2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数学（理工农医类）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若，为虚数单位，且则
A．， B．
C． D．
2．设集合则“”是“”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
3．设图1是某几何体的三视图，则该几何体的体积为
A．
B．
C．
D．
4．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 由算得，．
0．050 0．010 0．001 3．841 6．635 10．828
参照附表，得到的正确结论是
A．再犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B．再犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
5．设双曲线的渐近线方程为，则的值为
A．4 B．3 C．2 D．1
6．由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为
A． B．1 C． D．
7．设m＞1，在约束条件下，目标函数z=x+my的最大值小于2，则m的取值范围为
A．（1，） B．（，）
C．（1,3） D．（3，）
8．设直线x=t与函数的图像分别交于点M,N,则当达到最小时t的值为
A．1 B． C． D．
二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应号后的横线上。
（一）选做题（请考生在9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）
9．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数）在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C2的方程为，则C1与C2的交点个数为
10．设,且，则的最小值为。
11．如图2，A,E是半圆周上的两个三等分点，直径BC=4，
AD⊥BC,垂足为D,BE与AD相交与点F，则AF的长为。
（二）必做题（11～16题）
12．设是等差数列，的前项和，且，
则=．
13．若执行如图3所示的框图，输入，,
则输出的数等于。
14．在边长为1的正三角形ABC中,设则__________________．
15．如图4，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形。将一颗豆子随
机地扔到该图内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事
件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则
（1）P（A）=_____________;（2）P（B|A）=．
16．对于,将n表示,当时，,当时,为0或1．记为上述表示中ai为0的个数（例如：）,故,）,则
（1）________________;（2）________________;
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（本小题满分12分）
在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足csinA=acosC．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求sinA-cos（B+）的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小。
18．（本小题满分12分）
某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
日销售量（件） 0 1 2 3 频数 1 5 9 5 试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率。
（Ⅰ）求当天商品不进货的概率；
（Ⅱ）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期型。
19．（本小题满分12分）
如图5，在圆锥中，已知=，⊙O的直径,是的中点，为的中点．
（Ⅰ）证明：平面平面;
（Ⅱ）求二面角的余弦值。
20．（本小题满分13分）
如图6，长方体物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为v（v＞0），雨速沿E移动方向的分速度为。E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与×S成正比，比例系数为；（2）其它面的淋雨量之和，其值为，记y为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=时。
（Ⅰ）写出y的表达式
（Ⅱ）设0＜v≤10,0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y最少。
21．（本小题满分13分）
如图7，椭圆的离心率为，x轴被曲线截得的线段长等于C1的长半轴长。
（Ⅰ）求C1，C2的方程；
（Ⅱ）设C2与y轴的焦点为M，过坐标原点O的直线与C2相交于点A,B,直线MA,MB分别与C1相交与D,E．
（i）证明：MD⊥ME;
（ii）记△MAB,△MDE的面积分别是．问：是否存在直线l,使得?请说明理
由。
22．（本小题满分13分）
已知函数，.
（Ⅰ）求函数的零点个数。并说明理由；
（Ⅱ）设数列{}（）满足，，证明：存在常数M,使得对于任意的，都有≤?．
参考答案
一、选择题：
DABCCDAD
二、填空题
9．210．911．12．2513．14．15．（1）16．（1）2（2）1093
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
解析：（I）由正弦定理得
因为所以
（II）由（I）知于是
取最大值2．
综上所述，的最大值为2，此时
（“当天商品不进货”）（“当天商品销售量为0件”）（“当天商品销售量为1件”）
（Ⅱ）由题意知，的可能取值为2,3.
（“当天商品销售量为1件”）
（“当天商品销售量为0件”）（“当天商品销售量为2件”）（“当天商品销售量为3件”）
故的分布列为
2 3 的数学期望为
19．解法1：连结OC，因为
又底面⊙O，所以，
因为OD，PO是平面POD内的两条相交直线，所以平面POD，
而平面PAC，所以平面POD平面PAC。
（II）于H，由（I）知，平面平面PAC，又面PAC，所以
在平面PAO中，过O作于G，
连接HG，
则有平面OGH，
从而，故为二面角B—PA—C的平面角。
在
在
在
在
所以
故二面角B—PA—C的余弦值为
解法2：（I）如图所示，以O为坐标原点，OB、OC、OP所在直线分别为x轴、y轴，z轴建立空间直角坐标系，则
，
设是平面POD的一个法向量，
则由，得
所以
设是平面PAC的一个法向量，
则由，
得
所以
得。
因为
所以从而平面平面PAC。
（II）因为y轴平面PAB，所以平面PAB的一个法向量为
由（I）知，平面PAC的一个法向量为
设向量的夹角为，则
由图可知，二面角B—PA—C的平面角与相等，
所以二面角B—PA—C的余弦值为
20．（本小题满分13分）
解：（I）由题意知，E移动时单位时间内的淋雨量为，
故，
（II）由（I）知
当时，
当
故
（1）当时，y是关于v的减函数，
故当
（2）当时，在上，y是关于v的减函数，
在上，y是关于v的增函数，
故当
21．（Ⅰ）由题意知
故C1，C2的方程分别为
（Ⅱ）（i）由题意知，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为.
由得
.
设是上述方程的两个实根，于是
又点M的坐标为（0，—1），所以
故MA⊥MB，即MD⊥ME.
解得
则点A的坐标为.
又直线MB的斜率为，
同理可得点B的坐标为
于是
由得
解得
则点D的坐标为
又直线ME的斜率为，同理可得点E的坐标为
于是.
因此
由题意知，
又由点A、B的坐标可知，
故满足条件的直线l存在，且有两条，其方程分别为
22．解：（I）由，而，
的一个零点，且在（1，2）内有零点。
因此至少有两个零点。
解法1：记则
当上单调递增，则内至多只有一个零点。又因为内有零点，所以内有且只有一个零点，记此零点为；当时，
所以，
当单调递减，而内无零点；
当单调递减，而内无零点；
当单调递增，而内至多只有一个零点。
从而内至多只有一个零点。
综上所述，有且只有两个零点。
解法2：由，则
当从而上单调递增，
则内至多只有一个零点，因此内也至多只有一个零点。
综上所述，有且只有两个零点。
（II）记的正零点为
（1）当
而
由此猜测：。下面用数学归纳法证明。
①当显然成立。
②假设当时，由
因此，当成立。
故对任意的成立。
（2）当，由（I）知，上单调递增，则，
即，
由此猜测：，下面用数学归纳法证明，
①当显然成立。
②假设当成立，则当时，
由
因此，当成立，
故对任意的成立
综上所述，存在常数，使得对于任意的
1
俯视图
图1
侧视图
正视图
2
3
3
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