培优——矩形菱形
例一：根据矩形的性质：有PAF=∠PDE∵PF⊥BDPE⊥BD∴△APF∽△DPE∴∠APF=∠DPE过D点作AC的平行线，交FP的延长线于H则APF=∠DPH（对顶角相等）DPE=∠DPH∴根据三角形全等判定（A.A.S），则DHP≌△DEP∴PH=PE∴PE+PF=PH+PF=HF在COD内作OC边的高线，即DKOC∵DH//AC，而HF和DK都垂直于ACHF=DK勾股定理计算得：AC=13，则OC=6.5根据等面积法则：OCDK=CD(1/2)AD故DK=HF=PE+PF=60/13延长CD至M,使DM=CD,连接AM，过P作PNAM,N为AM上的点。在ACM中，ADCM且CD=DM,则AD是ACM的角平分线。则PF=PN.又在四边形ABDM中，AB平行等于DM。则为平行四边形。AM平行BD,故PE,PN在同一直线上.那么PE+PF=PE+PN=EN平行四边形ABDM面积S=ABxAD=BDxEN而BD=√(5x5+12x12)=13则EN=ABxAD/BD=5x12/13=60/13.菱形的性质；等边三角形的性质．
分析：因为等边三角形△AEF的边长与菱形ABCD的边长相等，所以AB=AE，AF=AD，根据邻角之和为180°即可求得∠B的度数．
解答：解：∵△AEF的边长与菱形ABCD的边长相等，∴AB=AE，AF=AD，设∠B=x，则∠BAD=180°-x，∠BAE=∠DAF=180°-2x，又∵∠BAE+∠EAF+∠FAD=∠BAD即180°-2x+180°-2x+60°=180°-x解得x=80°，故选D．
点评：本题考查了正三角形各内角为60°、各边长相等的性质，考查了菱形邻角之和为180°的性质，本题中根据关于x的等量关系式求x的值是解题的关键．
例三考点：菱形的性质；全等三角形的判定；等边三角形的判定；解直角三角形．
专题：综合题；压轴题；动点型．
分析：（1）利用菱形的性质和正三角形的特点进行证明；（2）△BEF为正三角形，可解用（1）全等的结论证明；（3）作出恰当的辅助线，构成直角三角形，根据直角三角形的特点和三角函数进行计算．
解答：（1）证明：∵菱形ABCD的边长为2，BD=2，∴△ABD和△BCD都为正三角形，∴∠BDE=∠BCF=60°，BD=BC，∵AE+DE=AD=2，而AE+CF=2，∴DE=CF，∴△BDE≌△BCF；
例四
1、
2、考点：矩形的性质．
专题：计算题．
分析：由∠DAE：∠BAE=3：1，可得∠BAE的大小，进而得出∠ABE的大小，又OA=OB，进而可求∠EAC的大小．
解答：解：如图∵∠DAE：∠BAE=3：1，∴∠BAE=22.5°，∴∠ABE=67.5°，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AO=CO，BO=DO∴OA=OB，∴∠OAB=∠ABE=67.5°∴∠EAC=∠OAB-∠BAE=67.5°-22.5°=45°．故答案为：45°．
点评：本题主要考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质，能够求解一些简单的角度计算问题．
3
4、
、
另一种：
5、
6、
7、考点：矩形的性质．
专题：压轴题．
分析：∵△CDE的周长=CD+DE+EC，又EC=AE，∴周长=CD+AD．
解答：解：∵ABCD为矩形，∴AO=OC．∵EF⊥AC，∴AE=EC．∴△CDE的周长=CD+DE+EC=CD+DE+AE=CD+AD=10（cm）故选D．
点评：本题的关键是利用线段垂直平分线的性质求出AE=CE，进而求三角形的周长．
8、证明：连接BF、CFDFAE，所以ADF为直角三角形ABCD为矩形，AD=BC=√2DC因为DF=DC，所以AD=√2DFRTADF为等腰直角三角形，AF=DFFAD=∠FDA=45∠BAF=90-∠FAD，CDF=90-∠FDA所以BAF=∠CDF在BAF和CDF中AB=DC，BAF=∠CDF，AF=DF所以BAF≌△CDF，BF=CF因为F到B、C两点距离相等，所以F在BC垂直平分线上
df垂直于ae，dc垂直于bc，df等于dc，de等于dedfe≌△dce∴∠dea等于dec∵角dec＝ade∴角aed等于ade∴ae等于adaf等于ae减febe等于bc减ce，ce等于fe，ae等于beaf等于bebe等于abaf等于ab
