胡寿松自动控制原理习题解答第三章
3-1设随动系统的微分方程为：uKxxT
200
=+&&&
u])([
1f
xtrK?=
T
0
xxx
fff
=+&
其中T,Tf,K2为正常数。如果在外作用r(t)=1+t的情况下，使对r(t)的稳态误差不大于正
常数
0
x
0
ε,试问k1应满足什么条件？
见习题3-20解答
3-2设系统的微分方程式如下：
（1）)(2)(2.0trtc=&
（2）0)()()(24.0)(04.trtctctc=++&&&
试求系统的单位脉冲响应k(t)和单位阶跃响应h(t)。已知全部初始条件为零。
解：
（1）因为)(2)(2.0sRssC=
单位脉冲响应：Css/10)(=010)(≥=ttk
单位阶跃响应h(t)C
2
/10)(ss=010)(≥=ttth
（2）()()()124.004.0
2
sRsCss=++
124.004.0
)(
)(
2
++
=
ss
sR
sC
单位脉冲响应：
124.004.0
1
)(
2
++
=
ss
sCtetk
t
4sin
3
25
)(
3?
=
单位阶跃响应h(t)
16)3(
61
]16)3[(
25
)(
22
++
+
?=
++
=
s
s
sss
sC
teteth
tt
4sin
4
3
4cos1)(
33??
??=
3-3已知系统脉冲响应如下，试求系统闭环传递函数Φ（ｓ）。
（1）
t
etk
25.1
0125.0)(
?
=
（2）)454sin(105)(
0
++=tttk
（3）)1(1.0)(
3/t
etk
?
?=
解：
（1）
25.1
0125.0
)(
+
=
s
sΦ
1
胡寿松自动控制原理习题解答第三章
（2）
00
45sin4cos1045cos4sin105)(ttttk++=
16
4
25
5
16
25
16
4
25
5
)(
22222
+
+
+=
+
+
+
+=Φ
s
s
ss
s
ss
s
（3）
3/1
1.01.0
)(
+
?=
ss
sΦ
3-4已知二阶系统的单位阶跃响应为
h)1.536.1sin(5.1210)(
2.1ot
tet+?=
?
试求系统的超调量σ％、峰值时间ｔp和调节时间ｔs。
解：)1sin(
1
1
1)(
2
2
βωξ
ξ
ξω
+?
?
?=
?
tet
n
t
n
h
ξβarccos=
2
1/
%
ξπξ
σ
??
=e
n
p
t
ωξ
π
2
1?
=
n
s
t
ξω
5.3
=
6.01.53coscos
0
===βξ
%5.9%
222
6.01/6.06.01/6.01/
====
??????ππξπξ
σeee
)(96.1
6.1
1
2
st
n
p
==
?
=
π
ωξ
π
)(92.2
2.1
5.35.3
st
n
s
===
ξω
3-5设单位反馈系统的开环传递函数为
)6.0(
14.0
)(
+
+
=
ss
s
sG
试求系统在单位阶跃输入下的动态性能。
解：闭环传递函数
1
14.0
)6.0(
14.0
1
)6.0(
14.0
)(1
)(
)(
2
++
+
=
+
+
+
+
+
=
+
=
ss
s
ss
s
ss
s
sG
sG
sG
B
1
6.01
1
11
1
4.0
)1(
1
1
4.0
1
14.01
)()()(
222
222
++
+
?=
++
+
?+
++
=
++
+
++
=
++
+
==
ss
s
sss
s
sss
sssssss
s
s
sRsGsC
B
2
胡寿松自动控制原理习题解答第三章
)3.55
2
3
sin(22.11
2
3
sin
3
6.02
2
3
cos1)(
05.0
5.05.0
+?=
×
??=
?
??
te
tetetc
t
tt
)1sin(
1
1
1)(
2
2
βωξ
ξ
ξω
+?
?
?=
?
teth
n
t
n
ξβarccos=
2
1/
%
ξπξ
σ
??
=e
n
p
t
ωξ
π
2
1?
=
n
s
t
ξω
5.3
=
569.03.55coscos
0
===βξ
%37.11%
2
1/
==
??ξπξ
σe
st
n
p
63.3
3
2
1
2
=
×
=
?
=
π
ωξ
π
st
n
s
7
5.0
5.35.3
===
ξω
3-6已知控制系统的单位阶跃响应为
h
tt
eet
1060
2.12.01)(
??
