高中版
2013年5月
题目（我校2013届高三12月数学检测理15）已知P
是△ABC内一点，且A
P
P=
1
3
A
P
B+
7
18
A
P
C，△PBC的面积是
2015，则△PAB的面积是______.
一、题目特征及破解基本思路
本题是以平面几何中的三角形为载体，向量背景下
求解三角形面积的问题，是平面向量与平面几何的交汇
试题，既考查平面向量的概念与运算，也考查平面几何知
识，同时考查向量知识在平面几何问题中的运用.虽然只
是一个小小的填空题，但题目立意新，呈现独特，内容丰
富，内涵深刻，能力要求高.本次测试中学生对该题的解
答“全军覆灭”.困难在哪里？调查得知，横亘在众多学生
面前的一道难以逾越的鸿沟是找不到题目中向量条件与
解题目标间的关系（入手困难）.
从何处着手破解呢？在解题过程中，“聪明的人从结
果开始”，这是数学大师波利亚对我们的启发，即充分重
视目标的导向作用，有的放矢，针对性地展开思维是很有
必要的.本题目标是求三角形的面积，从几何图形特征入
手，观察图形（图1），△ABC内一点P将△ABC分成了三个
三角形，已知面积的△PBC、待求面积的△PAB以及
△PAC分别与△ABC共底边于BC、AB和AC，由平面几何
知识，知道每组共底边的三角形的面积（记S
△ABC
=S，S
△BPC
=
S
1
，S
△APC
=S
2
，S
△APB
=S
3
，以下同）之比等于共同底边上对应
高的比（或相似比），因此，求出这里的“比”值，就能根据
已知条件求出△ABC的面积或得出几个三角形面积的关
系，问题便迎刃而解.那么，又如何求得这里的“比”值呢？
根据共线向量成比例性质，高的比可以看成某两共线向
量的模之比，结合本题条件中给出的向量式及图形特征，
运用向量的运算法则和性质可找出相关数量关系求得
“比”值.注意到向量条件表示形式的灵活多样，不同表示
形式关联着不同的数学内容、运算形式及思维策略，因
此，对向量式条件进行有效的分析及合理转换利用，把内
容与形式结合起来思考，把方法与概念转化配合起来推
进，能获得宽广的解题思路，多途径求解本题.
二、破解方法探析
1.在条件A
P
P=
1
3
A
P
B+
7
18
A
P
C形式下的探析
探析一：恰当切入，发力“三点共线”向量式，一举突破
适时运用三点共线向量式求解与三点共线相关的问
题，思维起点低，思路直接，可有效避免向量回路法的烦
琐运算，本题三点共线特征明显，由此切入，击中要害，能
使问题求解一举突破.
如图1，延长AP交BC于D，由
平面几何知识，得
S
1
S
=
P
P
D
A
P
D
.
由A、P、D三点共线，知
A
P
D=uA
P
P=
1
3
uA
P
B+
7
18
uA
P
C（u∈R）.①
由B、D、C三点共线，可得
A
P
D=λA
P
B+（1－λ）A
P
C（λ∈R）.②
联立①和②，有
λ=
1
3
u，
1－λ=
7
18
u
∈
∈
∈
∈
∈
∈
∈
∈
∈
∈
∈
∈
∈
，
解得
λ=
6
13
，
u=
18
13
∈
∈
∈
∈
∈
∈
∈
∈
∈
∈
∈
∈
∈
，
则A
P
D=uA
P
P=
18
13
A
P
P，P
P
D=A
P
D－A
P
P=
5
13
A
P
P，那么
P
P
D
A
P
D
=
5
18
，于是S=
18
5
S
1
.
仿上，延长BP、CP分别交AC、AB边于E、F（如图1），计算可
得：
P
P
E
B
P
E
=
1
3
，
P
P
F
C
P
F
=
7
18
，所以
S
2
S
=
P
P
E
B
P
E
=
1
3
，
S
3
S
=
P
P
F
C
P
F
=
7
18
，则S
3
=
7
18
S=
7
18
×
18
5
S
1
=
7
5
S
1
=2821，故应填2821.
