配色: 字号:
因式分解的14种方法
2013-10-12 | 阅:  转:  |  分享 
  


1



因式分解的14种方法

因式分解没有普遍的方法,初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞

赛上,又有拆项和添减项法,分组分解法和十字相乘法,待定系数法,双十字相乘法,对

称多项式轮换对称多项式法,余数定理法,求根公式法,换元法,长除法,除法等。

注意三原则

1分解要彻底2最后结果只有小括号

3最后结果中多项式首项系数为正(例如:??1332?????xxxx)

分解因式技巧

1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。

2.分解因式技巧掌握:

①等式左边必须是多项式;②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示;

③每个因式必须是整式,且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数;

④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。

注:分解因式前先要找到公因式,在确定公因式前,应从系数和因式两个方面考虑。

基本方法

⑴提公因式法

各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

如果一个多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个

因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法。

具体方法:当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数;字母

取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的;取相同的多项式,多项式的次数

取最低的。

如果多项式的第一项是负的,一般要提出“-”号,使括号内的第一项的系数成为正数。

提出“-”号时,多项式的各项都要变号。

提公因式法基本步骤:

(1)找出公因式;

(2)提公因式并确定另一个因式:

①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母;

②第二步提公因式并确定另一个因式,注意要确定另一个因式,可用原多项式除以公

因式,所得的商即是提公因式后剩下的

一个因式,也可用公因式分别除去原多项式的每一项,求的剩下的另一个因式;

③提完公因式后,另一因式的项数与原多项式的项数相同。

口诀:找准公因式,一次要提净;全家都搬走,留1把家守;提负要变号,变形看奇

偶。

例如:-am+bm+cm=-m(a-b-c);

a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。

注意:把22a+21变成2(2a+41)不叫提公因式

⑵公式法

如果把乘法公式反过来,就可以把某些多项式分解因式,这种方法叫公式法。

平方差公式:2a2b?=(a+b)(a-b);完全平方公式:2a±2ab+2b=??2ba?



2



注意:能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个

数(或式)的平方和的形式,另一项是这两个数(或式)的积的2倍。

立方和公式:33ba?=(a+b)(2a-ab+2b);

立方差公式:33ba?=(a--b)(2a+ab+2b);

完全立方公式:3a±32ab+3a2b±3b=(a±b)2.

公式:3a+3b+3c-3abc=(a+b+c)(2a+2b+2c-ab-bc-ca)

例如:2a+4ab+42b=(a+2b)2。

⑶分组分解法

分组分解是解方程的一种简洁的方法,我们来学习这个知识。

能分组分解的方程有四项或大于四项,一般的分组分解有两种形式:二二分法,三一

分法。

比如:ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)

我们把ax和ay分一组,bx和by分一组,利用乘法分配律,两两相配,立即解除了

困难。

同样,这道题也可以这样做。

ax+ay+bx+by=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)

几道例题:

1.5ax+5bx+3ay+3by

解法:=5x(a+b)+3y(a+b)=(5x+3y)(a+b)

说明:系数不一样一样可以做分组分解,和上面一样,把5ax和5bx看成整体,把3ay

和3by看成一个整体,利用乘法分配律轻松解出。

2.x3-2x+x-1

解法:=(x3-2x)+(x-1)=2x(x-1)+(x-1)=(x-1)(2x+1)

利用二二分法,提公因式法提出x2,然后相合轻松解决。

3.2x-x-y2-y

解法:=(2x-y2)-(x+y)=(x+y)(x-y)-(x+y)=(x+y)(x-y-1)

利用二二分法,再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b),然后相合解决。

⑷十字相乘法

这种方法有两种情况。

①2x+(p+q)x+pq型的式子的因式分解

这类二次三项式的特点是:二次项的系数是1;常数项是两个数的积;一次项系数是

常数项的两个因数的和。因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解:



3



2x+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).

②k2x+mx+n型的式子的因式分解

如果有k=ac,n=bd,且有ad+bc=m时,那么kx2+mx+n=(ax+b)(cx+d).

图示如下:

ad例如:因为1-3

××

cd72-3×7=-21,1×2=2,且2-21=-19,

所以72x-19x-6=(7x+2)(x-3).

十字相乘法口诀:首尾分解,交叉相乘,求和凑中

⑸裂项法

这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项(或几项),使原式适合

于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。这钟方法的实质是分组分解法。要注

意,必须在与原多项式相等的原则下进行变形。

例如:bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)

=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b).

⑹配方法

对于某些不能利用公式法的多项式,可以将其配成一个完全平方式,然后再利用平方

差公式,就能将其因式分解,这种方法叫配方法。属于拆项、补项法的一种特殊情况。也

要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。

例如:2x+3x-40=2x+3x+2.25-42.25=????225.65.1??x=(x+8)(x-5).

⑺应用因式定理

对于多项式f(x)=0,如果f(a)=0,那么f(x)必含有因式x-a.

例如:f(x)=2x+5x+6,f(-2)=0,则可确定x+2是2x+5x+6的一个因式。(事实上,

2x+5x+6=(x+2)(x+3).)

