第二章导数与微分
第一节导数的概念
习题2-1（p47）
1．填空题
（1）设函数在点处可导，则______；
（2）设，则______；
（3）三次抛物线在点_____和点_____处的切线斜率都等于．
2．求下列函数的导数
（1）；（2）；（3）；（4）．
3．求曲线上点处的切线方程和法线方程．
4．设函数，
（1）为使在处连续且可导，取何值?
（2）写出曲线在处的切线方程与法线方程．
5．证明：双曲线上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于．
解答：
1-(1)解:
1-(2)解：﹒,,,.
5﹒证明：设为曲线上任意一点，过点切线的斜率为，
切线方程为﹒切线与轴的的交点是，与轴的交点为﹒由题意有﹒
第二节导数的运算法则
习题2-2(p51)
1．填空题：
（1）设函数，则______；
（2）设，则______；
（3）过曲线上点处切线斜率为_____；
（4）设，则_____；
（5）一物体按规律作直线运动，速度______．
2．求下列函数的导数
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）；
（7）； （8）；
（9）．
3．设可导，求下列函数的导数:
（1）；（2）．
4．设可导，，求函数的导数．
5．曲线上哪一点的切线平行于轴，并求出切线方程．
6．求曲线上横坐标的点处的法线方程，并计算从原点到此法线的距离．
解答：
第三节隐函数与参数式函数的导数
习题2-3(p56)
1．填空题
（1）设是由方程所确定的隐函数，则______；
（2）曲线方程为，则在点处的切线斜率______；
（3）设，则______；
2．求下列方程所确定的隐函数的导数：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）．
3．用对数求导法求下列函数的导数：
（1）； （2）；
4．求由参数方程所确定的函数的导数．
5．求星形线在点处的切线方程．
解答：
２－（１）解：，，﹒
２－（２）解：，
＝，，﹒
２－（３）解：，，﹒
２－（４）解：，＝＝﹒
２－（５）解：，，﹒
２－（６）解：，，
，
﹒
第四节高阶导数
习题2-4(p59)
1．求下列函数的二阶导数：
（1）；（2）；
（3）；（4）由方程确定的隐函数；
（5）由参数方程确定的函数；
（6）由参数方程确定的函数．
2．求函数在点处的二阶导数．
3．验证函数满足关系式
．
4．求下列函数的阶导数：
（1）；（2）；
（3）；（4）；
（5）；（6）．
解答：
第五节微分及其应用
习题2-5(p65)
1．填空
（1）函数在处的微分为____；
（2）函数当自变量由变到时的微分为____；
（3）____，____，____；
（4）设函数，则____；
（5）用微分近似计算公式计算____，____．
2．求下列函数的微分：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）；
（7）； （8）
（9）； （10）．
3．当很小时，证明：
（1）； （2）．
解答：
自我检测二
1．填空：
（1）已知，则___________；
（2）已知通过某导体横截面的电量与时间的函数关系为（库仑），则导体在秒时电流强度为____；
（3）已知函数，则______；
（4）设，则______；
（5）设是可微的，则______．
2．选择题：
（1）已知函数，则在处（）；
A．间断；B．连续但不可导；C．；D．．
（2）若可导，且，则（）；
A．； B．；
C．； D．．
（3）,则（）；
A．； B．；
C．； D．．
（4）两条曲线和在点处相切，则常数为（）；
A．； B．；
C．； D．．
（5）设以的速率将气体注入球形气球中，当气球半径为时，气球表面积的变化速率是（C）；
A．；B．； C．；D．．
解：；，，。
。
＝。
3．计算下列函数的导数：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）由方程确定的函数．
4．求函数的阶导数．
5．设曲线在点处的切线斜率为，求点的坐标．
6．假设长方形两边之长分别用和表示．如果边以的速率减少，边以的速率增加，试问当（单位：），（单位：）时，长方形面积的变化速率，对角线的变化速率各是多少？
解答：
附录二习题参考答案
第二章
习题2-1
1．（1）；（2）；（3）．
2．（1）；（2）；（3）；（4）．
3．切线方程为；
法线方程为．
4．（1）;（2）切线方程为，法线方程为．
5．证明略．
习题2-2
1．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．
2．（1）；（2）；
（3）；（4）；
（5）；（6）；
（7）；（8）；（9）．
3．（1）；（2）．
4．．
5．．
6．法线方程为，．
习题2-3
1．（1）；（2）;（3）．
2．（1）；（2）；（3）；（4）；
（5）；（6）．
3．（1）；
（2）．
4．．
5．．
习题2-4
1．（1）；（2）；（3）；（4）；
（5）；（6）．
2．．
3．略
4．（1）；（2）；
（3）；（4）；
（5）；（6）．
习题2-5
1．（1）；（2）；（3），，；
（4）；（5），．
2．（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）；
（7）；（8）；（9）；
（10）．
3．略．
自我检测二
1．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．
2．（1）C；（2）D；（3）A；（4）B；（5）C．
3．（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）．
4．．
5．．
6．．
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