高考数学研究QQ2777676594椭圆的第二定义1/4
解析几何——（11）
高端视野:椭圆的第二定义
椭圆的第二定义：当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数
)10(<<=eace时，这个点的轨迹是椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，
常数e是椭圆的离心率．
可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率
的几何意义．
edMF=||∴
准线方程：对于椭圆1
2
2
2
2=+byax，相应于焦点)0,(cF的准线方程是cax2=．根据对称性，
相应于焦点)0,(cF′的准线方程是cax2-=．对于椭圆1
2
2
2
2=+bxay的准线方程是
cay2±=．
焦半径公式：
由椭圆的第二定义edMF??||可得：右焦半径公式为
exacaxeedMF?????||||2右；左焦半径公式为exacaxeedMF??????|)(|||2左
【例1】椭圆1
162522??yx
上的点M到左准线的距离是5.2，求M到左焦点的距离为
______.
变式：求M到右焦点的距离为_________.
解：记椭圆的左右焦点分别为21,FF到左右准线的距离分别为21,dd由椭圆的第二定义可
知：edMF?||
53||11???acedMF5.15.253||11?????edMF5.1||1??MF
又由椭的第一定义可知：5.8||102||||221?????MFaMFMF
另解：点M到左准线的距离是2.5，所以点M到右准线的距离为685253505.222????ca
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5.868553||||2222??????edMFedMF?
【例2】点P与定点A（2，0）的距离和它到定直线8?x的距离的比是1：2，求点P的
轨迹
解法一：设),(yxP为所求轨迹上的任一点，则
21|8|)2(
22?
???xyx
由化简得1121622??yx，
故所的轨迹是椭圆。
解法二：因为定点A（2，0）所以2?c，定直线8?x所以82??cax解得4?a，又因
为21??ace故所求的轨迹方程为1121622??yx
变式：点P与定点A（2，0）的距离和它到定直线5?x的距离的比是1：2，求点P的轨
迹；
分析：这道题目与刚才的哪道题目可以说是同一种类型的题目，那么能否用上面的两种方法
来解呢？
解法一：设),(yxP为所求轨迹上的任一点，则
21|5|)2(
22?
???xyx
由化简得
0946322????yxx配方得134)1(22???yx，故所的轨迹是椭圆，其中心在（1，0）
解法二：因为定点A（2，0）所以2?c，定直线8?x所以52??cax解得102?a，故
所求的轨迹方程为161022??yx
【例3】设AB是过椭圆右焦点的弦，那么以AB为直径的圆必与椭圆的右准线（）
A.相切B.相离C.相交D.相交或相切
分析：如何判断直线与圆的位置关系呢？
解：设AB的中点为M，则M即为圆心，直径是|AB|；记椭圆的右焦点为F，右准线为l；
过点A、B、M分别作出准线l的垂线，分别记为ddd,,21由梯形的中位线可知221ddd??
又由椭圆的第二定义可知e
dAF?1||edBF?2||
即)(||||21ddeBFAF???
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又22||||2||21ddeBFAFAB??????且10??e2||ABd??故直线与圆相离
【例4】已知点M为椭圆1
162522??yx
的上任意一点，1F、2F分别为左右焦点；且)2,1(A
求||35||
1MFMA?
的最小值
分析：应如何把||35
1MF
表示出来
解：左准线1l：3252????cax，作1lMD?于点D，记||MDd?
由第二定义可知：53||1???acedMF?dMF53||
1?
?||35
1MFd?
故有||||||||35||
1MDMAdMAMFMA?????
所以有当A、M、D三点共线时，|MA|+|MD|有最小值：3251?
即||35||
1MFMA?
的最小值是328
变式1：||5||31MFMA?的最小值；
解：283283)||35||(3||5||3
11??????MFMAMFMA
变式2：||||53
1MFMA?
的最小值；
解：52832853|)|35|(|53||||53
11??????MFMAMFMA
F
1
A
M
D
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