?+=
试确定系统的阻尼比ζ和自然频率ωｎ。
解：
求拉氏变换得
)2()60070(
600
)10)(60(
600
)10)(60(
)60(2.1
)10)(60(
)10(2.0
)10)(60(
)10)(60(
10
2.1
60
2.01
)(
22
2
2
nn
n
sssssssss
sss
ss
sss
ss
sss
ss
sss
sH
ωξω
ω
++
=
++
=
++
=
++
+
?
++
+
+
++
++
=
+
?
+
+=
显然闭环传递函数为
)2(
22
2
nn
n
ssωξω
ω
++
其中600
2
=
n
ω610=
n
ω702=
n
ξω
62
7
=ξ
根据（3-17）
1/1/
1)(
21
/
12
/
121
?
+
?
+=
??
TT
e
TT
e
th
TtTt
解：根据公式（3-17）
3
胡寿松自动控制原理习题解答第三章
1/1/
1)(
2112
21
?
+
?
+=
??
TT
e
TT
e
th
T
t
T
t
)1(
1
2
1
??
=
ξξω
n
T
)1(
1
2
2
?+
=
ξξω
n
T
显然：
10
1
1
=T
60
1
2
=T
2
2
2
2
2
1
1
11
1
11
6
1
1
ξ
ξ
ξξ
ξξ
??
?+
==
??
?+
=
T
T
解方程得
62
7
=ξ
由
10
1
)1(
1
2
1
=
??
=
ξξω
n
T得到10)1(
2
=??ξξω
n
所以610
2
6210
1
24
49
62
7
10
1
10
2
=
×
=
??
=
??
=
ξξ
ω
n
3-7设图3-42是简化的飞行控制系统结构图，试选择参数K１和Kt，使系统ωｎ＝６、ζ
＝１。
图3-42飞行控制系统
解：系统开环传递函数
)2()258.0(
25
25)8.0(
25
)8.0(
25
1
)8.0(
25
)(
2
1
1
1
1
1
1
0
n
n
t
t
t
ssKKss
K
sKKss
K
sK
ss
K
ss
K
sG
ξω
ω
+
=
++
=
++
=
+
+
+
=
1
2
2536K
n
==ω
25
36
1
=K
4
胡寿松自动控制原理习题解答第三章
12258.02
1
=+=
tn
KKξω所以
45
14
=
t
K
3-8试分别求出图3-43各系统的自然频率和阻尼比，并列表比较其动态性能。
1
S
2
r(t)c(t)
1
S
2
r(t)
c(t)
1+s
1
S
2
r(t)c(t)
S
(c)
(b)
(a)
--
-
+
+
图3-43控制系统
解：
（a）01==ξω
n
系统临界稳定。
（b）
1
1
)(
2
++
+
=
ss
s
sΦ5.01==ξω
n
%8.29%=σts
s
51.7=
（c）
1
1
)(
2
++
+
=Φ
ss
s
s5.01==ξω
n
%3.16%=σst
s
08.8=
3-9设控制系统如图3-44所示。要求：
图3-44控制系统
(1)取τ1＝０，τ2＝０.１，计算测速反馈校正系统的超调量、调节时间和速度误差；
(2)取τ1＝０.１，τ２＝０，计算比例-微分校正系统的超调量、调节时间和速度误差。
解：（1）系统开环传递函数
)2()2(
10
10)1(
)1(10
)1(
10
1
)1(
10
)1()(
2
2
1
2
10
n
n
sssssss
s
ss
s
ss
ssG
ξω
ω
τ
τ
τ
τ
+
=
+
=
++
+
=
+
+
+
+=
10
2
=
n
ω10=
n
ω22=
n
ξω
10
1
=ξ
%1.35%
2
1/
==
??ξξπ
σe
5
胡寿松自动控制原理习题解答第三章
st
n
s
5.3
5.3
==
ξω
5=
V
K
（2）
3-10图3-45所示控制系统有（a）和（b）两种不同的结构方案，其中T＞0不可变。要求：
（1）在这两种方案中，应如何调整，和，才能使系统获得较好的动态性能。
1
K
2
K
3
K
比较说明两种结构方案的特点。
解：
3-11已知系统特征方程为
302510
234
=++++ssss
试用劳思稳定判据和赫尔维茨判据确定系统的稳定性。
解：
列劳思表如下：
2
0
47
1530
2
10
47
110
253
0
1
2
3
4
s
s
s
s
s
?
