结束放映返回目录获取详细资料请浏览：www.zxjkw.com【2014年高考会这样考】1．考查已知数列的通项公式或递推关系，求数列的某项．2．考查由数列的递推关系求数列的通项公式．第1讲数列的概念及简单表示法B级A级抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考活页限时训练数列的概念数列的递推公式an与Sn的关系考向一考向二考向三助学微博考点自测【例2】【训练2】【例1】【训练1】【例3】【训练3】由递推公式求数列的通项公式已知数列的前几项求通项公式由数列的前n项和求通项选择题填空题解答题选择题填空题解答题高考中对Sn与an的关系的考查单击标题可完成对应部分的学习1．数列的概念考点梳理2．数列的递推公式考点梳理3．an与Sn的关系两类特殊问题助学微博三种方法考点自测单击图标显示详解答案显示单击题号显示结果BBC123单击转4-5题考点自测单击图标显示详解答案显示单击题号显示结果C2145单击转1-3题【审题视点】解(1)考向一已知数列的前几项求通项公式将数列各项分成若干部分，观察某一部分是否是常见特殊数列。再寻找其他部分与其之间的关系解(3)【方法锦囊】考向一已知数列的前几项求通项公式解【方法锦囊】考向一已知数列的前几项求通项公式【审题视点】解(1)【方法锦囊】考向二由数列的前n项和求通项公式【审题视点】【方法锦囊】考向二由数列的前n项和求通项公式【审题视点】考向三由递推公式求数列的通项公式解析(1)【方法锦囊】考向三由递推公式求数列的通项公式解析(1)规范解答9——高考中对Sn与an的关系的考查揭秘3年高考揭秘3年高考【教你审题】揭秘3年高考【阅卷老师手记】【模板构建】第一步第二步第三步第四步解决由Sn与an的关系求an问题的步骤可归纳为：第五步揭秘3年高考一、选择题单击显题/详解点击题号出答案题号1234BCBDA级基础演练单击显题/详解点击题号出答案题号二、填空题56A级基础演练三、解答题87A级基础演练三、解答题78A级基础演练一、选择题单击详解点击题号出答案题号12DCB级能力突破单击详解点击题号出答案题号二、填空题34B级能力突破结束放映返回目录获取详细资料请浏览：www.zxjkw.com6．(13分)(2012·山东)在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝84，a9＝73.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)对任意mN，将数列{an}中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为bm，求数列{bm}的前m项和Sm.
(1)令n＝1时，T1＝2S1－1，＝×××…×××1(2)an＝···…···a1
(2,3)
第一项
则有
5．数列{an}的通项公式an＝－n2＋10n＋11，则该数列前________项的和最大．
a1＝S1＝2－3＝－1，a1＝S1＝3＋b，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1.
数列的通项an与前n项和Sn的关系是an＝当n＝1时，a1若适合Sn－Sn－1，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项an；当n＝1时，a1若不适合Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示．
通过分析各数列已知项的数字特征的共性，及常见的描述方法写出各数列的通项公式．
(1)an＝(－1)n＋1(2n－1)；
(2)an＝；
(3)an＝.∵T1＝S1＝a1，(2)n≥2时，Tn－1＝2Sn－1－(n－1)2，
＝2(Sn－Sn－1)－2n＋1＝2an－2n＋1.
公比为2的等比数列．∴an＝3×2n－1－2，所以an＝3×2n－1－2.(14分)
解(1)因为{an}是一个等差数列，
所以a3＋a4＋a5＝3a4＝84，即a4＝28.
设数列{an}的公差为d，则5d＝a9－a4＝73－28＝45，故d＝9.
由a4＝a1＋3d得28＝a1＋3×9，即a1＝1.
所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋9(n－1)＝9n－8(nN)．
首项．1．解析a7＝S7－S6＝49＋7－36－6＝14.答案B
2．解析a5＝2a4＋1＝2(2a3＋1)＋1＝22a3＋2＋1＝23a2＋22＋2＋1＝24a1＋23＋22＋2＋1＝31.答案B
3．解析A、B、D均正确，对于C，若首项为－1，d＝2时就不成立．答案C
4．解析从图中可观察星星的构成规律，
n＝1时，有1个；n＝2时，有1＋2＝3个；n＝3时，有1＋2＋3＝6个；n＝4时，有1＋2＋3＋4＝10个；…∴an＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝.答案C
5．解析y＝x2上点(ak，a)处的切线方程为y－a＝2ak(x－ak)，令y＝0可得x＝ak，即ak＋1＝ak，即可得数列{ak}是首项为16，公比为的等比数列，则a1＋a3＋a5＝16＋4＋1＝21.答案21
一定顺序∴an＝n－1.以上n个式子的两端分别相乘，又a1＝1，解(1)依题意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，
即Sn＋1＝2Sn＋3n，由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，
又S1－31＝a－3(a≠3)，故数列{Sn－3n}是首项为a－3，公比为2的等比数列，
因此，所求通项公式为bn＝Sn－3n＝(a－3)2n－1，nN.