探析二：简化条件形式，向量“基本定理”助力，一气
呵成
对已知条件中的数学对象作出简化处理就等于给题
目“增加”了一个已知条件，从而降低问题的抽象度与复
杂性，让题目求解更容易，一气呵成.
延长AP交BC于D，延长CP交AB于G（如图2），得关系
DCB
A
EF
Ｐ
图1
破解向量难题挖掘潜在信息
筅重庆市梁平实验中学蒋明建
教学
参谋
解法探究
73
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2013年5月
式
S
1
S
=
P
D
A
D
，
S
3
S
=
P
G
C
G
.作平行
四边形AEPF，则已知条件简化为
A
P=A
E+A
F，易知
A
E
=
1
3
A
B
，
A
F
=
7
18
A
C
，且
P
G
C
G
=
A
F
A
C
=
7
18
，所以S
3
=
7
18
S.仿上
可得：
S
1
S
=
P
D
A
D
=
5
18
，则S
3
=
7
18
S=
7
5
S
1
=2821.
探析三：实施巧妙构造，向量“投影”作伴，困难问题
常规化，一招取胜
一道难题，难就难在好像还
缺点什么，一旦给题目有效添设
点“已知假设”，由此揭示问题的
实质，求解将变得顺利，一招取
胜.根据题目的结构特征，通过直
觉观察、联想，构造出一个中介性辅助元素单位向量e（e⊥
B
C）（如图3），那么B
P、B
A在单位向量e的方向上的投影长
度
e·B
P
与
e·B
A
分别是△PBC与△ABC的公共底边
BC上的高，于是，可直接运用面积公式S=
1
2
×底×高求解.
S=
1
2
B
Ce·B
A
=
1
2
B
C
e
B
Acos〈e，B
A〉
=
1
2
B
C
×
B
A
sin∠ABC；
S
1
=
1
2
B
Ce·B
P
=
1
2
B
C
e·
5
18
B
A+
7
18
B
C
∠∠摇
=
1
2
B
C
e·
5
18
B
A
=
1
2
B
C
5
18
B
A
摇cos〈e，B
A〉
=
5
18
1
2
B
C
摇
B
A
摇sin∠AB
∠∠
C
=
5
18
S.
设i为与向量A
B垂直的单位向量，同样可推得S
3
=
7
18
S=2821.
2.在条件A
P=
1
3
A
B+
7
18
A
C的等价形式5P
A+6P
B+
7P
C=0下的探析
探析四：化归转化，牵手三角形“重心”的性质，变柳
暗为花明，一锤定音
转换是数学解题中灵活运用条件的常见手段，是实
施数学方法技巧的有效途径，数学的解题过程就是在分
析条件的属性和形式的基础上，将条件进行转换利用的
过程.5P
A+6P
B+7P
C=0是我们熟知的与三角形的“心”有
密切联系的向量模式，有重要性质“若P是△ABC的重心，
则P
A+P
B+P
C=0，且S
1
=S
2
=S
3
=
1
3
S”.借助此熟悉模式解题，
体现熟悉化原则，思维定势正迁
移，直截了当，一锤定音.
令PA
′=5P
A，PB
′=6P
B，PC
′=
7P
C（如图4），于是PA
′+PB
′+PC
′=
0，P就是△A′B′C′的重心，S
△PA′B′
=
S
△PA′C′
=S
△PB′C′
=
1
3
S
△A′B′C′
.根据已知条件，得：
S
1
=
1
2
P
BP
C
sin∠BPC
=
1
2
1
6
PB
′
1
7
PC
′
sin∠BPC
=
1
42
1
2
PB
′
摇
PC
′
摇sin∠BP
∠∠
C
=
1
42
S
△B′PC′
.
所以S
△B′PC′
=7×6S
1
=42S
1
.
同理可得：S
△A′PB′
=5×6S
3
=30S
3
.
则S
3
=
42
30
S
1
=2821.