由劳思表可以得到该系统不稳定。
3-12已知系统特征方程如下，试求系统在s右半平面的根数及虚根值。
（1）0483224123
2345
=+++++sssss
（2）0108-7-444
23456
=++?+ssssss
（3）0253520123
2345
=+++++sssss
解：（1）列劳思表如下：
0
1
2
3
4
5
4812
164
48243
32121
s
s
s
s
s
s
有一对虚根，系统不稳定
（2）列劳思表如下：
6
胡寿松自动控制原理习题解答第三章
0
1
2
3
4
5
6
1055
844
10741
s
s
s
s
s
s
s
??
?
??
系统不稳定
（3）列劳思表如下：
25
10
255
3
80
3
16
25203
35121
0
1
2
3
4
5
s
s
s
s
s
s
有一对虚根，系统不稳定
3-13已知单位反馈系统的开环传递函数
)15.0)(1(
)15.0(
)(
2
+++
+
=
ssss
sK
sG
试确定系统稳定时的K值范围。
解：系统特征方程为
0)15.0()15.0)(1(
2
=+++++sKssss
将上述方程化简得到：
0)5.01(25.15.0
234
=+++++KsKsss
劳思表如下：
Ks
K
KK
s
K
K
s
Ks
Ks
0
2
1
2
3
4
25.05.2
125.025.15.2
5.1
25.05.2
5.015.1
25.0
?
??
?
+
3-14已知系统结构图如图3-46所示。试用劳思稳定判据确定能使系统稳定反馈参数τ的取
值范围。
7
胡寿松自动控制原理习题解答第三章
解：系统开环传递函数为
23
0
)101(
1010
10)1(
101
)1(
10
1
)1(
10
)
1
1()(
ss
s
ssss
s
ss
s
ss
s
sG
ττ
τ
++
+
=
++
+
=
+
+
+
+=
系统特征方程为：
01010)101(
23
=++++sssτ
劳思表如下：
10
101
10
10101
101
0
1
2
3
s
s
s
s
τ
τ
τ
+
+
所以能使系统稳定反馈参数τ的取值范围为0>τ
3-15已知单位反馈系统的开环传递函数
（1）
)5)(11.0(
100
)(
++
=
ss
sG
（２）
)5)(11.0(
50
)(
++
=
sss
sG
（３）
)1006(
)12(10
)(
22
++
+
=
sss
s
sG
试求输入分别为和时，系统的稳态误差。ttr2)(=
2
22)(tttr++=
解：
（1）因为是二阶系统，且系数大于零，所以系统稳定。
20)(lim
0
==
→
sGK
s
p
0)(lim
0
==
→
ssGK
s
V
0)(lim
2
0
==
→
sGsK
s
a
所以当时ttr2)(=∞==
V
ss
K
R
e
2
当
2
22)(tttr++=∞=++
+
=
aVp
ss
K
R
K
R
K
R
321
1
e
8
胡寿松自动控制原理习题解答第三章
（2）应先检查系统的稳定性。
∞==
→
)(lim
0
sGK
s
p
10)(lim
0
==
→
ssGK
s
V
0)(lim
2
0
==
→
sGsK
s
a
所以当时ttr2)(=2.0
2
==
V
ss
K
R
e
当
2
22)(tttr++=∞=++
+
=
aVp
ss
K
R
K
R
K
R
321
1
e
（3）应先检查系统的稳定性。
∞==
→
)(lim
0
sGK
s
p
∞==
→
)(lim
0
ssGK
s
V
1.0)(lim
2
0
==
→
sGsK
s
a
所以当时ttr2)(=0
2
==
V
ss
K
R
e
当
2
22)(tttr++=20
1
321
=++
+
=
aVp
ss
K
R
K
R
K
R
e
3-16已知单位反馈系统的开环传递函数
(1)
)12)(11.0(
50
)(
++
=
ss
sG
（２）
)2004(
)(
2
++
=
sss
K
sG
（３）
)102(
)14)(12(10
)(
22
++
++
=
sss
ss
sG
试求位置误差系数Kｐ，速度误差系数Kｖ，加速度误差系数Kａ。
解：
（1）应先检查系统的稳定性。
50)(lim
0
==
→
sGK
s
p
0)(lim
0
==
→
ssGK
s
V
0)(lim
2
0
==
→
sGsK
s
a
(2)应先检查系统的稳定性。
∞==
→
)(lim
0
sGK
s
p
200
)(lim
0
K
ssGK
s
V
==
→
0)(lim
2
