2OO2年第4期数学通报
关于椭圆的十个最值问题
李迪淼(湖南师大附中41oo06)
本文利用初等方法讨论了与椭圆有关的若
干几何最值问题，得到了十个有趣的结论，为方便
读者选用，现用定理形式叙述如下．
定理1椭圆b+av：。b(8>b>
^1^
0)的内接三角形的面积的最大值为。b．
证明设该椭圆内接三角形ABC三顶点坐
标按逆时针方向依次为A(acosO【，bsinO【)，
B(acosO2，6sin如)，C(acosO3，bsinOs)，则AABC
的面积为
l1acosO【bsin0ll
S：1l18c。s02bsin02l‘I
18c0s0bsin0I
1l1COs0【sin01
={l1cos02sin02
‘f1c0s0sin03
=o6·单位圆内接三角形的面积
≤ab．掣．(证毕)
定理2椭圆6+
a2y2：。b(Ⅱ>b>0)
的焦点弦与该椭圆的
弦端点为切点的两条切
线所围成的三角形的面
积的最小值为b4／ac．
证明设焦点弦AB
的方程：=ky—c，代入
椭圆方程并整理得
图2
(b2h+。)y一2kcby—b=0，
所=z=㈩
将(1)代入以下弦长公式并化简可得
fAB_-~，(1+。)[(y【Yz)一4y【2]
=2一南)(2)
另一方面，设A(【，Y【)，B(2，Y2)，则由切线
：61+0YIY=a2b和
PB：62+0,2Y20,2b以及
yt／(】+c)=Yz／(2一c)易得两切线交点
P的坐标为(一o／c，hb／c)，从而可得点P到弦
AB的距离为
d：：、(3)
c1+
将(2)、(3)代入三角形面积公式得
S△={-lAB1．d
=n(1一南)’_2
，，c2、bb
≥tl一J’。
其中等号当且仅当：0即弦AB垂直轴时
成立，此时点P为对应准线与轴的交点，故
s}的最小值为b4／ac．(证毕)
另据(2)式有J^J≥2a(1一C2／a)=
26／。且当：0时取等号，因此又有如下的
定理3椭圆的所有焦点弦中，以垂直于焦
点所在对称轴的弦为最短．
(注：对于一支双曲线和抛物线，可用几何法
或利用极坐标方程证明该结论同样成立)
定理4椭圆b+Ⅱ：ab(a>b>
0)内接矩形面积的最大值为2ab．
证明根据椭圆的对称性不难得知其内接
矩形的边必与坐标轴平行，于是若设A(，)是
内接矩形ABCD位于第一象限的顶点，则其面积
=4xy=
≤
4
．：2ab．≤’一——一
令bx=8v：ab，得知当=。，y=
b时上式取到等号，故面积S的最大值为2ab．
(证毕)
定理5椭圆6+av=口b(。>b>
0)外切矩形面积的最大值为2(o+b)．
证明设ABCD是椭圆的外切矩形，
1)当切点是椭圆的顶点时，矩形面积s
=4ab．
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2)当切点不是椭圆的顶点时，矩形四边的斜率
都存在且不为零，因此根据椭圆的对称性不妨设
切线AB：y：+m
(其中>0，m>0)(1)
切线CD：y=kx+n
(其中n<0)(2)
切线BC：y：一x／k+
g(其中g<0)(3)
切线AD：Y：一xlk+
^(其中h>0)(4)
y’
、
、
图3
将(1)式代入bz+Ⅱ=a2b并整理可得
(b+Ⅱ)+(2／mta2)x+(a2m一a2b)：0
令其判别式△：0，可求得m：√b+Ⅱ
(5)
同样，分别将(2)、(3)、(4)代人6+a2Y
：a2b后令△：0可依次得到
：一vr62(6)
g：一√b+n({)。(7)
h=√b+n({)(8)
于是由(5)、(6)得：
-BCAD：而m-n=√l+l+
由(7)、(8)得：IAB1．1CDl
：：c-o
√1+({)√
：业(11)————T——一¨
对(11)式利用基本不等式则有
＆≤[(62+ak2)+(6+。)]
：2(a2+b)．
因当：1时其中等号成立，又2(a。+b)>
4ab，故s^战D的最大值为2(n+b)．(证毕)
另外由(11)式还可得
s口：4·,,；a2b2k4+(
(
a4
2+
+b
1)
4
2
)k2+a2b2
≥4·√''r—a2bZ—k4+((22a
+
2b
l
Z
)
)
2
kz+a2b2
=4n6，从而
