2009年小学数学奥林匹克决赛试卷
2009年4月19日9:00—10：30
（本卷共12题，每题10分，总分120分）
（附：答案、解答）
1、=。
2、=。
3、自然数1，2，…，100中，数字“1”共使用了次。
4、如图，在一个4×4的正方形内，两个圆周的半径分别是2和4。取=3，那么图中两个阴影部分的面积之差是。
5、某种商品，去年的售价比前年上涨10%，今年的售价比去年下跌10%，，比前年下跌0.09元。那么，该商品前年的售价是元。
6、假日里有57位同学去郊外野餐，他们分成3人或4人一个小组进行准备，可以都是分成3人一组，这算一种分组方法；也可以分成若干3人组，若干个4人组。3人组和4人组的个数不同就是不同的分组方法。那么，不同的分组方法有种。
7、一项工程，交甲工程队做需30天完成，每天工程费用万元；交乙工程队做需40天完成，每天工程费用万元，为了在20天内完成，安排甲、乙两队共同参与这项工程，如果两队工作的天数可以不一样，那么，两队共同完成这项工程的总费用至少需要万元。
8、如图，半径分别是8和28的两个圆盘。大圆是固定的。小圆在大圆的外面，沿大圆圆周按逆时针方向滚动。开始时小圆圆周上的A点与大圆圆周上的B点重合。当A、B两点再次重合时，A至少绕小圆圆心转动了圈。
右下图中有12个点，A、B、…X、Y、Z，和若干个三角形。如果从中选出4个三角形，使得它们的顶点正好是图中的12个点，就称这样的选法是合格的选法。例如，图中用粗线标出的4个三角形（ABM，CLF，DZY，EKX）就是一个合格的选法。那么，不同的合格选法共有种。
字母A、B、C、D、E、F、G代表不同的数字。这些数字满足算式：
A B C D B F D G × E 和 × G D C B A C D F B
那么，七位数=。
一条全长56公里的公路分成了10段设立车站。从起点到终点，11个站名依次是A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、K。已知任何相邻两段路的长度之和不超过12公里；任何相邻三段路的长度之和不少于17公里；那么，从B到G的那段路的长度是公里。
设q是一个平方数，如果q－2和q＋2都是质数（也称素数），就称q为P型平方数。例如，9就是一个P型平方数。那么，小于1000的最大P型平方数是。
2009年小学数学奥林匹克决赛试卷
2009年4月19日9:00—10：30
（本卷共12题，每题10分，总分120分）
1、=。
2、=。
3、自然数1，2，…，100中，数字“1”共使用了21次。
4、如图，在一个4×4的正方形内，两个圆周的半径分别是2和4。取=3，那么图中两个阴影部分的面积之差
是1。
5、某种商品，去年的售价比前年上涨10%，今年的售价比去年下跌10%，，比前年下跌0.09元。那么，该商品前年的售价是9元。
6、假日里有57位同学去郊外野餐，他们分成3人或4人一个小组进行准备，可以都是分成3人一组，这算一种分组方法；也可以分成若干3人组，若干个4人组。3人组和4人组的个数不同就是不同的分组方法。那么，不同的分组方法有5种。
7、一项工程，交甲工程队做需30天完成，每天工程费用万元；交乙工程队做需40天完成，每天工程费用万元，为了在20天内完成，安排甲、乙两队共同参与这项工程，如果两队工作的天数可以不一样，那么，两队共同完成这项工程的总费用至少需要15万元。
8、如图，半径分别是8和28的两个圆盘。大圆是固定的。小圆在大圆的外面，沿大圆圆周按逆时针方向滚动。开始时小圆圆周上的A点与大圆圆周上的B点重合。当A、B两点再次重合时，A至少绕小圆圆心转动了9圈。
9、右下图中有12个点，A、B、…X、Y、Z，和若干个三角形。如果从中选出4个三角形，使得它们的顶点正好是图中的12个点，就称这样的选法是合格的选法。例如，图中用粗线标出的4个三角形（ABM，CLF，DZY，EKX）就是一个合格的选法。那么，不同的合格选法共有10种。
10、字母A、B、C、D、E、F、G代表不同的数字。这些数字满足算式：
A B C D B F D G × E 和 × G D C B A C D F B
那么，七位数=2178409。
11、一条全长56公里的公路分成了10段设立车站。从起点到终点，11个站名依次是A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、K。已知任何相邻两段路的长度之和不超过12公里；任何相邻三段路的长度之和不少于17公里；那么，从B到G的那段路的长度是29公里。
12、设q是一个平方数，如果q－2和q＋2都是质数（也称素数），就称q为P型平方数。例如，9就是一个P型平方数。那么，小于1000的最大P型平方数是441。
2009年小学数学奥林匹克决赛试卷及解答(1)
（本卷共12题，每题10分，总分120分）
1、=1/30
解答：原式=（1/3×5/46+1/15×22/23×5/2-2/69）÷5
=1/6÷5=1/30
?