0
==
→
sGsK
s
a
(3)应先检查系统的稳定性。
∞==
→
)(lim
0
sGK
s
p
∞==
→
)(lim
0
ssGK
s
V
1)(lim
2
0
==
→
sGsK
s
a
3-17设单位反馈系统的开环传递函数为GTss/1)(=。试用动态误差系统法求出当输入信
号分别为r和时，系统的稳态误差。2/)(
2
tt=ttr2sin)(=
9
胡寿松自动控制原理习题解答第三章
3-18设控制系统如图3-47所示。其中
s
K
KsG
p
+=)(
Js
sF
1
)(=
输入r以及扰动n和均为单位阶跃函数。试求：)(t)(
1
t)(
2
tn
（1）在作用下系统的稳态误差)(tr
（2）在作用下系统的稳态误差)(
1
tn
（3）在和同时作用下系统的稳态误差)(
1
tn)(
2
tn
解：
（1）在作用下系统的稳态误差)(tr
这时系统的开环传递函数为：
2
0
)()()(
Js
KsK
sFsGsG
p
+
==
系统位置误差系数为∞==
→
)(lim
0
sGK
s
P
在作用下系统的稳态误差)(tr0
1
1
=
+
=
p
ssr
K
R
e
（2）在作用下系统的稳态误差)(
1
tn
这时系统的开环传递函数为：
2
0
)()()(
Js
KsK
sFsGsG
p
+
==
系统位置误差系数为∞==
→
)(lim
0
sGK
s
P
在作用下系统的稳态误差)(
1
tn0
1
1
1
=
+
=
p
ssn
K
R
e
（3）在和同时作用下系统的稳态误差)(
1
tn)(
2
tn
10
胡寿松自动控制原理习题解答第三章
)(
2
tn作用下系统的稳态误差
这时系统的开环传递函数为：
2
0
)()()(
Js
KsK
sFsGsG
p
+
==
系统位置误差系数为∞==
→
)(lim
0
sGK
s
P
在作用下系统的稳态误差)(
2
tn0
1
1
2
=
+
=
p
ssn
K
R
e
所以在在和同时作用下系统的稳态误差为)(
1
tn)(
2
tn
000
21
=+=+=
ssnssnssn
eee
3-19设闭环传递函数的一般形式为
01
1
1
01
1
1
)()(1
)(
)(
asasas
bsbsbsb
sHsG
sG
s
n
n
n
m
m
m
m
++++
++++
=
+
=Φ
?
?
?
?
L
L
误差定义取。试证：)()()(tctrte?=
（1）系统在阶跃信号输入下，稳态误差为零的充分条件是：b),,2,1(0,
00
miba
i
L===
（2）系统在斜坡信号输入下，稳态误差为零的充分条件是：
),,3,2(0,,
1100
mibabab
i
L====
解：(1)系统在阶跃信号输入下这时
s
sR
1
)(=
01
1
1
01
1
1
1
)()()(
asasas
bsbsbsb
s
ssRsC
n
n
n
m
m
m
m
++++
++++
=Φ=
?
?
?
?
L
L
01
1
1
001
1
11
1
1
01
1
1
01
1
101
1
1
01
1
1
01
1
1
01
1
1
01
1
1
)()()(1
)()(1
1
1
11
)()()(
asasas
basbsbsbsasas
s
asasas
bsbsbsbasasas
s
asasas
bsbsbsb
s
asasas
bsbsbsb
ss
sCsRsE
n
n
n
m
m
m
m
n
n
n
n
n
n
m
m
m
m
n
n
n
n
n
n
m
m
m
m
n
n
n
m
m
m
m
++++
?++++?+++
=
++++
++++?++++
=
?
?
?
?
?
?
++++
++++
?=
++++
++++
?=?=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
L
LL
L
LL
L
L
L
L
)(lim)(lim
0
ssEtee
st
ss
→∞→
==
11
胡寿松自动控制原理习题解答第三章
01
1
1
001
1
11
1
1
0
)()()(
lim
asasas
basbsbsbsasas
n
n
n
m
m
m
m
n
n
n
s
++++
?++++?+++
=
?
?
?
?
?
?
→
L
LL
如果e则a0=
ss00
b=且0
0
≠a
（2）系统在斜坡信号输入下这时
2
1
)(
s
sR=
01
1
1
01
1
1
2
1
)()()(
asasas
bsbsbsb
s
ssRsC
n
n
n
m
m
m
m
++++
++++
=Φ=
?
