分类十二：压轴题
2011年
22．如图，抛物线与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C(3，0).
（1）求直线AB的函数关系式；
（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N.设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由.
2012年
22．如图，抛物线y=x2﹣x﹣9与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC．
（1）求AB和OC的长；
（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．
25．有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE=．将这副直角三角板按如图1所示位置摆放，点B与点F重合，直角边BA与FD在同一条直线上．现固定三角板ABC，将三角板DEF沿射线BA方向平行移动，当点F运动到点A时停止运动．
（1）如图2，当三角板DEF运动到点D到点A重合时，设EF与BC交于点M，则∠EMC=_________度；
（2）如图3，当三角板DEF运动过程中，当EF经过点C时，求FC的长；
（3）在三角板DEF运动过程中，设BF=x，两块三角板重叠部分的面积为y，求y与x的函数解析式，并求出对应的x取值范围．
2014年
25．（9分）（2014?广东）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥AB于点D，BC=10cm，AD=8cm．点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；
（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；
（3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．
，得
把x=3代入，得，∴A、B两点的坐标分别（0，1）、（3，）.设直线AB的解析式为，代入A、B的坐标，得
，解得
所以，
（2）把x=t分别代入到和
分别得到点M、N的纵坐标为和
∴MN=-（）=
即∵点P在线段OC上移动，∴0≤t≤3.
(3)在四边形BCMN中，∵BC∥MN
∴当BC=MN时，四边形BCMN即为平行四边形
由，得
即当时，四边形BCMN为平行四边形
当时，PC=2，PM=，PN=4，由勾股定理求得CM=BN=,
此时BC=CM=MN=BN，平行四边形BCMN为菱形；
当时，PC=1，PM=2，由勾股定理求得CM=,
此时BC≠CM，平行四边形BCMN不是菱形；
所以，当时，平行四边形BCMN为菱形．
2012年
22．解：（1）已知：抛物线y=x2﹣x﹣9；
当x=0时，y=﹣9，则：C（0，﹣9）；
当y=0时，x2﹣x﹣9=0，得：x1=﹣3，x2=6，则：A（﹣3，0）、B（6，0）；
∴AB=9，OC=9．
（2）∵ED∥BC，
∴△AED∽△ABC，
∴=（）2，即：=（）2，得：s=m2（0＜m＜9）．
（3）解法一：∵S△ABC=AE?OC=m×9=m，
∴S△CDE=S△ABC﹣S△ADE=m﹣m2=﹣
（m﹣）2+．
∵0＜m＜9，
∴当m=时，S△CDE取得最大值，最大值为．此时，BE=AB﹣AE=9﹣=．
记⊙E与BC相切于点M，连接EM，则EM⊥BC设⊙E的半径为r．
在Rt△BOC中，BC===．
∵∠BOC=∠EBM，∠COB=∠EMB=90°．
∴△BOC∽△BME，
∴=，
∴=，
∴r=．
∴所求⊙E的面积为：π（）2=π．
解法二：∵S△ABC=AE?OC=m×9=m，
∴S△CDE=S△AEC﹣S△ADE=m﹣m2=﹣（m﹣）2+．
∵0＜m＜9，
∴当m=时，S△CDE取得最大值，最大值为．此时，BE=AB﹣AE=9﹣=．
∴S△EBC=S△ABC=．
如图2，记⊙E与BC相切于点M，连接EM，则EM⊥BC，设⊙E的半径为r．
在Rt△BOC中，BC═=．
∵S△EBC=BC?EM，
∴×r=，
∴r=．
∴所求⊙E的面积为：π（）2=π．
解：（1）如题图2所示，
∵在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE=，
∴tan∠DFE==，∴∠DFE=60°，
∴∠EMC=∠FMB=∠DFE﹣∠ABC=60°﹣45°=15°；
（2）如题图3所示，当EF经过点C时，
FC====；
（3）在三角板DEF运动过程中，
（I）当0≤x≤2时，如答图1所示：
设DE交BC于点G．
过点M作MN⊥AB于点N，则△MNB为等腰直角三角形，MN=BN．
又∵NF==MN，BN=NF+BF，
∴NF+BF=MN，即MN+x=MN，解得：MN=x．
y=S△BDG﹣S△BFM
=BD?DG﹣BF?MN
=（x+4）2﹣x?x
=x2+4x+8；
（II）当2＜x≤6﹣时，如答图2所示：
过点M作MN⊥AB于点N，则△MNB为等腰直角三角形，MN=BN．
又∵NF==MN，BN=NF+BF，
∴NF+BF=MN，即MN+x=MN，解得：MN=x．
y=S△ABC﹣S△BFM
=AB?AC﹣BF?MN
=×62﹣x?x
=x2+18；
（III）当6﹣＜x≤6时，如答图3所示：
由BF=x，则AF=AB﹣BF=6﹣x，
设AC与EF交于点M，则AM=AF?tan60°=（6﹣x）．
y=S△AFM=AF?AM=（6﹣x）?（6﹣x）=x2﹣x+．
综上所述，y与x的函数解析式为：
y=．（1）证明：当t=2时，DH=AH=2，则H为AD的中点，如答图1所示．
又∵EF⊥AD，∴EF为AD的垂直平分线，∴AE=DE，AF=DF．
∵AB=AC，AD⊥AB于点D，∴AD⊥BC，∠B=∠C．
∴EF∥BC，∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，
∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，
∴AE=AF=DE=DF，即四边形AEDF为菱形．
（2）解：如答图2所示，由（1）知EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，
∴，即，解得：EF=10﹣t．
S△PEF=EF?DH=（10﹣t）?2t=﹣t2+10t=﹣（t﹣2）2+10
∴当t=2秒时，S△PEF存在最大值，最大值为10，此时BP=3t=6．
（3）解：存在．理由如下：
①若点E为直角顶点，如答图3①所示，
此时PE∥AD，PE=DH=2t，BP=3t．
∵PE∥AD，∴，即，此比例式不成立，故此种情形不存在；
②若点F为直角顶点，如答图3②所示，
此时PE∥AD，PF=DH=2t，BP=3t，CP=10﹣3t．
∵PF∥AD，∴，即，解得t=；
③若点P为直角顶点，如答图3③所示．
过点E作EM⊥BC于点M，过点F作FN⊥BC于点N，则EM=FN=DH=2t，EM∥FN∥AD．
∵EM∥AD，∴，即，解得BM=t，
∴PM=BP﹣BM=3t﹣t=t．
在Rt△EMP中，由勾股定理得：PE2=EM2+PM2=（2t）2+（t）2=t2．
∵FN∥AD，∴，即，解得CN=t，
∴PN=BC﹣BP﹣CN=10﹣3t﹣t=10﹣t．在Rt△FNP中，由勾股定理得：PF2=FN2+PN2=（2t）2+（10﹣t）2=t2﹣85t+100．
在Rt△PEF中，由勾股定理得：EF2=PE2+PF2，
即：（10﹣t）2=（t2）+（t2﹣85t+100）
化简得：t2﹣35t=0，
解得：t=或t=0（舍去）
∴t=．
综上所述，当t=秒或t=秒时，△PEF为直角三角形．
9
题22图
C
P
B
N
M
A
x
O
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