2、=1005/2009。
解答：原式=（1+1/2）（1-1/2）（1+1/3）（1-1/3）……（1+1/2009）（1-1/2009）
=（3/2×4/3×……×2010/2009）（1/2×2/3×……×2008/2009）
=1/2×2010×1/2009
=1005/2009
?
3、自然数1，2，…，100中，数字“1”共使用了21次。
解答：个位上有1的数有：1、11、21、31、41、51、61、71、81、91共10个；十位上有1的数有：10、11、12、13、14、15、16、17、18、19共10个；百位上有1的数有：100共1个。
所以自然数1，2，…，100中，数字“1”共使用了10+10+1=21次。
4、如图，在一个4×4的正方形内，两个圆周的半径分别是2和4。取=3，那么图中两个阴影部分的面积之差是1。
??????????????????????????????????????????A
B
解答：A=（4×4-1/4×4×4×3）÷2-B=2-B????????????C?
?????C=2×2-1/4×2×2×3-B=1-B
?????A-C=（2-B）-（1-B）=1
5、某种商品，去年的售价比前年上涨10%，今年的售价比去年下跌10%，，比前年下跌0.09元。那么，该商品前年的售价是9元。
解答：0.09÷[1-1×（1+10%）×（1-10%）]=9（元）
6、假日里有57位同学去郊外野餐，他们分成3人或4人一个小组进行准备，可以都是分成3人一组，这算一种分组方法；也可以分成若干3人组，若干个4人组。3人组和4人组的个数不同就是不同的分组方法。那么，不同的分组方法有5种。
解答：设分成3人的组有x组，分成4人的组有y组。
??则3x+4y=57???y=(57-3x)÷4
当x=3时,y=12;当x=7时,y=9;
当x=11时,y=6;当x=15时,y=3;当x=19时,y=0
答：不同的分组方法有5种。
2009年小学数学奥林匹克决赛试卷及解答(2)
7、一项工程，交甲工程队做需30天完成，每天工程费用万元；交乙工程队做需40天完成，每天工程费用万元，为了在20天内完成，安排甲、乙两队共同参与这项工程，如果两队工作的天数可以不一样，那么，两队共同完成这项工程的总费用至少需要15万元。
解答：设甲工作了x天，乙工作了y天。1/30x+1/40y=1,4x+3y=120,
????Y=40-4/3x,这里x、y均小于20。只有当x=15时,y=20;当x=18时,y=16;
????15×2/3+20×1/4=15；18×2/3+16×1/4=16。15小于16
答：两队共同完成这项工程的总费用至少需要15万元。
8、如图，半径分别是8和28的两个圆盘。大圆是固定的。小圆在大圆的外面，沿大圆圆周按逆时针方向滚动。开始时小圆圆周上的A点与大圆圆周上的B点重合。当A、B两点再次重合时，A至少绕小圆圆心转动了9圈。
解答：A至少绕小圆圆心转动了??9??圈。
?
?
9、右下图中有12个点，A、B、…X、Y、Z，和若干个三角形。如果从中选出4个三角形，使得它们的顶点正好是图中的12个点，就称这样的选法是合格的选法。例如，图中用粗线标出的4个三角形（ABM，CLF，DZY，EKX）就是一个合格的选法。那么，不同的合格选法共有10种。
解答：不同的合格选法共有??10种。
（1）ABM、CLF、DZY、EKX；
（2）ABM、CFK、DYL、EXZ；
（3）BCK、ADL、EMZ、XFY；
（4）BCK、AMD、YFL、ZEX；
（5）ACL、BEM、DZY、KXF；
（6）ACL、BKE、XFY、DMZ；
（7）ABC、DMZ、YFL、XEK；
（8）ABC、DYL、XKF、MEZ；
（9）XYZ、AMD、CFL、BKE；
（10）XYZ、ADL、CKF、BEM。
?
10、字母A、B、C、D、E、F、G代表不同的数字。这些数字满足算式：
?
? A B C D ? ? B F D G × ? ? ? E 和 × ? ? ? G ? D C B A ? C D F B ?
?
?
?
那么，七位数=?2178409。
解答2178×4=8712，1089×9=9801
?
11、一条全长56公里的公路分成了10段设立车站。从起点到终点，11个站名依次是A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、K。已知任何相邻两段路的长度之和不超过12公里；任何相邻三段路的长度之和不少于17公里；那么，从B到G的那段路的长度是29公里。
解答：5+5+7+5+5+7+5+5+7+5=56。
BG=5×3+7×2=29。
?
12、设q是一个平方数，如果q－2和q＋2都是质数（也称素数），就称q为P型平方数。例如，9就是一个P型平方数。那么，小于1000的最大P型平方数是441。
解答：（1）因为32×32=1024，31×31=961，
又q是一个平方数，且q－2和q＋2都是质数，所以，q是小于32的一个奇数的平方数。
（2）31×31=961，961+2=963，963不是质数；
29×29=841，841+2=843，843不是质数；
27×27=729，729+2=731，731=17×43，731不是质数；
25×25=625，625+2=627，627不是质数；
23×23=529，529+2=531，531不是质数；
21×21=441，441+2=443，441-2=439，而443、439都是质数；
综上所述小于1000的最大P型平方数是??441??????。
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