函数——（11）
高端视野：利普希茨条件
若存在常数K,使得对定义域D的任意两个不同的实数12,xx均有：
12()()fxfx??12kxx?成立，则称()fx在D上满足利普希茨条件。若()fx在区间I
上满足利普希茨条件，必定有()fx在区间I上一致连续.上述的I和K是某个大于零
的数。对各自的定义域，这个数一定要存在。
设函数g(x)在有限区间[a,b]上满足如下条件：
(1)当x∈[a,b]时，g(x)∈[a,b]，即a≤g(x)≤b.
(2)对任意的12,xx∈[a,b]，恒成立：1212g()()xgxLxx???
【练1】（2010西城二模文8）
给出函数??fx的一条性质：“存在常数M，使得??fxMx≤对于定义域中的一
切实数x均成立”．则下列函数中具有这条性质的函数是（）
A．1y
x?
B．2yx?C．1yx??D．sinyxx?
【练2】（10-11年上学期东城高三期末统考理8文8）
已知函数()fx的定义域为R，若存在常数0m?，对任意x?R，有()fxmx≤，
则称()fx为F函数．给出下列函数：①()0fx?；②2()fxx?；
③()sincosfxxx??；④
2()1xfxxx???
；⑤()fx是定义在R上的奇函数，且满
足对一切实数12,xx均有1212()()2fxfxxx??≤．其中是F函数的序号为（）
A．①②④B．②③④C．①④⑤D．①②⑤
【练3】（2009西城二模文14）
已知三个函数：①2cosyx?；②31yx??；③12xy??．
其中满足性质：“对于任意1x，2x?R，若102xxx??，10
2xx???
，02
2xx???
，
则有12()()()()fffxfx?????成立”的函数是_________．（写出全部正确结论
的序号）
【练4】（2008朝阳二模理8文8）
集合M由满足以下条件的函数()fx组成：对任意??12,1,1xx??时，都有
1212()()4fxfxxx??≤．对于两个函数212()25,()fxxxfxx????，以下关
系成立的是（）
A．12(),()fxMfxM??B．12(),()fxMfxM??
C．12(),()fxMfxM??D．12(),()fxMfxM??
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