?
?
?
L
L
01
1
1
0011
2
2
1
1
2
2
1
1
2
01
1
1
01
1
101
1
1
2
01
1
1
01
1
1
2
01
1
1
01
1
1
22
)()()()(1
)()(1
1
1
11
)()()(
asasas
basbasbsbsbsasas
s
asasas
bsbsbsbasasas
s
asasas
bsbsbsb
s
asasas
bsbsbsb
ss
sCsRsE
n
n
n
m
m
m
m
n
n
n
n
n
n
m
m
m
m
n
n
n
n
n
n
m
m
m
m
n
n
n
m
m
m
m
++++
?+?++++?++++
=
++++
++++?++++
=
?
?
?
?
?
?
++++
++++
?=
++++
++++
?=?=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
L
LL
L
LL
L
L
L
L
)(lim)(lim
0
ssEtee
st
ss
→∞→
===
01
1
1
0011
2
2
1
1
2
2
1
1
0
)()()()(1
lim
asasas
basbasbsbsbsasas
s
n
n
n
m
m
m
m
n
n
n
s
++++
?+?++++?++++
=
?
?
?
?
?
?
→
L
LL
如果e则a0=
ss00
b=且
11
ba=0
0
≠a
3-20设随动系统的微分方程为
)(
)()(
2
2
2
1
tuK
dt
tdc
dt
tcd
=+T
)]()([)(
1
tbtrKtu?=
)()(
)(
2
tctb
dt
tdb
T=+
其中，T１、Ｔ２和K２为正常数。若要求r(t)=1+t时，c(t)对r(t)的稳态误差不大于正常
数ε０，试问K１应满足什么条件?已知全部初始条件为零。
解：
由上述方程得到拉氏变换如下：
)()()(
2
2
1
sUKsCssT=+)()(
2
1
2
sU
ssT
K
sC
+
=
)]()([)(
1
sBsRKsU?=
12
胡寿松自动控制原理习题解答第三章
)()()1(
2
sCsBsT=+)(
1
1
)(
2
sC
sT
sB
+
=
由此得到系统结构图如下：
K
1
K
2
s(T
1
s+1)
U(s)
C(s)
B(s)
1
T
2
s+1
－
R(s)
系统闭环传递函数为：
2121
221
21
21
1
21
)1)(1(
)1(
)1)(1(
1
)1(
)(
KKsTsTs
sTKK
sTsTs
KK
sTs
KK
s
+++
+
=
++
+
+
=Φ
当时ttr+=1)(
22
111
)(
s
s
ss
sR
+
=+=
2121
221
2
)1)(1(
)1(1
)()()(
KKsTsTs
sTKK
s
s
ssRsC
+++
++
=Φ=
?
?
?
?
?
?
+++
?+++
=
?
?
?
?
?
?
+++
+?++++
=
?
?
?
?
?
?
+++
+
?
+
=
+++
++
?
+
=?=
2121
22121
2121
2212121
2
2121
221
2
2121
221
22
)1)(1(
)1)(1(1
)1)(1(
)1()1)(1(1
)1)(1(
)1(
1
1
)1)(1(
)1(11
)()()(
KKsTsTs
TKKsTsT
s
s
KKsTsTs
sTKKKKsTsTs
s
s
KKsTsTs
sTKK
s
s
KKsTsTs
sTKK
s
s
s
s
sCsRsE
===
→∞→
)(lim)(lim
0
ssEtee
st
ss
0
21
221
2121
22121
0
2121
22121
0
1
)1)(1(
)1)(1(
lim
)1)(1(
)1)(1(
)1(lim
ε≤
?
=
+++
?++
=
?
?
?
?
?
?
+++
?++
+
→
→
KK
TKK
KKsTsTs
TKKsTsT
KKsTsTs
TKKsTsT
s
s
s
所以
13
胡寿松自动控制原理习题解答第三章
1
022
)(
1
K
TK
≤
+ε
系统特征方程为：
0)()1)(1(
21
2
21
3
212121
=++++=+++KKssTTsTTKKsTsTs
劳思表如下：
21
0
21
2121211
2121
2
21
3
0
1
KKs
TT
TTKKTT
s
KKTTs
TTs
+
?+
+
如果系统稳定，则
0
21
212121
>
+
?+
TT
TTKKTT
即
212
21
1
TTK
TT
K
+
<
所以
1
022
)(
1
K
TK
≤
+ε
212
21
TTK
TT+
<
14
|
|
