专题跟踪突破二开放探究型问题一、选择题(每小题6分，共30分)1．(2013·贵阳)如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B，C的一定点，过M点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有()A．1条B．2条C．3条D．4条C2．(2014·荆门)如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形(简称格点正方形)．若再作一个格点正方形，并涂上阴影，使这两个格点正方形无重叠面积，且组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个格点正方形的作法共有()A．2种B．3种C．4种D．5种C3．(2013·龙岩)如图，在平面直角坐标系xOy中，A(0，2)，B(0，6)，动点C在直线y＝x上．若以A，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数有()A．2个B．3个C．4个D．5个B4．(2014·玉林)蜂巢的构造非常美丽、科学，如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网络，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上．设定AB边如图所示，则△ABC是直角三角形的个数有()A．4个B．6个C．8个D．10个C5．(2014·资阳)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，给出下列四个结论：①4ac－b2＜0；②4a＋c＜2b；③3b＋2c＜0；④m(am＋b)＋b＜a(m≠－1)，其中正确的个数是()A．4B．3C．2D．1B二、填空题(每小题6分，共30分)6．(2014·温州)请举反例说明命题“对于任意实数x，x2＋5x＋5的值总是整数”是假命题，你举的反例是x＝____．(写出一个x的值即可)7．(2014·吉林)如图，OB是⊙O的半径，弦AB＝OB，直径CD⊥AB，若点P是线段OD上的动点，连接PA，则∠PAB的度数可以是__．(写出一个即可)65度(60度≤∠A≤75度，答案不唯一)8．(2014·娄底)如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是__．(添加一个条件即可)∠ABC＝90°或AC＝BD(答案不唯一)9．(2014·赤峰)直线l过点M(－2，0)，该直线的解析式可以写为．(只写出一个即可)y＝x＋2(答案不唯一)10．(2013·昭通)如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝4cm，F是弦BC的中点，∠ABC＝60°.若动点E以1cm/s的速度从A点出发在AB上沿着A→B→A运动，设运动时间为t(s)(0≤t＜16)，连接EF，当△BEF是直角三角形时，t的值为．(填出一个正确的即可)4或7或9或12三、解答题(共40分)11．(8分)(2013·云南)如图，点B在AE上，点D在AC上，AB＝AD.请你添加一个适当的条件，使△ABC≌△ADE.(只能添加一个)(1)你添加的条件是；∵AB＝AD，∠A＝∠A，∴若利用“AAS”，可以添加∠C＝∠E，若利用“ASA”，可以添加∠ABC＝∠ADE，或∠EBC＝∠CDE，若利用“SAS”，可以添加AC＝AE，或BE＝DC，综上所述，可以添加的条件为∠C＝∠E(或∠ABC＝∠ADE或∠EBC＝∠CDE或AC＝AE或BE＝DC)(2)添加条件后，请说明△ABC≌△ADE的理由．12．(8分)(2012·吉林)在如图所示的三个函数图象中，有两个函数图象能近似地刻画如下a，b两个情境：情境a：小芳离开家不久，发现把作业本忘在家里，于是返回了家里找到了作业本再去学校；情境b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进．(1)情境a，b所对应的函数图象分别是____，____；(填写序号)(2)请你为剩下的函数图象写出一个适合的情境．情境是小芳离开家到公园，休息了一会儿，又走回了家③①13．(12分)(2013·遵义)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm.动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA，CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t(单位：秒，0＜t＜2.5)．(1)当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？(2)是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．14．(12分)(2014·东营)【探究发现】如图①，△ABC是等边三角形，∠AEF＝60°，EF交等边三角形外角平分线CF所在的直线于点F，当点E是BC的中点时，有AE＝EF成立；【数学思考】某数学兴趣小组在探究AE，EF的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，通过验证得出如下结论：当点E是直线BC上(B，C除外)任意一点时(其他条件不变)，结论AE＝EF仍然成立．假如你是该兴趣小组中的一员，请你从“点E是线段BC上的任意一点”；“点E是线段BC延长线上的任意一点”；“点E是线段BC反向延长线上的任意一点”三种情况中，任选一种情况，在图②中画出图形，并证明AE＝EF.【拓展应用】当点E在线段BC的延长线上时，若CE＝BC，在图③中画出图形，并运用上述结论求出S△ABC∶S△AEF的值．解：证明：如图②，“点E是线段BC上任意一点”时，在AB上截取AG，使AG＝EC，连接EG，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠B＝∠ACB＝60°.∵AG＝EC，∴BG＝BE，∴△BEG是等边三角形，∠BGE＝60°，∴∠AGE＝120°.∵FC是外角的平分线，∠ECF＝120°＝∠AGE.∵∠AEC是△ABE的外角，∴∠AEC＝∠B＋∠GAE＝60°＋∠GAE.∵∠AEC＝∠AEF＋∠FEC＝60°＋∠FEC，∴∠GAE＝∠FEC.在△AGE和△ECF中??í?ì∠GAE＝∠CEF，AG＝EC，∠AGE＝∠ECF，∴△AGE≌△ECF(ASA)，∴AE＝EF拓展应用：如图③：作CH⊥AE于H点，∴∠AHC＝90°.由数学思考得AE＝EF，又∵∠AEF＝60°，∴△AEF是等边三角形，∴△ABC∽△AEF.∵CE＝BC＝AC，△ABC是等边三角形，∴∠CAH＝30°，AH＝EH.∴CH＝12AC，AH＝32AC，AE＝3AC，∴ACAE＝33.∴S△ABCS△AEF＝(ACAE)2＝(33)2＝13
选＝∠E为条件．理由如下：在△ABC和△ADE中∴△ABC≌△ADE(AAS)
解：∵如图在中＝90＝4＝根据勾股定理得AB＝＝(1)以A为顶点的三角形与△ABC相似分两种情况：①当△AMP∽△ABC时＝即＝解得t＝当△APM∽△ABC时＝即＝解得t＝0(不合题意舍去)t＝时以A为顶点的三角形与△ABC相似
存在某一时刻t使四边形APNC的面积S有最小值．理由如下：假设存在某一时刻t使四边形APNC的面积S有最小值．如图过点P作PH⊥BC于点H.则PH∥AC＝即＝＝t＝S－S＝×3×－×(3－t)·t＝(t－)＋(0＜t＜2.5)．∵＞0有最小值．当t＝时最小值＝
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