证明：连结AMBAC=90°，AB=AC，M是BC的中点AM=BM，BAM=∠CAM=45°，AMBC∵DF⊥AB，DEAC，BAC=90°∴四边形AFDE是矩形，DF=AE∵DF⊥AB，B=45°，FDB=45°=∠B∴BF=DF，BF=AE在BFM和AEM中FM=EM，BMF=∠AME∴AM⊥BC，BMF+∠AMF=90°∴∠AME+∠AMF=∠EMF=90°∴△MEF是等腰直角三角形。
点评：本题主要考查对正方形的判定，等腰直角三角形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，综合运用性质进行推理是解此题的关键．
11\1）在DFC中，DFC=90°，C=30°，DC=2t，DF=t．又AE=t，AE=DF．（2）能．AB⊥BC，DFBC，AE∥DF．又AE=DF，四边形AEFD为平行四边形．（3分）AB=BC?tan30°=5=5，AC=2AB=10．AD=AC-DC=10-2t．若使AEFD为菱形，则需AE=AD，即t=10-2t，t=．即当t=时，四边形AEFD为菱形．（5分）（3）CF:CB=CD:CA=t:5三角形DEF为直角三角形，只能是EDF=90°，则四边形BEDF为矩形DE=BF,DF=BE因为DF=AE所以此时E为AB的中点，所以t=5/2/1=2.5
勾股定理；线段垂直平分线的性质；矩形的性质．
专题：压轴题．
分析：连接EB，构造直角三角形，设AE为x，则DE=BE=4-x，利用勾股定理得到有关x的一元一次方程，求得即可．
点评：本题考查了勾股定理的内容，利用勾股定理不单单能在直角三角形中求边长，而且能利用勾股定理这一隐含的等量关系列出方程．
13、菱形的性质；平行四边形的性质．
专题：计算题；压轴题．
分析：根据①②③④四个平行四边形面积的和为14cm2，四边形ABCD面积是11cm2，可求出⑤的面积，从而可求出菱形的面积，根据菱形的性质可求出边长，进而可求出①②③④四个平行四边形周长的总和．
点评：本题考查了菱形的性质及平行四边形的知识，难度较大，关键是求出菱形的面积，解答本题需要用到平行四边形的对角线平分平行四边形的面积．
14、考点：矩形的性质．
专题：计算题．
分析：先根据AE平分∠BAD交BC于E可得∠AEB=45°，再根据三角形的外角性质求出∠ACB=30°，然后判断出△AOB是等边三角形，从而可以得出△BOE是等腰三角形，然后根据三角形的内角和是180°进行求解即可．
解答：解：∵AE平分∠BAD交BC于E，∴∠AEB=45°，AB=BE，∵∠CAE=15°，∴∠ACB=∠AEB-∠CAE=45°-15°=30°，∴∠BAO=60°，又∵OA=OB，∴△BOA是等边三角形，∴OA=OB=AB，即OB=AB=BE，∴△BOE是等腰三角形，且∠OBE=∠OCB=30°，∴∠BOE=1/2
（180°-30°）=75°．故答案为：75．
点评：本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定及性质，求出∠ACB=30°，然后判断出等边三角是解本题的关键．
15\
考点：菱形的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．
专题：计算题．
分析：连接AC、BD，AC交EF于点H，由菱形ABCD推出AC⊥BD，AD=AB=BC=CD，根据勾股定理得DF=BE，推出EF∥BD，根据勾股定理得AH=4，推出△AEH∽△AEC，求出AC，同理求出EC，根据相似三角形的判定证△BCG∽△ECH，即可求出边长BC．
解答：解：连接AC、BD，AC交EF于点H，∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，AD=AB=BC=CD，∵AE=AF，由勾股定理得：DF=BE，∴CF=CE，∴EF∥BD，∴AC⊥EF，∵AE=AF，∴EH=HF=3，根据勾股定理得：AH=4，∵△AEH∽△AEC，
点评：本题主要考查对菱形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算和推理是解此题的关键，题型较好，有一定的难度．
16\
117、
考点：翻折变换（折叠问题）．
专题：计算题．
