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2014年北京燕山中考一模数学试卷
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．
1．3?的绝对值是（）．
A．3B．3?C．13?D．13
2．2014年2月14日从北京航天飞行控制中心获悉，嫦娥二号卫星再次刷新我国深空探测最远距
离记录，达到7000万公里，这是我国航天器迄今为止飞行距离最远的一次“太空长征”．
将7000万用科学记数法表示应为（）．
A．6710?B．7710?C．8710?D．80.710?
3．下列立体图形中，左视图是圆的是（）．
4．小月的讲义夹里放了大小相同的试卷共12页，其中语文5页、数学4页、英语3页，她随机地
从讲义夹中抽出1页，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率是（）．
A．16B．14C．13D．512
5．如右图所示，ABCD∥，点E在CB的延长线上．若70ABE???，则ECD?
的度数为（）．
A．20?B．70?
C．100?D．110?
6．下列正多边形中，内角和等于外角和的是（）．
A．正三边形B．正四边形C．正五边形D．正六边形
7．小贝家买了一辆小轿车，小贝记录了连续七天中每天行驶的路程：
第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天
路程
(千米)
43292752437233
则小贝家轿车这七天行驶路程的众数和中位数分别是（）．
A．33，52B．43，52C．43，43D．52，43
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8．如图，点C在线段AB上，8AB?，2AC?，P为线段CB上一动点，
点A绕点C旋转后与点B绕点P旋转后重合于点D．设CPx?，CPD△的
面积为y．则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）．
A．B．C．D．
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．若二次根式32x?有意义，则x的取值范围是______________．
10．分解因式：22mnmnn???__________________．
11．为了测量校园水平地面上一棵树的高度，数学兴趣小组利用一组标杆、皮尺，
设计了如图所示的测量方案．已知测量同学眼睛A、标杆顶端F、树的顶端E在同
一直线上，此同学眼睛距地面1.6m，标杆长为3.3m，且1mBC?，4mCD?，则
树高ED?__________m．
12．如图，在平面直角坐标系中，已知点0P的坐标为(1,0)，将线段0OP
绕点O按顺时针方向旋转45?，再将其长度伸长为0OP的2倍，得到线段
1OP；又将线段1OP绕点O按顺时针方向旋转45?，再将其长度伸长为1OP
的2倍，得到线段2OP，…，这样依次得到线段3OP，4OP，…，nOP．则
点2P的坐标为______________；当41nm??(m为自然数)时，点nP的坐
标为______________．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．计算：101()2014122sin605?????．
y
(1,0)
P5
P4
P3
P2
P1x
O
P0
树
标
杆人
CD
E
F
B
A
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14．如图，90AOB???，OAOB?，直线EF经过点O，ACEF?于点C，BDEF?于点D．
求证：ACOD?．
15．解分式方程：
23193xxx????
．
16．已知2310xx???，求2(2)(1)(21)2xxx?????的值．
17．在“母亲节”到来之际，某校九年级团支部组织全体团员到敬老院慰问．为筹集慰问金，团员
们利用课余期间去卖鲜花．已知团员们从花店按每支1.5元的价格买进鲜花共x支，并按每支5元
的价格全部卖出，若从花店购买鲜花的同时，还用去50元购买包装材料．
（1）求所筹集的慰问金y（元）与x（支）之间的函数表达式；
（2）若要筹集不少于650元的慰问金，则至少要卖出鲜花多少支？
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18．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点，OAOB?，
且OA、OB的长分别是一元二次方程27120xx???的两根．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）点P是y轴上的点，点Q是第一象限内的点．若以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，
请直接．．写出Q点的坐标．
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．如图，在四边形ABCD中，ADBC∥，52AB?，4BC?，连接BD，BAD?的平分线交BD于
点E，且AECD∥．
（1）求AD的长；
（2）若30C???，求四边形ABCD的周长．
20．2014年春季，北京持续多天的雾霾天气让环保和健康问题成为人们关注的焦点．为了美丽的
北京和师生的身心健康，某校开展以“倡导绿色出行，关爱师生健康”为主题的教育活动．为了了
解本校师生的出行方式，在本校范围内随机抽查了部分师生，将收集的数据绘制成下列不完整的
两种统计图．
学生出行方式扇形统计图
x
y
O
B
A
l
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请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）m?___________；
