高三数学复习圆锥曲线知识点与高考试题
一、知识点：
1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹
2．椭圆的标准方程：，（，）
3．椭圆的性质：(1)范围；(2)对称性:图象关于轴对称．图象关于轴对称．图象关于原点对称原点叫椭圆的对称中心，简称中心（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点
椭圆共有四个顶点：，加两焦点共有六个特殊点叫椭圆的长轴，叫椭圆的短轴．长分别为分别为椭圆的长半轴长和短半轴长椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点
(4)离心率:椭圆焦距与长轴长之比
4椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个内常数，那么这个点的轨迹叫做椭圆其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数就是离心率
5．椭圆的准线方程：对于，左准线；右准线
对于，下准线；上准线
焦点到准线的距离（焦参数）
椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称
6．椭圆的焦半径公式：（左焦半径）,（右焦半径）,其中是离心率
焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式：（其中分别是椭圆的下上焦点）焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关可以记为：左加右减，上减下加
7椭圆的参数方程
8．双曲线的定义：平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线即这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距
9．双曲线的标准方程及特点：
焦点在轴上时双曲线的标准方程为：(，,)；
焦点在轴上时双曲线的标准方程为：(，,)
10焦点的位置:椭圆的标准方程看椭圆的焦点位置可由方程中含字母、项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即项的系数是正的，那么焦点在轴上；项的系数是正的，那么焦点在轴上
11．双曲线的几何性质：（1）范围、对称性（2）顶点
（3）渐近线：双曲线的渐近线（）
（4）离心率：，
12．等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率
13．共渐近线的双曲线系：如果已知一双曲线的渐近线方程为，那么此双曲线方程就一定是
14．共轭双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线区别：三量a,b,c中a,b不同（互换）c相同共用一对渐近线双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-1
15．双曲线的第二定义：到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数的点的轨迹是双曲线其中，定点叫做双曲线的双曲线的常数e是双曲线的离心率．来说，相对于左焦点对应着左准线，相对于右焦点对应着右准线；焦点到准线的距离（也叫焦参数）
对于来说，相对于上焦点对应着上准线；相对于下焦点对应着下准线
17双曲线的焦半径：双曲线上任意一点M与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径
焦点在x轴上的双曲线的焦半径公式：
焦点在y轴上的双曲线的焦半径公式：
18．双曲线的焦点弦：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦
19．双曲线的通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦
20抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线
21．抛物线的方程焦点准线焦半径公式焦点弦公式
(1),，，
(2),，，
(3),，，
(4),，，
通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦通径：
22．抛物线的几何性质：（1）范围2）对称性3）顶点4）离心率e=1．的参数方程：（t为参数）
二、巩固训练（高考试题）
辽宁卷6．已知点、，动点，则点P的轨迹是(D)
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
辽宁卷19．设椭圆方程为，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求：
（1）动点P的轨迹方程；（2）的最小值与最大值.
辽宁卷19．（1）解法一：直线l过点M（0，1）设其斜率为k，则l的方程为
记、由题设可得点A、B的坐标、是方程组
的解.…………2分
将①代入②并化简得，，所以
于是……6分
设点P的坐标为则消去参数k得③
当k不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以点P的轨迹方程为…8分
解法二：设点P的坐标为，因、在椭圆上，所以
④⑤
④—⑤得，所以
当时，有⑥
并且⑦将⑦代入⑥并整理得⑧
当时，点A、B的坐标为（0，2）、（0，－2），这时点P的坐标为（0，0）
也满足⑧，所以点P的轨迹方程为……8分
（2）解：由点P的轨迹方程知
所以……10分
故当，取得最小值，最小值为时，取得最大值，最大值为
广东卷22．设直线与椭圆相交于A、B两点，又与双曲线x2–y2=1相交于C、D两点，C、D三等分线段AB.求直线的方程.
广东卷22．解：首先讨论l不与x轴垂直时的情况，设直线l的方程为y=kx+b，如图所示，l与椭圆、双曲线的交点为：
依题意有，由
，
若，则与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故
由
故l的方程为
(ii)当b=0时，由(1)得
由
故l的方程为。再讨论l与x轴垂直的情况.
设直线l的方程为x=c,分别代入椭圆和双曲线方程可解得，
，
综上所述，故l的方程为、和
全国卷3理(21)文22：设椭圆的两个焦点是F1(-c,0),F2(c,0)(c>0)，且椭圆上存在点P，使得直线PF1与直线PF2垂直．(I)求实数m的取值范围．(II)设l是相应于焦点F2的准线，直线PF2与l相交于点Q.若，求直线PF2的方程．
全国卷3理21文22.解：⑴∵直线PF1⊥直线PF2，∴以O为圆心以c为半径的圆：x2+y2=c2与椭圆：有交点.即有解
又∵c2=a2-b2=m+1-1=m>0∴∴
⑵设P(x,y),直线PF2方程为：y=k(x-c)，
∵直线l的方程为：∴点Q的坐标为()
∵∴点P分有向线段所成比为
∵F2(,0),Q()∴P()
∵点P在椭圆上∴，∴
直线PF2的方程为：y=(x-).
全国卷4理8．已知椭圆的中心在原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此椭圆方程为 （A）
A． B．C． D．
全国卷4理21文22．双曲线的焦点距为2c，直线过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线的距离与点（－1，0）到直线的距离之和求双曲线的离心率e的取值范围.
全国卷4理21文22解：直线的方程为，即
由点到直线的距离公式，且，得到点（1，0）到直线的距离，
同理得到点（－1，0）到直线的距离，
由即
于是得
解不等式，得由于所以的取值范围是
天津卷理4文5.设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为、F2分别是双曲线的左、右焦点，若，则（C）A.1或5 B.6 C.7 D.9
天津卷文理22.椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F（c，0）的准线与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若，求直线PQ的方程；（3）（理）设（），过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明。
天津卷文理22（1）解：由题意，可设椭圆的方程为。
由已知得解得
所以椭圆的方程为，离心率。
（2）解：由（1）可得A（3，0）。设直线PQ的方程为。由方程组
得
依题意，得。
设，则，①。②
由直线PQ的方程得。于是
。③
∵，∴。④
由①②③④得，从而。
所以直线PQ的方程为或
（2）证明：。
由已知得方程组
注意，解得
因，故
。
而，所以
。
付国教案
第1页共9页
②
①
|
|
