角形的性质后，我们再来看一下本题。

本题的已知条件只有一条：等腰三角形ABC中，有两个内角的度数比是1:2。那么是哪两个内角度数之比为1:2呢？首先肯定不是两个底角，因为等腰三角形的两底角相等。所以必然是一个顶角和一个底角的角度比为1:2。那么究竟是 顶角:底角=1:2，还是 底角:顶角=1:2 呢？从已知条件中无法推断出来，因此需要分类讨论。

1. 顶角:底角=1:2

如图所示，在这种情况下，角A的度数与角B的度数比为1:2，同时角B与角C相等。

因为三角形内角和为180度，所以可将180度分为5份，顶角A占1份，两底角B和C各占2份。因此这种情况下，角A等于36度，角B和角C都是72度。

2. 底角:顶角=1:2

如图所示，在这种情况下，角A的度数与角B的度数比为2:1，同时角B与角C相等。

可将180度分为4份，顶角A占2份，两底角B和C各占1份。因此这种情况下，角A等于90度，角B和角C都是45度。这种三角形既是等腰三角形，也是直角三角形，因此也称为等腰直角三角形。

综合以上两种情况，三角形ABC的内角中，角度最大可以是90度。

3. 快速求解

上面给出了本题最严谨的求解过程。其实如果你思维足够敏捷，可以更快地给出本题的答案。

因为在等腰三角形ABC中，有两个内角的度数比是1:2，所以三角形ABC中三个角的度数比只可能是1:1:2或者1:2:2。如果想得到角度最大的角，则必然是将内角之和180度等分的份数越少越好，因此一定是1:1:2这种情形（因为这样将180度等分为4份）。所以最大的角度就是180÷4×2=90度。