直线型面积计算（1）
对于三角形的面积计算，我们除了熟练运用基本的计算公式，在技巧性很强的奥数题中还要根据相应的性质和结论来解题，下面就是我们小学奥数常用的三条性质：
如图，长方形的面积是平方厘米，点、、分别是长方形边上的中点，为边上的任意一点，求阴影部分的面积．
本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用．
连接、．
∵，
∴．
同理，，，
∴（平方厘米）．
［铺垫］你有多少种方法将任意一个三角形分成：
⑴个面积相等的三角形；
⑵个面积相等的三角形；
⑶个面积相等的三角形．
⑴如右图，、、分别是对应边上的中点，这样就将三角形分成了个面积相等的三角形；
⑵如右图，、是的三等分点，、分别是对应线段的中点；答案不唯一；
⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考．
如图，三角形的面积为，其中，，三角形的面积是多少？
连接．
∵，∴，．
又∵，∴．
如图，三角形中，，，三角形的面积是平方厘米，三角形的面积是多少？
∵，∴,;
又∵,∴,（平方厘米）．
［铺垫］如图，三角形被分成了甲、乙两部分，，，，甲部分面积是乙部分面积的几分之几？
连接．
∵,，
∴,．
又∵,
∴,
∴,
∴．
［拓展］如图，在三角形中，厘米，厘米，、分别为和的中点，那么三角形的面积是多少平方厘米？
∵是的中点,
∴，
同理，
∴（平方厘米）．
如图，已知三角形面积为，延长至，使；延长至，使；延长至，使，求三角形的面积．
本题是性质的反复使用（还可以用燕尾定理，但本讲不用这种方法，燕尾定理我们会放到五年级春季再讲）．
连接、．
∵，
∴．
同理可得其它，最后三角形的面积．
［拓展］如图，四边形的面积是平方米，，，，，求四边形的面积．
连接.设，
∵，
∴,
又∵,
∴，
同理，
∴
连接，同理
∴，
（平方米）．
［拓展］如图，已知长方形的面积，三角形的面积是，三角形的面积是，那么三角形的面积是多少？
连接对角线．
∵是长方形
∴
∴，
∴，
∴
∴．
［拓展］如图，长方形中，，，三角形的面积为平方厘米，求长方形的面积．
连接，．
因为，，所以．
因为，，所以，所以．因为，所以长方形的面积是平方厘米．
（第八届小赛如下图，、分别是梯形的下底和腰上的点，，并且甲、乙、丙个三角形面积相等．已知梯形的面积是．求图中阴影部分的面积．
因为乙、丙两个三角形面积相等，底．所以到的距离与到的距离相等，即与平行，四边形是平行四边形，阴影部分的面积平行四边形的面积的，所以阴影部分的面积乙的面积．从而阴影部分的面积（平方厘米）．
［拓展］如图，在平行四边形中，，．求阴影面积与空白面积的比．
因为，，所以，．
因为，所以，
所以，．
同理可得，，．
因为，所以空白部分的面积，所以阴影部分的面积是．
，所以阴影面积与空白面积的比是．
如图所示，四边形与都是平行四边形，请你证明它们的面积相等．
本题主要是让学生了解并会运用等底等高的两个平行四边形面积相等和三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．
证明：连接．（我们通过把这两个看似无关的平行四边形联系在一起．）
∵在平行四边形中，边上的高，
∴（也就是等积变换的重要依据③的特殊情况）．
同理，，∴平行四边形与面积相等．
［拓展］如图所示，正方形的边长为厘米，长方形的长为厘米，那么长方形的宽为几厘米？
本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．
证明：连接.（我们通过把这两个长方形和正方形联系在一起）．
∵在正方形中，边上的高，
∴（三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半）
同理，．
∴正方形与长方形面积相等.长方形的宽（厘米）．
如图，正方形和正方形，且正方形边长为厘米，求图中三角形的面积为多少平方厘米？
连接．
∵，都是正方形的对角线
∴，∥．
∴与同底等高，(平方厘米)．
（年西城某重点中学小升初分班考题）右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是厘米，求三角形的面积．