注意:1、对于系数全部是整数的多项式,若X=q/p(p,q为互质整数时)该多项式值

为零,则q为常数项约数,p最高次项系数约数;

2、对于多项式f(a)=0,b为最高次项系数,c为常数项,则有a为c/b约数

⑻换元法

有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因

式分解,最后再转换回来,这种方法叫做换元法。

注意:换元后勿忘还元.

例如在分解(2x+x+1)(2x+x+2)-12时,可以令y=2x+x,则

原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y+2-12=y2+3y-10=(y+5)(y-2)



4



=(2x+x+5)(2x+x-2)=(2x+x+5)(x+2)(x-1).

⑼求根法

令多项式f(x)=0,求出其根为x1,x,x3,??xn,

则该多项式可分解为f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)??(x-xn).

例如在分解2x^4+7x^3-2x^2-13x+6时,令2x^4+7x^3-2x2-13x+6=0,

则通过综合除法可知,该方程的根为0.5,-3,-2,1.

所以2x^4+7x^3-22x-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1).

⑽图象法

令y=f(x),做出函数y=f(x)的图象,找到函数图像与X轴的交点x1,x2,x3,??xn,

则多项式可因式分解为f(x)=f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)??(x-xn).

与方法⑼相比,能避开解方程的繁琐,但是不够准确。

例如在分解x^3+22x-5x-6时,可以令y=x^3;+22x-5x-6.

作出其图像,与x轴交点为-3,-1,2

则x^3+22x-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2).

⑾主元法

先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解。

⑿特殊值法

将2或10代入x,求出数p,将数p分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后

的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解式。

例如在分解x^3+92x+23x+15时,令x=2,则

x^3+92x+23x+15=8+36+46+15=105,

将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7.

注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时的

值,

则x^3+92x+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5),验证后的确如此。

⒀待定系数法

首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多

项式因式分解。

例如在分解x^4-x^3-52x-6x-4时,由分析可知:这个多项式没有一次因式,因而只能

分解为两个二次因式。

于是设x^4-x^3-52x-6x-4=(2x+ax+b)(2x+cx+d)

=x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)2x+(ad+bc)x+bd



5



由此可得a+c=-1,

ac+b+d=-5,

ad+bc=-6,

bd=-4.

解得a=1,b=1,c=-2,d=-4.

则x^4-x^3-5x2-6x-4=(x2+x+1)(x2-2x-4).

⒁双十字相乘法

双十字相乘法属于因式分解的一类,类似于十字相乘法。

双十字相乘法就是二元二次六项式,启始的式子如下:

ax2+bxy+cy2+dx+ey+f

x、y为未知数,其余都是常数

用一道例题来说明如何使用。

例:分解因式:x2+5xy+6y2+8x+18y+12.

分析:这是一个二次六项式,可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。

解:

原式=(x+2y+2)(x+3y+6).

双十字相乘法其步骤为:

①先用十字相乘法分解2次项,如十字相乘图①中x2+5xy+6y2=(x+2y)(x+3y);

②先依一个字母(如y)的一次系数分数常数项。如十字相乘图②中

6y2+18y+12=(2y+2)(3y+6);

③再按另一个字母(如x)的一次系数进行检验,如十字相乘图③,这一步不能省,

否则容易出错。

多项式因式分解的一般步骤

①如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式;

②如果各项没有公因式,那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解;

③如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解;

④分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。

也可以用一句话来概括:“先看有无公因式,再看能否套公式。十字相乘试一试,分组

分解要合适。”

几道例题

1.分解因式(1+y)2-2x2(1+y2)+x4(1-y)2.

解:原式=(1+y)2+2(1+y)x2(1-y)+x4(1-y)2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)(补项)

=[(1+y)+x2(1-y)]2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)(完全平方)

=[(1+y)+x2(1-y)]2-(2x)2

=[(1+y)+x2(1-y)+2x][(1+y)+x2(1-y)-2x]

=(x2-x2y+2x+y+1)(x2-x2y-2x+y+1)



6



=[(x+1)2-y(x2-1)][(x-1)2-y(x2-1)]

=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y).

2.求证:对于任何实数x,y,下式的值都不会为33:

543223451241553yxyyxyxyxx?????

解:原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)

=x^4(x+3y)-5x2y2(x+3y)+4y^4(x+3y)

=(x+3y)(x^4-5x2y2+4y^4)

=(x+3y)(x2-4y2)(x2-y2)

=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y).

当y=0时,原式=x^5不等于33;当y不等于0时,x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互

不相同,而33不能分成四个以上不同因数的积,所以原命题成立。

3..△ABC的三边a、b、c有如下关系式:-c2+a2+2ab-2bc=0,求证:这个三角形是

等腰三角形。

分析:此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。

证明:∵-c2+a2+2ab-2bc=0,

∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0.

∴(a-c)(a+2b+c)=0.

∵a、b、c是△ABC的三条边,

∴a+2b+c>0.

∴a-c=0,

即a=c,△ABC为等腰三角形。

4.把-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)分解因式。

解:-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)

=-6x^n×y^(n-1)(2x^n×y-3x^2y^2+1).



献花(0)
+1
(本文系非桃李首藏)