得到
定理6椭圆b+a2y2：db(a>b>
0)外切矩形面积的最小值为4ab．
定理7从椭圆b2+a2Y：Ⅱb(8>b
>0)上的点P看两焦点的视角的最大值为
arccos(2b／Ⅱ一1)
证明设Fl，F2是椭圆的左、右焦点，则有
IlI+I2I=2a(1)
(1)得：Pl+P2
：4Ⅱ—2lP1．IPI(2)
又由余弦定理有
cosLFlP2
Pl+P2一F1F22
—2}PF11．I2l
(3)
将IFlF2l-2c及(2)
式代人(3)式，则得
COSFI2
2b
一Ill_I2
图4
26．26．
≥’
———一厂
其中等号当且仅当IPFl1．fPl即点尸
位于短轴两端点时成立，而FlP2∈(0，)，故
F．P的最大值为arccos(2b／a—1)．(证毕)
考察椭圆的外切圆或内切圆并利用圆的性
质，还很容易得到以下的
定理8从椭圆b2+n：nb上的点P
看短轴两端点的视角的最小值为
2L2
arccos(—)，当且仅当点P位于长轴两端点
时取到；从椭圆上的点P看长轴两端点的视角的
最大值为2aretg(a／b)，当且仅当点尸位于短轴两
端点时取到(其中a>b>0)．
(注：可利用椭圆的参数方程和余弦定理给出
解析证明，为节省篇幅，此略)
定理9设A口是经过椭圆b2+Ⅱ：
02b中心的弦，F是椭圆的
一个焦点，则三角形ABF
的面积的最大值是6c(其中
c=a
2
一b)．
证明如图5所示，设
Q是椭圆的另一焦点，连
AQ，口口，得平行四边形AFBQ，
图5
(下转27页)
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一：s=(rl+rz；
(2)若0<口≤，
一=．
结论设圆台的上、下底面半径分别为
r。，r2，高为h，则过两条母线的截面面积S的最大
值有以下两种情况：
(1)若h>，2一rI，则s一=(，I+r2)h；
(2)若^≤r2一rl，则
(r2+，1)[(r2一rI)。+^]
。一一2(2一1)
评析：在结论3中，若令
rI=2=r，≠=0，则可得
到结论1；若令rl=0，则可
得到结论2．可见。如果把圆
柱、圆锥看成为特殊的圆
台，那么圆柱、圆锥中的结
论便可从圆台中得到，也就
是说，圆台可以从形式上将
三者的结论和谐地统一起
来．根据这一思想，我们还
围4
可将结论3、结论特殊化，得到结论1、结论2的
另外一些形式，限于篇幅，此不赘述．
最后值得一提的是结论的另一证明方法，
这种方法较好地体现了参数思想、函数思想等重
要的数学思想，具有一定的思维训练价值．
结论的证明：如图4，设ABB】Al是圆台010
中过两条母线的截面，E，分别是AB，A】B】之
中点，AOE=A】0IEl：0，易得：
AlBl2rIsinO，AB=2r2sinO
EE=
：、：
：、__
故
s：
：(r2+rr)sin0．~／_i二_j
=(rl+r2)√hsin0+【r2一r1)‘sin~0cosz0
=(，I+r2)[{^(1一c础)1(r2一r)si】
：[2h{1一c越)+(，一)】
：{【(也)+】：-r．)2．
[cos2O+()
据此可知(1)若^>r2一r】，则当cos20=
一1时，有
s一：Trl+r2-{[(~2-rO+卫r2-rIr_(r。)z．
[_J+(音)_(『z
(2)若^≤r2_r】当c。s20=一()
时，有
s一：：)+]
(，I+r2)[(r2一r1)+h]
———一
。
(上接25页)
于是s△^=
s△^m≤bc．(证毕)
定理l0设P是椭
圆的准线与椭圆的对
称轴的交点，是对应于
￡的焦点，AB是过，的
动弦，则APB的最大
值为2amtSe(其中e表示
A^
／
．
．
。Pz
围6
离心率)．
证明不妨设椭圆方程为b2+a2y：
口b，准线L：=a2／c，则P(t22／c，0)．当佃上
轴时，易得A(c，a2／b)，且易知和册恰为椭
圆两切线．这时A=arctge，从而APB=
2arc培e；
当AB不垂直轴时，与P均不为切线，
因而显然有APB<2arctge．(证毕)
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