3.在向量坐标形式下的探析
探析五：向量坐标搭桥，给力零向量，别样的风韵，格
外的精巧
平面向量本身具有“数”“形”二重性，其运算既有几
何运算又有代数运算.利用向量的坐标形式，是解决向量
问题的基本策略之一，相比较而言，向量的几何运算往往
比较困难，向量的代数运算简便快捷，更易让人接受，更
具魅力.
建立平面直角坐标系（如图
5），设点A、B、C、P的纵坐标分别
为y
A
、y
B
、y
C
、y
P
，则
S
△PBC
S
△ABC
=
y
P
y
A
.因
为5P
A+6P
B+7P
C=0，所以向量
等式左边的纵（横）坐标都为0，则
5（y
A
－y
P
）+6（y
B
－y
P
）+7（y
C
－y
P
）=0，得y
A
=
18
5
y
P
，于是
S
1
S
=
5
18
，
即S
1
=
5
18
S.同理可得S
2
=
6
18
S，S
3
=
7
18
S，所以S
1
∶S
2
∶S
3
=5∶6∶7，从
DCB
A
E
F
Ｐ
图2
Ｇ
DCB
A
E
F
Ｐ
图3
e
C
B
A
Ｐ
图4
A′
B′C′
CB
A
Ｐ
图5
x
y
解法探究
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2013年5月
而得S
3
=2821.
解题需要不断追求简单！坐标法是我们解决这类问
题的最为简单有效的方法.本题巧妙运用零向量的纵坐
标为0，让解答别有风韵，格外精巧.
探析六：面积、数量积公式联姻，别样的风貌，一样的
经典
在△ABC中，由我们熟知的公式S=
1
2
A
C
BA
C
C
·
sin∠BAC与cos∠BAC=
A
C
B·A
C
C
A
C
BA
C
C
，可推得△ABC的另一
个面积公式S=
1
2
（
A
C
BA
C
C
）
2
－（A
C
B·A
C
C）
2
摇
姨
.若A
C
B=（x
1
，
y
1
），A
C
C=（x
2
，y
2
），则可得到三角形面积公式的向量坐标
式：S=
1
2
x
1
y
2
－x
2
y
1
.如图5，设C（a，0）、A（b，c）、P（x，y），
则A
C
B=（－b，－c），A
C
C=（a－b，－c），由已知条件，得B
C
P=
5
18
B
C
A+
7
18
B
C
C=
7
18
a+
5
18
b，
5
18
姨姨
c
.又B
C
P=（x，y），于是x=
7
18
a+
5
18
b，y=
5
18
c.P
C
A=（b－x，c－y），P
C
C=（a－x，－y）.由以上公式
S=
1
2
x
1
y
2
－x
2
y
1
，可得S=
1
2
ac；S
1
=
1
2
y（a－x）+xy=
5
18
×
1
2
ac；S
3
=
1
2
x（c－y）－y（b－x）=
7
18
×
1
2
ac；S
2
=
1
2
－y（b－x）－（a－x）（c－y）=
1
2
cx+（a－b）y－ac=
1
3
×
1
2
ac.
所以S
1
∶S
2
∶S
3
=5∶6∶7，从而得S
3
=2821.
探析六较探析五似乎只是走了更多的弯路，但公式
有机重组，推陈出新，能体现思维的创造性，而且有时走
走这样的弯路也有别样的风景，往往能为我们新的探索、
新的发现带来新契机.
探析七：联想迁移，借力“行列式”，别样的风味，一样
的精美
广泛地联想迁移能激发灵感，开发智慧，获得创造性
的解法.探析六中三角形面积公式的向量坐标式，让我们
联想到高等数学中三角形面积公式的行列式形式.借力
“行列式”，初等数学问题高等解法，架起了初、高等数学
知识的桥梁，平添一道靓丽风景.
设B（0，0）、C（a，0）、A（b，c）、P（x，y）（如图5）.由条
件A
C
P=
1
3
A
C
B+
7
18
A
C
C，可得：x=
7
18
a+
5
18
b，y=
5
18
c，于是，S=
1
2
001
a01
bc1
=
1
2
ac，S
1
=
1
2
001
a01
xy1
=
1
2
ay=
5
18
×
1
2
ac=
5
18
S，S
3
=
1
2
001
bc1
xy1
=
1
2
by－xc=
7
18
×
1
2
ac=
7
18
S，从而可求得结果S
3
=2821.
