2013年上海市普通高等学校春季招生考试
数学试卷
填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得0分。[来源:学科网ZXXK]
1．函数的定义域是
2．方程的解是
3．抛物线的准线方程是
4．函数的最小正周期是
5．已知向量，。若，则实数
6．函数的最大值是
7．复数（是虚数单位）的模是
8．在中，角所对边长分别为，若，则
9．在如图所示的正方体中，异面直线与所成角的大小为
10．从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的概率为（结果用数值表示）。
11．若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前项和。
12．36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为，所以36的所有正约数之和为参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为
二．选择题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的。考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内，选对得3分，否则一律得0分。
13．展开式为的行列式是（）
（A）(B)(C)(D)
14．设为函数的反函数，下列结论正确的是（）
(A)(B)
(C)(D)
15．直线的一个方向向量是（）
(A)(B)(C)(D)
16．函数的大致图像是（）
17．如果，那么下列不等式成立的是（）
(A)(B)(C)(D)
18．若复数满足，则在复数平面上对应的点（）
(A)关于轴对称(B)关于轴对称
(C)关于原点对称(D)关于直线对称
19．的二项展开式中的一项是（）
（A）（B）（C）（D）
20．既是偶函数又在区间上单调递减的函数是（）
（A）（B）（C）（D）
21．若两个球的表面积之比为，则这两个球的体积之比为（）
（A）（B）（C）（D）
22．设全集，下列集合运算结果为的是（）
（A）（B）（C）（D）
23．已知，“”是“函数的图像恒在轴上方”的（）
（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件
（C）充要条件（D）既非充分又非必要条件
24．已知为平面内两定点，过该平面内动点作直线的垂线，垂足为.若，其中为常数，则动点的轨迹不可能是（）
（A）圆（B）椭圆（C）抛物线（D）双曲线
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有7题，解答下列各题必须写出必要的步骤。
25．（本题满分7分）[来源:学。科。网Z。X。X。K]
如图，在正三棱锥中，，异面直线与所成角的大小为，求该三棱柱的体积。
26．（本题满分7分）
如图，某校有一块形如直角三角形的空地，其中为直角，长米，长米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积。
27．（本题满分8分）
已知数列的前项和为，数列满足，求。
28．（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分9分。
已知椭圆的两个焦点分别为、，短轴的两个端点分别为
（1）若为等边三角形，求椭圆的方程;
（2）若椭圆的短轴长为，过点的直线与椭圆相交于两点，且，求直线的方程。
[解]（1）[来源:学,科,网Z,X,X,K]
（2）
[来源:学科网ZXXK]
29．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分。
已知抛物线的焦点为。
（1）点满足。当点在抛物线上运动时，求动点的轨迹方程；
（2）在轴上是否存在点，使得点关于直线的对称点在抛物线上？如果存在，求所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由。
[解]（1）
（2）
30．（本题满分13分）本题共有2个小题，第一小题满分4分，第二小题满分9分。
在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴上，其横坐标为，且是首项为1、公比为2的等比数列，记，。
（1）若，求点的坐标；
（2）若点的坐标为，求的最大值及相应的值。[来源:学科网]
[解]（1）
（2）
31．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分，第3小题满分6分。
已知真命题：“函数的图像关于点成中心对称图形”的充要条件为“函数是奇函数”。[来源:学§科§网Z§X§X§K]
（1）将函数的图像向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图像对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数图像对称中心的坐标；
（2）求函数图像对称中心的坐标；
（3）已知命题：“函数的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数a和b，使得函数是偶函数”。判断该命题的真假。如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题（不必证明）。
2013年上海市普通高等学校春季招生考试
数学试卷
参考答案
一．（第1至12题）每一题正确的给3分，否则一律得0分。
1．2．33．4．5．6．5
7．8．79．10．11．12．4836
二．（第13至24题）每一题正确的给3分，否则一律得0分。
13．B
14．B
15．D
16．A
17．D
18．A
19．C
20．B
21．C
22．A[来源:Z+xx+k.Com]
23．D
24．C
三．（第25至31题）
25．[解]因为.
所以为异面直线与.所成的角，即=。
在Rt中，,
从而,
因此该三棱柱的体积为.
26．[解]如图，设矩形为,长为米，其中，
健身房占地面积为平方米。因为∽，
以，,求得，
从而，
当且仅当时，等号成立。
答：该健身房的最大占地面积为500平方米。
27．[解]当时，。
且，所以。
因为，所以数列是首项为1、公比为的无穷等比数列。
故。
28．[解]（1）设椭圆的方程为。
根据题意知，解得，
故椭圆的方程为。
（2）容易求得椭圆的方程为。
当直线的斜率不存在时，其方程为，不符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为。
由得。
设，则
因为，所以,即
，
解得，即。
故直线的方程为或。[来源:学|科|网]
29．（1）设动点的坐标为，点的坐标为,则,
因为的坐标为，所以，
由得。
即解得
代入，得到动点的轨迹方程为。
（2）设点的坐标为.点关于直线的对称点为，
则解得
若在上，将的坐标代入，得，即或。
所以存在满足题意的点，其坐标为和。
30．[解]（1）设，根据题意，。由，知，
而，
所以，解得或。
故点的坐标为或。
（2）由题意，点的坐标为，。
。
因为，所以，
当且仅当，即时等号成立。
易知在上为增函数，
因此，当时，最大，其最大值为。
31．（1）平移后图像对应的函数解析式为，
整理得，
由于函数是奇函数，
由题设真命题知，函数图像对称中心的坐标是。[来源:学科网]
（2）设的对称中心为，由题设知函数是奇函数。
设则，即。
由不等式的解集关于原点对称，得。
此时。
任取，由，得，
所以函数图像对称中心的坐标是。
（3）此命题是假命题。
举反例说明：函数的图像关于直线成轴对称图像，但是对任意实数和，函数，即总不是偶函数。
修改后的真命题：[来源:学科网ZXXK]
“函数的图像关于直线成轴对称图像”的充要条件是“函数是偶函数”。
B
A
C
D
A1
B1
C1
D1
D
y
x
0
C
y
x
0
A
B
y
x
0
y
x
0
B
C
A
C1
A1
B1
C
B
A
P2
0
x
y
A
P1
P3
P4
E
P
F
C
B
A
|
|
