数与代数

数与代数

知识点一：整数

1、整数的范围

整数包括自然数和负整数，或者说整数由正整数、零、负整数组成。

(1)自然数

自然数的意义：我们在数物体的时候，用来表示物体的个数0,1,2,3,4,5,…..叫做自然数。自然数的个数是无限的，没有最大的自然数。

自然数的基本单位：任何非“0”的自然数都是若干个“1”组成，所以“1”是自然数的基本单位。1也是最小的一位数。

“0”的含义：“0”表示一个物体也没有，在计数中起占位作用，表示该数位上没有计数单位。“0”还可以表示起点、分界点等。“0”是最小的自然数。

自然数的两种意义：如果一个自然数用来表示物体的个数就叫基数；如果一个自然数用来表示物体排列的次序就叫序数。

（2）正数

正数的定义以前学过的8、16、200……..这样的数叫做正数。

正数的写法和读法正数前面也可以加“＋”号，例如：＋8读作：正八。“＋”号一般可以省略不写。

（2）负数

负数的定义像－1、－5、－132……这样的数叫做负数。“一”叫负号。

负数的写法和读法负数前面加“一”号，例如：－15读作：负十五。数字越大的负数反而越小。

“0”既不是正数，也不是负数。

（4）整数与自然数的联系及区别

自然数全是整数，整数不全是自然数，还包括负整数。

2、整数的读法和写法

数的分级按照我国的计数习惯，整数从个位起，每四个数位是一级。个位、十位、百位、千位是个级，表示多少个一；万位、十万位、百万位、千万位是万级，表示多少个万位；亿位、十亿位、百亿位、千亿位是亿级，表示多少个亿。

计数单位整数、小数都是按照十进制写出的数，其中一（个）、十、百…….是整数的计数单位。计数单位是按一定顺序排列的。

数位各个计数单位所占的位置叫数位。如9357中的“5”在右起第二位，即“5”所在的数位是十位。

位数指一个数是由几个数字组成，是含有数位个数，如1234占有四个数位，就是四位数。

十进制计数法十进制是指满十进一，十个一进为十，十个十进位百，十个百进为千……每相邻两个计数单位间的进率都是“十”，这样的计数法叫做十进制计数法。

（2）整数的读法和写法

整数的读法读整数时，从高位到低位，一级一级地读，读亿级、万级时，按照个级的读法去读，只要在后面加上“亿”字、“万”字就可以了，每一级末尾的“0”都不读出来，其他数位有一个“0”或连续几个“0”都只读一个零。

整数的写法写整数时，从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。

3、整数大小的比较

比较两个整数的大小，整数数位多的数比较大；整数数位相同的，要从高位依次看相同数位上的数字，相同数位上数字大的数比较大。

知识点二小数

1、小数的意义

把整数“1”平均分成10份，100份，1000份……这样的1份或几份是十分之几，百分之几，千分之几…….可以用小数来表示。一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几…….

1、小数的读法和写法

小数部分的最高计数单位“十分之一”和整数部分的最低计数单位“一”之间的进率也是十。

（2）小数的读法和写法

读小数时，整数部分按整数的读法读，整数部分是0的读作“零”，小数点读作“点”，小数部分可以顺次读出每个数位上的数字。

写小数时，整数部分按整数的写法写，整数部分是零的要写“0”，小数点点在个位的右下角，然后依次写出小数部分每个数位上的数字。

3、小数大小的比较

比较两个小数的大小，先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就在；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大……

4、数的改写与求近似数

（1）数的改写与省略这个数某一位后面的尾数写成近似数的方法

为了读写方便，常把较大的数简写成用“万”或“亿”作单位的数。如：2365500＝236.55万（改写用“万”作单位的数）。有时还可以根据需要，省略这个数某一的尾数，写成近似数。如：2365500≈237万（省略万位后面的尾数），有时还要求保留一位小数的近似数。如：7.62983≈7.6（保留一位小数）。

取近似数时，常用“四舍五入法”或“进一法”、“去尾法”把一个数某一位后面的尾数省略。

（2）较大数的“改写”与“求近似数”的异同

相同点都是改变原数的计数单位。根据要求用“亿”或“万”作单位。

不同点“改写”只改变数的单位，不改变数的大小，用“＝”表示。“求近似数”是用四舍五入法或“进一法”、“去尾法”，既改变了数的单位，又改变数的大小，用“≈”表示。

5、小数的分类与性质

（1）小数的分类

按小数的整数部分是否为0，小数分为纯小数和带小数。

纯小数整数部分是0的小数叫做纯小数。

带小数整数部不是0的小数叫做带小数。（纯小数都小于1，带小数都大于或等于1。）

按小数部分的倍数是否有限，小数可以分为有限小数和无限小数。

有限小数小数部分的位数有限的小数，叫做有限小数。

无限小数小数部分的位数无限的小数，叫做无限小数。

无限小数又可以分为无限不循环小数和无限循环小数两类。

循环小数一个无限小数，从小数部分的某一位起，一个数定或几个数字依次不断地重复出现，这样的小数叫做无限循环小数。

循环节一个循环小数的小数部分依次不断地重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。

循环小数的简便写法写循环小数时，为了简便，一般只写出它的第一个循环节，并在循环节的首位和末尾数字上各点一个小圆点。

（2）小数的性质

小数的末尾添上“0”或者去掉“0”，小数的大小不变，（注意：是在“小数的末尾”而不是“小数点的后面”。）

（3）小数点位置的移动引起小数的大小变化

小数点向右移动一位、二位、三位、…….小数就扩大到原来的10倍、100倍、1000倍……小数点向左移动一位、两位、三位……小数就缩小到原来的、、……

（4）常见的质量单位、人民币单位、时间单位及各单位间的坦率

（5）平年、闰年的判断方法

公历年份是4的倍数的一般是闰年，公历年份是整百数的，必须是400的倍数才是闰年。

知识点三分数

1、分数的意义把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。

2、分数单位把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的分数，叫做分数单位。

3、分数的分类

（1）真分数分子比分母小的分数叫做真分数。

（2）假分数分子比分母大或者与分母相等的分数叫做假分数。

4、分数的基本性质分数的分子一分母同时乘或除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变，这叫做分数的基本性质。

5、分数与除法的关系（1）分数的分子相当于除法的被除数，分数的分母相当于除法的除数，分数线相当于除法的除号。（2）在除法中，除数不能为0，在分数中分母也不能为0，除数、分母为0没有意义。

6、约分把一个分数化成同它相等，且分子、分母都比较小的分数的过程，叫做约分。

7、最简分数分子、分母是互质数的分数叫做最简分数。

8、通分把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数,叫做通分。

9、分数大小的比较分母相同的两个分数，分子大的分数比较大；分子相同的两个分数，分母小的分数比较大。

10、分数化小数根据分数与除法的关系，把分数转化为除法算式，然后计算，就可以得到小数。

分数化小数有两种情况：一般是分子除以分母能除尽，得到有限小数，如＝0.4；一种是分子除以分母除不尽，得到无限小数，如＝0.142857……

11、小数化为分数原来有几位小数，就在1的的后面写上几个0

母，把原来的小数点去掉作分子，化成分数后，能约分的要约分。

12、分数的基本性质与小数基本性质的关系

分数的基本性质与小数的基本性质是一致的。小数的末尾添上“0”

或者去掉“0”，就相当于把相应的分数的分子、分母同时扩大（或缩小）到原来的10倍（或）、100倍（或）、1000倍（或）……以下数与代数的知识网络图：