分析：由折叠的性质可证AF=FC．在Rt△ADF中，由勾股定理求AD的长．
解答：解：由折叠的性质知，AE=CD，CE=AD，∴△ADC≌△CEA，∠EAC=∠DCA，
故答案为：6．
点评：本题考查了翻折变换的知识，其中利用了：①折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；②全等三角形的判定和性质，勾股定理求解．
18、考点：菱形的性质；解直角三角形．
专题：压轴题．
分析：首先过FH⊥AB，垂足为H．由四边形ABCD是菱形，可得AD=AB=3，即可求得AF的长，又由∠DAB=60°，即可求得AH与FH的长，然后由∠EFG=15°，证得△FHE是等腰直角三角形，继而求得答案．
解答：解：过FH⊥AB，垂足为H．∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB=3，∵DF=1，∴AF=AD-FD=2，∵∠DAB=60°，∴∠AFH=30°，
点评：此题考查了菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
19、考点：菱形的判定；三角形中位线定理．
专题：规律型．
分析：图中只有边长为1或2的两种菱形，每个菱形恰有一条与其边长相等的对角线，把其找出来相加即可．
解答：解：图中只有边长为1或2的两种菱形，每个菱形恰有一条与其边长相等的对角线，原正三角形内部每条长为1的线段，恰是一个边长为1的菱形的对角线，这种线段有18条，对应着18个边长为1的菱形；原正三角形的每条中位线恰是一个边长为2的菱形的对角线，三条中位线对应着3个边长为2的菱形．共得21个菱形．故选C．
点评：本题考查菱形的判定．用边长为1或2表示出菱形的个数，进而找到相应规律是解决本题的关键．
21、考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；菱形的性质．
专题：几何综合题；压轴题．
分析：（1）根据已知得出AF=AD，AB=BC=AC，∠BAC=∠DAF=60°，求出∠BAD=CAF，证△BAD≌△CAF，推出CF=BD即可；（2）求出∠BAD=∠CAF，根据SAS证△BAD≌△CAF，推出BD=CF即可；（3）画出图形后，根据SAS证△BAD≌△CAF，推出CF=BD即可．
解答：（1）证明：∵菱形AFED，∴AF=AD，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∠BAC=60°=∠DAF，∴∠BAC-∠DAC=∠DAF-∠DAC，即∠BAD=∠CAF，∵在△BAD和△CAF中
AB＝AC
∠BAD＝∠CAF
AD＝AF
AC＝AB
∠BAD＝∠CAF
AD＝AF
AB＝AC
∠DAB＝∠FAC
AD＝AF
点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，菱形的性质的应用，主要考查学生的推理能力，注意：证明过程类似，题目具有一定的代表性，难度适中．
20、考点：全等三角形的判定与性质．
专题：作图题；证明题．
点评：此题主要考查了全等三角形的性质与判定、也考查了等腰直角三角形的性质，有一定的综合性，要求学生要熟练掌握这些基础知识才能很好解决这些问题．
22、考点：菱形的性质；等边三角形的判定．
专题：证明题．
分析：首先连接AC，由菱形ABCD中，∠B=60°，∠MAN=60°，易证得△BAM≌△CAN，然后由全等三角形的性质，证得AM=AN，即可证得：△AMN是等边三角形．
解答：解：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，AB∥CD，∵∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，∠BCD=120°，∴∠BAC=∠BCA=60°，AB=AC，∵∠MAN=60°，∴∠BAM+∠CAM=∠CAM+∠CAN=60°，∴∠BAM=∠CAN，∵∠ACN=∠BCD-∠BCA=60°，∴∠B=∠ACN，在△BAM和△CAN中，
∠BAM＝∠CAN
AB＝AC
∠B＝∠ACN
1
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