【原】恒定磁场的微分方程

利用电流密度矢量的概念改写毕奥—萨伐尔定律，并利用矢量场论公式将磁通连续定理和安培环路定理改写成恒定磁场满足的偏微分方程。

我们已经将载流导线中的电流元矢量用电流密度矢量的形式做了改写，以便可以用到分布于空间中的电流系统。有了电流元的一般表达式，就可以根据毕奥—萨伐尔定律写出一个电流元激发的磁场的空间分布。

在普通物理学的电磁学课程中，我们将一个电流元激发的磁感应强度写成这样：其中各个物理量的含义如下左图所示。与静电学中的库仑定律相似，写成这个样子的毕奥—萨伐尔定律对一般的理论研究和复杂电流系统的计算并不方便，需要将它改写成一种标准形式。

假定在真空中某个无穷小区域内有确定的电流分布，该无穷小区域的位置矢量用  标记，体积为  ，流过该体元的电流密度矢量为  ，则此电流元在场点  处激发的磁感应强度其中各个物理量的含义如上右图所示，请大家参照《静电力的数学表述》和《静电场的数学表述》这两篇文章进行解说。

当然，单个电流元并不能稳定地存在，实际的磁场必定是许多电流元的总效果。磁场对电流的依赖关系满足叠加原理：积分遍历整个电流分布区。显然，一个稳定的电流系统将在空间中激发一个恒定的磁场。

由于电流就是运动的电荷，因此，当有电流分布的空间区域中存在外磁场时，这些电流也会受到磁力的作用。磁场对单位体积中的运动电荷施加的磁力被称为磁场对电流的力密度：        与静电场的情况类似，并非所有静磁问题都能预先知道电流的分布。这就需要找到恒定磁场所满足的微分方程。这些方程可以利用磁通连续定理和安培环路定理通过矢量场论的计算推导出来。

磁通连续定理说，恒定磁场通过任意封闭曲面的磁通量恒等于零：利用奥—高公式可以将上述积分形式的方程化为微分方程：这就是恒定磁场满足的其中一个偏微分方程，它显示，恒定磁场是无源场，与静电场不一样。

从恒定磁场的无源特性可以推断，它的场线必定是闭合的，由此导致恒定磁场的旋度必定与静电场的旋度也不一样。事实上，利用安培环路定理和斯托克斯公式就可以导出恒定磁场的旋度满足的微分方程。

安培环路定理说，恒定磁场沿任意闭合曲线的环路积分只与曲线所围的总电流有关：其中面积分中的积分曲面以环路积分中的积分环路为边界。利用斯托克斯公式可以将安培环路定理化为微分方程：这就是恒定磁场满足的另一个偏微分方程。