（2）已知随机抽查的教师人数为学生人数的一半，请根据上述信息补全条形统计图，并标明相应
数据；
（3）若全校师生共1800人，请你通过计算估计，全校师生乘私家车出行的有多少人？
21．如图，点C是以AB为直径的圆O上一点，直线AC与过B点的切线相交于点D，点E是BD
的中点，直线CE交直线AB于点F．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若32ED?，3tan4F??，求⊙O的半径．
22．阅读下面材料：
如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角
形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边
形”．如图1所示，平行四边形ABEF即为ABC△的“友好平行四边形”．
请解决下列问题：
（1）仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好矩形”；
（2）若ABC△钝角三角形，则ABC△显然只有一个“友好矩形”，若ABC△是直角三角形，
其“友好矩形”有_________个；
（3）若ABC△是锐角三角形，且ABACBC??，如图2，请画出ABC△的所有“友好矩形”；指
出其中周长最小的“友好矩形”并说明理由．
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五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．已知关于x的一元二次方程222(1)230xkxkk??????有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k取最小的整数时，求抛物线222(1)23yxkxkk??????的顶点坐标以及它与x轴的交点
坐标；
（3）将（2）中求的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得
到一个新图象．请你画出这个新图象，并求出新图象与直线yxm??有三个不同公共点时m的值．
24．如图1，已知ABC△是等腰直角三角形，90BAC???，点D是BC的中点．作正方形DEFG，
使点A、C分别在DG和DE上，连接AE，BG．
（1）试猜想线段BG和AE的数量关系是__________________；
（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转(0360)??????，
①判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图2证明你的结论；
②若4BCDE??，当AE取最大值时，求AF的值．
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25．定义：如果一个y与x的函数图象经过平移后能与某反比例函数的图象重合，那么称这个函数
是y与x的“反比例平移函数”．
例如：112yx???的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到1yx?的图象，则112yx???
是y与x的“反比例平移函数”．
（1）若矩形的两边分别是2cm、3cm，当这两边分别增加(cm)x、(cm)y后，得到的新矩形的面
积为28cm，求y与x的函数表达式，并判断这个函数是否为“反比例平移函数”．
（2）如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为(9,0)、
(0,3)．点D是OA的中点，连接OB、CD交于点E，“反比例平移函数”6axkyx???的图象经过B、
E两点．则这个“反比例平移函数”的表达式为_________________；这个“反比例平移函数”的图象
经过适当的变换与某一个反比例函数的图象重合，请写出这个反比例函数的表达式____________．
（3）在（2）的条件下，已知过线段BE中点的一条直线l交这个“反比例平移函数”图象于P、Q
两点(P在Q的右侧)，若B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为16，请求出点P的坐标．
y
xD
E
A
BC
O
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2014年北京燕山中考一模数学试卷答案
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
题号12345678
答案ABDCDBCB
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
题号9101112
答案
23x≥2(1)nm?10.1
(0,4)?，
11(22,22)nn?????（m为正奇数时）
11(22,22)nn?????（m为0和正偶数时）
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．解：原式3=51232
2????
．
=51233???
=4+3．
14．证明：∵ACEF?，BDEF?，
∴90ACOODB?????，
∴90AAOC?????，
∵90AOB??，
∴90AOCBOD?????，
∴ABOD???．
在AOC△和OBD△中，
AOCODB
ABOD
AOOB
?????
?????
??
∴AOCOBD?△△．
∴ACOD?．
15．解：23(3)9xxx????，
223+39xxx???，
4x??，
经检验，4x??是原分式方程的根．
16．解：原式2244(21)2xxxx???????
44212xxxx???????
2=33xx???．
∵2310xx???，
∴231xx??．
9/15
∴原式2(3)3xx????