利用联想迁移策略，转换思维角度，广泛联想，将初
等数学问题深入拓展到高等数学范围，能起到创新的示
范作用.
三、拓展延伸，扩大解题成果
著名科学家爱因斯坦说：“提出一个问题往往比解决
一个问题更重要，解决问题也许仅是一个数学上或实验
上的技能而已，而提出新的问题，新的可能性，从新的角
度去看旧的问题，都需要有创造性的想象力.”因此，不仅
要懂得如何处理问题、解决问题，还要懂得如何发现问
题、提出问题.解题后要思考对题目进行演变拓展，特殊
推广到一般等.通过拓展延伸找到不同知识板块间的相
关性，形成知识链条，拓宽视野，培养探索意识和创新精
神.
1.特殊推广到一般，挖掘潜在结论
在探析1中我们看到
S
1
S
=
P
C
D
A
C
D
=
5
18
，
S
2
S
=
P
C
E
B
C
E
=
1
3
，
S
3
S
=
P
C
F
C
C
F
=
7
18
.所以，题目条件A
C
P=
1
3
A
C
B+
7
18
A
C
C实际就是
A
C
P=
S
2
S
A
C
B+
S
3
S
A
C
C，于是可得一般化结论：
命题1：P是△ABC内的一点，则A
C
P=
S
2
S
A
C
B+
S
3
S
A
C
C，
B
C
P=
S
1
S
B
C
A+
S
3
S
B
C
C，C
C
P=
S
1
S
C
C
A+
S
2
S
C
C
B.
（若熟悉此结论，求解本题目将变得异常容易）
在以上各种探析中都得到S
1
∶S
2
∶S
3
=5∶6∶7，从已知向量
等式的系数比和三角形的面积比，结合几何图形，我们发
现有如下关系：△PBC、△PAC、△PAB分别是向量P
C
A、
P
C
B、P
C
C所对的三角形，这三个三角形的面积之比恰好等
于向量等式5P
C
A+6P
C
B+7P
C
C=0中这三个向量的系数之比，
由特殊到一般可归纳出如下结论：
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解法探究
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命题2：P是△ABC内的一点，若λ
1
P
P
A+λ
2
P
P
B+λ
3
P
P
C=0，
则S
1
∶S
2
∶S
3
=λ
1
∶λ
2
∶λ
3
（若将条件转化为A
P
P=λA
P
B+μA
P
C形式，
则S
1
∶S
2
∶S
3
=λ+μ－1∶λ∶μ）.
如图6，过点P分别作直线
DE∥AB，FG∥AC，HI∥BC，D、E、
F、G、H、I分别是所作直线与
△ABC各边的交点，那么在平行
四边形ADPF中，有A
P
P=A
P
F+A
P
D.又
A
P
P=
1
3
A
P
B+
7
18
A
P
C，所以A
P
F=
1
3
A
P
B，A
P
D=
7
18
A
P
C.根据平面
几何知识，由
A
P
D
A
P
C
=
7
18
，推得
C
P
D
C
P
A
=
D
P
E
A
P
B
=
11
18
，发现
D
P
E=
5+6
5+6+7
A
P
B的系数中的数5、6、7恰好是条件式5P
P
A+
6P
P
B+7P
P
C=0中的系数；同理可得F
P
G=
5+7
5+6+7
A
P
C；H
P
I=
6+7
5+6+7
B
P
C；并且
D
P
E
A
P
B
+
F
P
G
A
P
C
+
H
P
I
B
P
C
=2.由此推广可得
如下一般结论：
命题3：△ABC内的任一点P满足：λ
1
P
P
A+λ
2
P
P
B+λ
3
P
P
C=
0，过点P分别作平行于△ABC的三边AB、AC、BC的直线
DE、FG、HI，且与各边的交点分别为D、E、F、G、H、I（如图
6），则：
（1）D
P
E=
λ
1
+λ
2
λ
1
+λ
2
+λ
3
A
P
B，F
P
G=
λ
1
+λ
3
λ
1
+λ
2
+λ
3
A
P
C，H
P
I=
λ
2
+λ
3
λ
1
+λ
2
+λ
3
B
P
C；
（2）
D
P
E
A
P
B
+
F
P
G
A
P
C
+
H
P
I
B
P
C
=2.
