2012年高考数学按章节分类汇编（人教A必修一）
第三章函数的应用
一、选择题
1．（2012年高考（北京文））函数的零点个数为 （）
A．0 B．1 C．2 D．3
2函数在区间内的零点个数是 （）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2012年高考（江西文））如右图,OA=2(单位:m),OB=1(单位:m),OA与OB的夹角为,以A为圆心,AB为半径作圆弧与线段OA延长线交与点 C．甲.乙两质点同时从点O出发,甲先以速度1(单位:ms)沿线段OB行至点B,再以速度3(单位:ms)沿圆弧行至点C后停止,乙以速率2(单位:m/s)沿线段OA行至A点后停止.设t时刻甲、乙所到的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S(t)(S(0)=0),则函数y=S(t)的图像大致是4．（2012年高考（湖南文））设定义在上的函数是最小正周期为的偶函数,是的导函数,当时,;当且时,,则函数在上的零点个数为2 B．4 C．5 D．8
5．（2012年高考（湖北文））函数在区间上的零点个数为2 B．3 C．4 D．56．（2012年高考（辽宁理））设函数f(x)满足f()=f(x),f(x)=f(2x),且当时,f(x)=x3.又函数g(x)=|xcos|,则函数h(x)=g(x)-f(x)在上的零点个数为 （）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．（2012年高考（湖北理））函数在区间上的零点个数为 （）
A．4 B．5 C．6 D．7
二、解答题
8．（2012年高考（上海春））本题共有2个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分.某环线地铁按内、外环线同时运行,内、外环线的长均为千米(忽略内、外环线长度差异).(1)当列列车同时在内环线上运行时,要使内环线乘客最长候车时间为分钟,求内环线列车的最小平均速度;(2)新调整的方案要求内环线列车平均速度为千米/小时,外环线列车平均速度为千米/小时.现内、外环线共有列列车全部投入运行,要使内、外环线乘客的最长候车时间之差不超过分钟,问:内、外环线应名投入几列列车运行?9．（2012年高考（江苏））如图,建立平面直角坐标系,轴在地平面上,轴垂直于地平面,单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上,其中与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.
(1)求炮的最大射程;
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标不超过多少时,
炮弹可以击中它?请说明理由.
10．（2012年高考（湖南理））某企业接到生产3000台某产品的A,B,C三种部件的订单,每台产品需要这三种部件的数量分别为2,2,1(单位:件).已知每个工人每天可生产A部件6件,或B部件3件,或C部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件,生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比,比例系数为k(k为正整数).(1)设生产A部件的人数为x,分别写出完成A,B,C三种部件生产需要的时间;(2)假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数k的值,使完成订单任务的时间最短,并给出时间最短时具体的人数分组方案.参考答案
一、选择题1.【答案】B【解析】函数的零点,即令,根据此题可得,在平面直角坐标系中分别画出这两个函数的图像,可得交点只有一个,所以零点只有一个,故选答案B.【考点定位】本小题表面上考查的是零点问题,实质上考查的是函数图像问题,该题涉及到图像幂函数和指数函数.2.【答案】B
【命题意图】本试题主要考查了函数与方程思想,函数的零点的概念,零点存在定理以及作图与用图的数学能力.
【解析】解法1:因为,,即且函数在内连续不断,故在内的零点个数是1.
解法2:设,,在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示:可知B正确.
3.【答案】A
4.【答案】B【解析】由当x∈(0,π)且x≠时,,知
又时,0
【点评】本题考查函数的周期性、奇偶性、图像及两个图像的交点问题.
5.D【解析】由,得或;其中,由,得,故.又因为,所以.所以零点的个数为个.故选D.【点评】本题考查函数的零点,分类讨论的数学思想.判断函数的零点一般有直接法与图象法两种方法.对于三角函数的零点问题,一般需要规定自变量的取值范围;否则,如果定义域是,则零点将会有无数个;来年需注意数形结合法求解函数的零点个数,所在的区间等问题.6.【答案】B
【解析】因为当时,f(x)=x3.所以当,f(x)=f(2x)=(2x)3,
当时,g(x)=xcos;当时,g(x)=xcos,注意到函数f(x)、g(x)都是偶函数,且f(0)=g(0),f(1)=g(1),,作出函数f(x)、g(x)的大致图象,函数h(x)除了0、1这两个零点之外,分别在区间上各有一个零点,共有6个零点,故选B
【点评】本题主要考查函数的奇偶性、对称性、函数的零点,考查转化能力、运算求解能力、推理论证能力以及分类讨论思想、数形结合思想,难度较大.
7.考点分析:本题考察三角函数的周期性以及零点的概念.解析:,则或,,又,
所以共有6个解.选C.二、解答题8.解:(1)设内环线列车运行的平均速度为千米/小时,由题意可知,所以,要使内环线乘客最长候车时间为10分钟,列车的最小平均速度是20千米/小时.(2)设内环线投入列列车运行,则外环线投入列列车运行,内、外环线乘客最长候车时间分别为分钟,则于是有又,所以,所以当内环线投入10列,外环线投入8列列车运行,内、外环线乘客最长候车时间之差不超过1分钟.
9.【答案】解:(1)在中,令,得.
由实际意义和题设条件知.
∴,当且仅当时取等号.
∴炮的最大射程是10千米.
(2)∵,∴炮弹可以击中目标等价于存在,使成立,
即关于的方程有正根.
由得.
此时,(不考虑另一根).
∴当不超过6千米时,炮弹可以击中目标.
【考点】函数、方程和基本不等式的应用.
【解析】(1)求炮的最大射程即求与轴的横坐标,求出后应用基本不等式求解.
(2)求炮弹击中目标时的横坐标的最大值,由一元二次方程根的判别式求解.
10.【解析】解:(Ⅰ)设完成A,B,C三种部件的生产任务需要的时间(单位:天)分别为由题设有
期中均为1到200之间的正整数.(Ⅱ)完成订单任务的时间为其定义域为易知,为减函数,为增函数.注意到于是(1)当时,此时,
由函数的单调性知,当时取得最小值,解得.由于.
故当时完成订单任务的时间最短,且最短时间为.
(2)当时,由于为正整数,故,此时易知为增函数,则
.
由函数的单调性知,当时取得最小值,解得.由于此时完成订单任务的最短时间大于.(3)当时,由于为正整数,故,此时由函数的单调性知,当时取得最小值,解得.类似(1)的讨论.此时完成订单任务的最短时间为,大于.综上所述,当时完成订单任务的时间最短,此时生产A,B,C三种部件的人数分别为44,88,68.【点评】本题为函数的应用题,考查分段函数、函数单调性、最值等,考查运算能力及用数学知识分析解决实际应用问题的能力.第一问建立函数模型;第二问利用单调性与最值来解决,体现分类讨论思想.
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