2n
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
由于a1也适合此等式，an＝4n－5.
可以看作数列1，－1,1，－1，…的各项都加1，因为当n＝1时，a1＝S1＝1也满足上式，
由题设知，a1＝1.
∴＝，1．(2013·珠海模拟)设数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，则a7的值为()．
A．13B．14C．15D．16
2．在数列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋1，则a5的值为()．
A．30B．31C．32D．33
3．(2012·浙江)设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题错误的是()．A．若d＜0则数列{Sn}有最大项B．若数列{Sn}有最大项则d＜0
C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N，均有Sn＞0
D．若对任意n∈N，均有Sn＞0，则数列{Sn}是递增数列
∴数列{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，公比q＝3的等比数列，当n>1时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1.
1．在数列{xn}中，若x1＝1，xn＋1＝－1，则x2013＝()．
A．－1B．－C.D．1
4．(2012·太原调研)设函数f(x)＝数列{an}满足an＝f(n)，nN，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是________．
(1)定义
按照排列着的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为这个数列的第1项，通常也叫做(2)数列与函数的关系
数列可以看成以正整数集N(或它的有限子集{1,2，…，n})为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大依次取值时，所对应的一列函数值．
反过来，对于函数y＝f(x)，如果f(i)(i＝1,2,3，…)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1)，f(2)，f(3)，…，f(n)，….
(3)数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
而分母组成数列21,22,23,24，…，4．(2013·山东省实验中学测试)将石子摆成如图的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为梯形数，根据图形的构成，此数列的第
2014项与5的差即a2014－5＝()．
A．2020×2012B．2020×2013C．1010×2012D．1010×2013
因此所给数列的通项公式an＝(－1)n＋1＋1.
第3步：
所以Sn＝2an－2n＋1(n≥1)，(8分)
两式相减得an＝2an－2an－1－2，
所以an＋2＝2(an－1＋2)，所以数列{an＋2}是以3为首项，解由Sn＋1＝Sn＋1，由a1＝1，得S2＝a1＋1＝a1＋a2，序号n
若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝
又a1也满足上式，所以an＝n2.
(1)有的考生思维定势，只会使用an＝Sn－Sn－1(n≥2)，未想到Sn＝Tn－Tn－1(n≥2)致使出错；
(2)在使用an＝Sn－Sn－1求an时，不少考生漏掉了n≥2这一前提条件，有的对n＝1的情况也没有验证，应引起注意
所以它的一个通项公式为an＝(－1)n.
8．(13分)(2012·西安质检)若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝.
(1)求证：成等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．
所给数列也可看做2,0,2,0，…周期性变化，因此所给数列的通项公式an＝
可以改写成×9，×99，×999，×9999，…，∴＝.
∴Sn＋1－Sn＝(Sn－Sn－1)，【真题探究】(2012·广东)设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈N.(1)求a1的值；
(2)求数列{an}的通项公式．
第2步：
【规范解答】
【训练3】(1)数列{an}中a1＝1前n和Sn＝求{an}的通项公式．(2)已知a1＝1，an＋1＝3an＋2，求an.
解an＝an－1＋(n≥2)，
an＝3an－1＋4，an＋2＝3(an－1＋2)．
又a1＋2＝3，故数列{an＋2}是首项为3，公比为3的等比数列．an＋2＝3n，即an＝3n－2.
5．(12分)(2013·杭州模拟)设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a(a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，nN.
(1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；(2)若an＋1≥an，nN，求a的取值范围．
Sn-Sn-1
根据数列的前几项求通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：
(1)分式中分子、分母的特征；
(2)相邻项的变化特征；
(3)拆项后的特征：把数列的项分成变化的部分和不变的部分；
(4)各项符号特征．若关系不明显时，应将部分项作适当的变形，统一成相同的形式，让规律凸现出来．
∴an＝(nN)．又a1也满足上式，且奇数项为负，偶数项为正，【例1】?根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)2,0,2,0，…；(2)，，，，…；
(3)－，，－，，…；
(4)7,77,777,7777，….