13???=2．
17．解：（1）(51.5)503.550yxx?????．
（2）当650y≥时，即3.550650x?≥，
解得200x≥．
答：若要筹集不少于650元的慰问金，至少要售出鲜花200支．
18．解：（1）∵27120xx???，
∴(3)(4)0xx???，
∴13x?，24x?．
∴点A的坐标为(3,0)，点B的坐标为(0,4)．
∵设直线AB的函数表达式为(0)ykxbk???，
∴30
4kbb??????
∴解得43
4
k
b
?????
???
∴直线AB的函数表达式为443yx???．
（2）Q点的坐标是(3,5)或25(3,)8．
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．解：（1）延长AE交BC于点F．
∵AE平分BAD?，
∴BAFDAF???．
∵ADBC∥，
∴AFBDAF???，
∴BAFAFB???，
∴52BFAB??．
∵4BC?，
∴53422FC???．
∵AFDC∥，ADBC∥，
∴四边形AFCD是平行四边形，
∴32ADFC??．
（2）过B作AF的垂线BG，垂足为G．
∵AFDC∥，30AFBC?????，
10/15
在RtBGF△中，5353cos30
224GFBF??????
，
∴535322
42DCAFGF?????
．
∴四边形ABCD的周长
ABBCCDDAD????
55334222????
5382??．
20．解：（1）20%；
（2）补全条形统计图如下图：
（3）1525%+1525%2=90???（人）
9+15=24（人）
241800=48090?（人）
答：全校师生乘私家车出行的有480人．
21．（1）证明：连接CB、OC，
∵AB是直径，
∴90ACB???．
∴90BCD???．
∵E是BD的中点，
∴CEEB?．
90BCECBECBACABACO???????????，
∴90OCF???，
∴OCCF?．
∵OC是⊙O的半径，
∴CF是⊙O的切线．
（2）解：∵E是BD的中点，BD、CF是⊙O的切线，
11/15
∴32EBED??，90EBFOCF?????．
∴342tan23BEBFF?????，
∴2252EFEBBF???．
设⊙O的半径为r．
∵BEFCOF∽△△，
∴3522
2rr??
，
∴3r?．
∴⊙O的半径为3．
22．解：（1）三角形的一边与矩形的一边重合，三角形这边所对的顶点在矩形这边的对边上．
（2）2；
（3）画图：
周长最小的“友好矩形”是矩形ABHK．
理由：易知这三个矩形的面积都等于ABC△的面积的一半，所以这三个矩形的面积相等，
令其为S，设矩形BCDE，矩形CAFG，矩形ABHK的周长分别为1L、2L、3L，
ABC△的边长BCa?，CAb?，ABc?，(cba??)，
则
122SLaa??
，
122SLbb??
，
122SLcc??
，
∴
1222(2)(2)2()SSabSLLabababab????????
，
而abS?，ab?，
∴120LL??，即12LL?．
同理可证23LL?．
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．解：（1）由题意，得224(1)4(23)16160kkkk?????????，
∴1k??．
∴k的取值范围为1k??．
（2）∵1k??，且k取最小的整数，
∴0k?．
∴2223(1)4yxxx??????，
F
ED
K
H
G
CB
A
12/15
则抛物线的顶点坐标为(1,4)?
∵223yxx???的图象与x轴相交，
∴223=0xx??，
∴(3)(1)0xx???，
∴1x??或3x?，
∴抛物线与x轴相交于(1,0)A?，(3,0)B．
（3）翻折后所得新图象如图所示．
平移直线yxm??知：直线位于1l和2l时，它与新图象有三个不同的公共点．
①当直线位于1l时，此时1l过点(1,0)A?，
∴10m???，即1m?．
②当直线位于2l时，此时2l与函数
223(13)yxxx?????≤≤的图象有一个公共点，
∴方程223xmxx?????，
即230xxm????有两个相等实根，
∴=14(3)0m????，即134m?．
当134m?时，
1212xx??
满足13x?≤≤，
由①②知1m?或134m?．
24．解：（1）BGAE?；
（2）①成立．以下给出证明：
如图，连接AD，
∵在RtBAC△中，D为斜边BC中点，
∴ADBD?，ADBC?，
∴90ADGGDB?????．
∵四边形EFGD为正方形，
∴DEDG?，且90GDE???，
∴90ADGADE?????，
∴BGDADE???．
在BDG△和ADE△中，
BDAD
BDGADE
DGDE
???