这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形的边长没关系．连接（见右上图），可以看出，三角形与三角形的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等．因为三角形是三角形与三角形的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形与三角形面积仍然相等．根据等量代换，求三角形的面积等于求三角形的面积，等于．
［拓展］（小学数学夏令营五年级组试题）如图，四边形和四边形都是正方形，已知三角形的面积为平方厘米，求三角形的面积．
通常求三角形的面积，都是先求它的底和高．题目中没有一条线段的长度是已知的，所以我们只能通过创造等积的方法来求．
直接找三角形与三角形的关系还很难，而且也没有利用“四边形和四边形是正方形”这一条件．我们不妨将它们都补上梯形这一块．寻找新得到大三角形和大直角梯形之间的关系．经过验算，可以知道它们的面积是相等的．从而得到三角形与三角形面积相等，也是平方厘米．
如右图，在平行四边形中，直线交于，交延长线于，若，求的面积．
本题主要是让学生并会运用等底等高的两个三角形面积相等（或夹在一组平行线之间的三角形面积相等）和等量代换的思想.连接．
∵∥，∴．
同理∥，∴．
又，，∴，即
．
（小学数学奥林匹克决赛试题）右图中，是的长方形，是的长方形，求三角形与三角形的面积之差．
直接求出三角形与三角形的面积之差，不太容易做到．如果利用差不变性质，将所求面积之差转化为另外两个图形的面积之差，而这两个图形的面积之差容易求出，那么问题就解决了．
法：连结（见右图）．三角形与三角形都加上三角形，则原来的问题转化为求三角形与三角形的面积之差．
所求为．
法：连结（见右图）．三角形与三角形都加上三角形，则原来的问题转化为求三角形与三角形的面积之差．
所求为．
法：延长交于（见右图）．三角形与三角形都加上梯形，则原来的问题转化为求三角形与矩形的面积之差．
所求为．
法：延长，交于（见右图）．三角形与三角形都加上梯形，则原来的问题转化为求矩形与直角三角形的面积之差．所求为．
如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是，，．那么图中阴影部分的面积是多少？
三角形的面积三角形的面积长方形面积阴影部分面积；又因为三角形的面积三角形的面积长方形面积，所以可得：
阴影部分面积．
如图，在长方形中，是的中点，是的中点，如果厘米，厘米，求三角形的面积．
∵是的中点，是的中点，∴，，
又∵是长方形，∴(平方厘米)．
如图，三角形中，是的倍，是的倍，如果三角形的面积等于，那么三角形的面积是多少？
连接.∵∴.
又∵∴，∴.
两个正方形组成右图所示的组合图形．已知组合图形的周长是厘米，厘米，求阴影部分的面积．
组合图形的周长并不等于两个正方形的周长之和，因为部分重合了．用组合图形的周长减去，就得到大、小正方形边长之和的三倍，所以两个正方形的边长之和等于（厘米）．又由两个正方形的边长之差是厘米，可求出大正方形边长（厘米），小正方形边长（厘米）．阴影部分面积（平方厘米）．
在右图中，平行四边形的边长厘米，直角三角形的直角边长厘米．已知阴影部分的总面积比三角形的面积大平方厘米，求平行四边形的面积．
因为阴影部分比三角形的面积大平方厘米，都加上梯形后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行比直角三角形的面积大平方厘米，所以平行四边形的面积等于平方厘米．
右图中，厘米，三角形比三角形的面积大厘米的长．
连结．三角形的面积为平方厘米，厘米．
直线型面积计算（2）
在小学的学习中几何是一个很重要的部分，每一个几何图形都非常美妙，几何图形的美妙不仅来源于它的外形，更重要的是在几何模型上出现的那些美妙的规律，下面我们就一起来看看几个美妙的几何模型：
模型一：任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：
①或者
②
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．
模型二：梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：
①
②；
③的对应份数为．
梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．
模型三：相似三角形性质：
①；
②．
