【原】再现隐藏的一箭穿心（巴蜀25年一诊考试）

这道题，是巴蜀中学初2025届初三一诊考试最后一题，我们今天只探讨第3小问。

为什么只把这道题的第3小问单独拿出来研究呢？这是因为前不久，育才中学初三指标到校模拟题才考了一道跟这一样的一道题，详见：隐藏的一箭穿心（育才25年指标到校模拟），在育才那道题中，通过对称，再导角，将两动中的一动转化为定点。

今天这道题，也有异曲同工之处，下面是手稿。

1、首先，能画出第一个圆，即圆A，并且M、B、C三点都在圆A上；

2、其次，能画出第二个圆，即圆B，因为BQ=BC；

3、然后，思考，要求MQ的最大值，M在一个圆上，Q也在一个圆上，并且M和Q都是动点；所以需要将其中一个动点转化为定点，这是解这道题的基本方向，但是如何转化呢？

4、接下来，题目给到的角度条件：∠MBQ=∠MCB+30°，这是关键中的关键，我们进行角度的转化，得到：∠MBQ=∠MCB+30°=∠MCB+∠BMC；

我们又由三角形的外角定理可以得到：∠NBC=∠MCB+∠BMC；

即：∠MBQ=∠NBC，结合图像可知这两个角有个公共角∠QBC，所以得到：∠MBC=∠NBQ；推导到这里，这个题就趋近于成功了。

5、此时，我们延长CB与圆B交于点Q'，则得到∠MBC=∠NBQ=∠NBQ’;

6、由∠NBQ=∠NBQ'，BQ=BQ'，我们可以得到Q’为定点。这是关键

7、结合图像，可以得到Q与Q'关于直线MB对称，那么MQ与MQ'也关于直线MB对称，所以求MQ的最大值，也就是求MQ’的最大值，因为Q’是定点，所以由一箭穿心可以求得MQ的最大值。

至于后面的直角三角形的存在性问题，我们不在这里进行阐述。重点是上面的动点转化为定点的过程。