?????
??
∴BDGADE?△△，
B
A
CD
E
G
F
B
A
C
D
E
G
F
6
4
2
5OBA
l2
l1
y
x
13/15
∴BGAE?．
②由①可得BGAE?，当BG取得最大值时，AE取得最大值．
当旋转角为270?时，BGAE?，最大值为246??．
如图，此时22213AFAEEF???．
25．解：（1）(2)(3)8xy???，
∴832yx???
832yx???向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到8yx?．
∴832yx???是“反比例平移函数”．
（2）“反比例平移函数”的表达式为296xyx???．
变换后的反比例函数表达式为3yx?．
（3）如图，当点P在点B左侧时，设线段BE的中点为F，
由反比例函数中心对称性，四边形PEQB为平行四边形．
∵四边形PEQB的面积为16，
∴4PFBS?△，
∵(9,3)B，(6,2)F．
296xyx???是3yx?的“反比例平移函数”，
∴
14PFBPOESS??△△
，(3,1)E
过E作x轴的垂线，与BC、x轴分别交于M、N点．
111OPEOCPONEEMPONMCSSSSS????四边形△△△△
．
设100(,)Pxy，
∴00
00000
3
111313(1)(3)4222
xy
yxyyx
???
??????????
?
即00
00
338xyyx??????
∴0
0
13xy?????
∴1(1,3)P，
∴点P的坐标为(7,5)．
当点P在点B右侧时，同理可得点P的坐标为7(15,)3．
y=
3
x
y=
2x-9
x-6
F
N
P1M
Q
P
y
x
E
A
B
C
O
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2014年北京燕山一模数学试卷部分解析
一、选择题
1.【答案】A
【解析】3?的绝对值是3，故选A．
2.【答案】B
【解析】7000万用科学记数法表示为7710?，故选B．
3.【答案】D
【解析】四个选项中，左视图是圆的只有球体，故选D．
4.【答案】C
【解析】一共12页试卷，其中数学有4页，随机抽出一页，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率是
41=123，故选C．
5.【答案】D
【解析】∵70ABE???，∴18070110ABC???????，∵ABCD∥，∴110ABCECD?????，
故选D．
6.【答案】B
【解析】正多边形外角和始终为360?，内角和公式为(2)180n???，故(2)180360n?????，4n?，
故选B．
7.【答案】C
【解析】这组数据中的众数是43，中位数也是43，故选C．
8.【答案】B
【解析】∵8AB?，2ACCD??，CPx?，∴6BPPDx???．
2626xxxx?????????，解得24xx?????，即24x??．
在DCP△中，42CDDPCPP????，()()()42(4)(2)DCPSppCPpDPpDCxx?????????△，
当且仅当3x?时取的最大值为22．
故选B．
二、填空题
9.【答案】23x≥
【解析】二次根式32x?有意义，320x?≥，23x≥．
故答案为：23x≥．
15/15
10.【答案】2(1)nm?
【解析】分解因式：2222(21)(1)mnmnnnmmnm???????．
故答案为：2(1)nm?．
11.【答案】10.1
【解析】依题意可知，3.31.6111.6145BCxBD??????，解得1.68.5x??，10.1x?．
故答案为：10.1．
12.【答案】(0,4)?，11(22,22)nn?????（m为正奇数时），
11(22,22)nn?????（m为0和正偶数时）
【解析】由题意可知，01OP?，12OP?，24OP?，38OP?，416OP?，……，2nnOP?．
每次都是顺时针旋转45?，当4nm?时，都落在x轴上．
当m为奇数，落在x轴负半轴；当m为偶数，落在x轴正半轴．
当41nm??，落在二、四象限的角平分线上，横纵坐标互为相反数，
当m为奇数，落在第二象限，11(22,22)nnnP?????；
当m为偶数，落在第四象限，11(22,22)nnnP?????．
故答案为：(0,4)?，11(22,22)nn?????（m为正奇数时），
11(22,22)nn?????（m为0和正偶数时）．
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