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不只要其形状，不论大小怎样改变们都相似，相似三角形的一切对应线段它们的相似比相似三角形的面积比等于它们相似比的平方的面积；⑵？
⑴根据蝴蝶定理，，那么；
⑵根据蝴蝶定理，．
(2006年南京智力数学冬令营)如下图，梯形的∥，对角线，交于，已知与的面积分别为25平方厘米与35平方厘米，那么梯形的面积是________平方厘米．
根据梯形蝴蝶定理，，可得，再根据梯形蝴蝶定理，，所以(平方厘米)．那么梯形的面积为(平方厘米)．
［铺垫］梯形的对角线与交于点，已知梯形上底为2，且三角形的面积等于三角形面积的，求三角形与三角形的面积之比．
根据梯形蝴蝶定理，，可以求出，
再根据梯形蝴蝶定理，．
通过利用已有几何模型，我们轻松解决了这个问题，而没有像以前一样，为了某个条件的缺乏而千辛万苦进行构造假设，所以，请同学们一定要牢记几何模型的结论．
四边形的对角线与交于点(如图所示)．如果三角形的面积等于三角形的面积的，且，，那么的长度是的长度的_________倍．
在本题中，四边形为任意四边形，对于这种“不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个“不良四边形”，于是可以作垂直于，垂直于，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题．
解法一：∵，
∴，
∴．
解法二：作于，于．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
在边长为1的正方形中，，求四边形的面积面积为1，是边上的中点．求图中阴影部分的面积．
因为是边上的中点，所以，可得，
由于，根据梯形蝴蝶定理可以知道
，
所以阴影部分面积占梯形面积的，所以．
如图，在长方形中，，，求阴影部分的面积
如图，连接，将阴影部分的面积分为两个部分，其中三角形的面积为．
由于，根据梯形蝴蝶定理，，所以，而，所以，阴影部分的面积为．
相似三角形性质
在图中的正方形中，，，分别是所在边的中点，的面积是面积的几倍？
连接与垂直，已知，，那么图中阴影部分面积是多少？
解法一：这个图是个对称图形，且各边长度已经给出，不妨连接这个图形的对称轴看看．
作辅助线，则图形关于对称，有，，且．
设的面积为2份，则的面积为3份，直角三角形的面积为8份．
因为，而阴影部分的面积为4份，所以阴影部分的面积为．
解法二：连接、．由于，，所以∥，根据相似三角形性质，可知，
根据梯形蝴蝶定理，，所以，即；
又，所以．
右图中正方形的面积为1，、分别为、的中点，．求阴影部分的面积．
题中条件给出的都是比例关系，由此可以初步推断阴影部分的面积要通过比例求解，而图中出现最多的就是三角形，那么首先想到的就是利用相似三角形的性质．
阴影部分为三角形，已知底边为正方形边长的一半，只要求出高，便可求出面积．可以作垂直于，垂直于．
根据相似三角形性质，，又因为，所以，即，所以．
如图，长方形中，为中点，与、分别交于、，于，交于，已知，，求
由于∥，利用相似三角形性质可以得到，
又因为为中点，那么有，
所以，利用相似三角形性质可以得到，
而，所以．
是平行四边形，面积为72平方厘米，、分别为、的中点，则图中阴影部分的面积为＿＿＿＿平方厘米．
注意引导学生利用三角形的中位线定理以及平行线的相关性质．
设、分别为、的中点，连接、、．
可得，
对角线被、、平均分成四段，又∥，所以，，
所以(平方厘米)，(平方厘米)．
同理可得平方厘米，平方厘米．
所以(平方厘米)，
于是，阴影部分的面积为(平方厘米)．
练习
(第十届华杯如下图，四边形中，对角线和交于，并且的长是多少
根据蝴蝶定理，，所以，又，所以．
如图，梯形中，、的面积分别为和，求梯形的面积．
根据梯形蝴蝶定理，，所以，
，，
．
已知三角形的面积为，，是的中点，且∥，交于，求阴影部分的面积．
已知，且∥，利用相似三角形性质可知，所以，且．
又因为是的中点，所以是三角形的中位线，那么，，所以，可得，所以，那么．
在下图的正方形中，是边的中点，与相交于点，三角形的面积为1平方厘米，那么正方形面积是平方厘米．
根据相似三角形性质可知，所以(平方厘米)，那么(平方厘米)．
①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；
③夹在一组平行线之间的等积变形，如；
反之，如果，则可知直线平行于．
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