命题1、2、3的证明可仿前面有关解答探析，将解答中
的具体数值代换为这里的字母λ
1
、λ
2
、λ
3
即可得证，证明
略.特别地，当点P是△ABC的重心，即λ
1
=λ
2
=λ
3
时，又有如
下结论：
命题4：P是△ABC内的一点，若A
P
P=λA
P
B+μA
P
C，当λ=
μ=
1
3
时，A
P
P
2
+B
P
P
2
+C
P
P
2
最小.
证明：A
P
P
2
+B
P
P
2
+C
P
P
2
=A
P
P
2
+（A
P
P－A
P
B）
2
+（A
P
P－A
P
C）
2
=
3
A
P
P－
A
P
B+A
P
C
3
33
2
+
2（A
P
B
2
+A
P
C
2
）
3
－
2A
P
B·A
P
C
3
.
因为
2（A
P
B
2
+A
P
C
2
）
3
－
2A
P
B·A
P
C
3
是常数，所以当A
P
P=
A
P
B+A
P
C
3
（点P是△ABC的重心），即λ=μ=
1
3
时，A
P
P
2
+B
P
P
2
+
C
P
P
2
最小.
2.思维冲浪，类比拓展延伸
“类比是伟大的引路人”（波利亚）.将命题2进行降维
类比，将二维降到一维，三角形类比线段，面积类比长度；
或者将二维升到三维，三角形类比空间四面体，面积类比
体积，分别可得如下一般结论：
命题5：已知P是线段AB内一点，且满足λ
1
P
P
A+λ
2
P
P
B=
0，则
P
P
B
∶
P
P
A
=λ
1
∶λ
2
.
命题6：已知P是空间四面体
A－BCD（如图7）内一点，且满足
λ
1
P
P
A+λ
2
P
P
B+λ
3
P
P
C+λ
4
P
P
D=0，则
V
P－BCD
∶V
P－ACD
∶V
P－ABD
∶V
P－ABC
=λ
1
∶λ
2
∶λ
3
∶λ
4
.
限于篇幅，略去命题5、6的证
明，留给读者完成.同时，对于点P是△ABC的其他“心”；
点P在△ABC外；△ABC改换为四边形、五边形、六边形
等，情况又怎样呢？还有广阔的思考与探索空间.
解题过程中常常换一个角度试试，这可以克服思维
定势的消极影响，形成创造性思维的源泉，能让问题解决
从无策走向有策，从笨拙走向灵活，使解题之路希望不
断，创新不断，惊喜不断！通过对本题多角度、全方位、深
层次地思考与探索，以不同知识内容为切入点，探索出不
同的解决方案，能开拓思路，沟通知识，掌握规律，权衡解
法优劣，提高解题效率，积累解题活动经验，深化思维活
动；通过将题目从特殊推广到一般，类比拓广延伸，挖掘
潜在的一般结论，使得内容更具有广泛性和拓展空间，深
刻揭示了问题的本质，让我们的思维在发散性、广阔性、
求异性、创造性、灵活性、深刻性等方面都得到了很好的
锻炼和发展，优化思维品质，开发解题智慧，提高了我们
发现问题、提出问题、分析和解决问题的能力，提升了我
们探究问题的能力.
参考文献：
1.邹生书.一道向量问题的解法、引申与拓展［J］.数
理化解题研究（高中版），2012（4）.
2.岳建良.一道全国高中联赛向量题推广的新视角［J］.
中学数学教学参考，2006（6）.
3.蒋海瓯.例谈立体几何问题的破解方法［J］.中学数
学教学参考，2012（7）.■
CB
A
Ｐ
图6
H
D
E
F
I
G
C
B
A
Ｐ
图7
D
解法探究
教学
参谋
76
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