∴a1＝2a1－1，a1＝1.(2分)
则Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n2－[2Sn－1－(n－1)2]这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，根据数列的前几项求通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：
(1)分式中分子、分母的特征；
(2)相邻项的变化特征；
(3)拆项后的特征：把数列的项分成变化的部分和不变的部分；
(4)各项符号特征．若关系不明显时，应将部分项作适当的变形，统一成相同的形式，让规律凸现出来．
【训练1】根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：
(1)1，－3,5，－7,9，…；
(2)，2，，8，，…；
(3)0.8,0.88,0.888,0.8888，….
所以an＋2＝3×2n－1，当n＝1时也成立；即an＋1＝an，【试一试】数列{an}中，a1＝1，前n项和为Sn，且Sn＋1＝Sn＋1(n∈N)，求数列{an}的通项公式．
∴a2＝，
∴an＋1＋1＝3(an＋1)，＝得到＝，(2)∵an＋1＝3an＋2，【命题研究】已知an与Sn的关系式求通项公式是高考中的常见题型，既可以考选择、填空题，也可以考解答题．就考查形式来看，有些题目很容易看出an与Sn的关系式，但有时可能需要我们去抽象出一个新数列的和与项之间的关系，比如a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n2，此时我们可以把上式看成数列{nan}的前n项和为n2来求解．
＝，【例3】?(1)在数列{an}中，已知a1＝1，当n≥2时，有a＝an－1＋2n－1(n≥2)，求数列的通项公式；
(2)在数列{an}中，已知a1＝1，nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，求数列{an}的通项公式．
∴an＝n2.
令n≥2，构造an＝Sn－Sn－1，用an代换Sn－Sn－1(或用Sn－Sn－1代换an，这要结合题目特点)，由递推关系求通项．
反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范．本题的易错点，易忽略对n＝1和n≥2分两类进行讨论，同时易忽视结论中对二者的合并．
6．(201·杭州调研)已知数列{an}满足a1＝1，且an＝n(an＋1－an)(nN)，则a2＝________；an＝________.
由递推式求通项an的方法：
(1)an＋1－an＝f(n)型，采用叠加法；
(2)＝f(n)型，采用叠乘法；
(3)an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)型，采用待定系数法转化为等比数列解决．
所以an＝.【例1】?根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)2,0,2,0，…；(2)，，，，…；
(3)－，，－，，…；
(4)7,77,777,7777，….
＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，
（2）
证明当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0，得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以－＝2，又＝＝2，故是首项为2，公差为2的等差数列．
变形
∴数列{an}是首项为1，公比为的等比数列．
如果已知数列{an}的(或)，且任何一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即an＝f(an－1)或an＝f(an－1，an－2)，那么这个式子叫做数列{an}的递推公式．
第1步：
当n≥2时，由Sn＝Tn－Tn－1，an＝Sn－Sn－1找出an＋1与an的关系式；
∴＝3，∴an＋1＝2·3n－1，an＝2·3n－1－1.∴＝.
∴＝3，＝，＝，…，上述n－1个等式两边分别相加可得：an－a1＝n2－1，
∵an＝an－1＋2n－1(n≥2)．
7．(12分)在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，求{an}的通项公式．
3．(2013·合肥模拟)已知f(x)为偶函数，f(2＋x)＝f(2－x)，当－2≤x≤0时，f(x)＝2x，若nN，an＝f(n)，则a2013＝________.
第n项
【例2】已知下面数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式：
(1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n＋b.
令n＝1，由Sn＝f(an)求出a1.
写出明确规范的答案．3．(2013·北京朝阳区一模)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1(nN)，则a5＝()．
A．－16B．16C．31D．32
(2)每一项的分子比分母少1，当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2(n－1)＋1
所以an＝2an－1＋2(n≥2)，因为a1＋2＝3≠0，2．定义运算“”，对任意a，bR，满足ab＝ba；a0＝a；(3)(ab)c＝c(ab)＋(ac)＋(cb)．设数列{an}的通项为an＝n0，则数列{an}为()．
A．等差数列B．等比数列C．递增数列D．递减数列
赋值n＝1，可求a1；
由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an＋1＝an＋f(n)或an＋1＝f(n)·an，则可以分别通过叠加、叠乘法求得通项公式，另外，通过迭代法也可以求得上面两类数列的通项公式，如第(2)题．注意：有的问题也可利用构造法，即通过对递推式的等价变形，转化为特殊数列求通项．
观察递推式的特点可知利用累加法或累乘法求通项公式．
S1
验证当n＝1时的结论适合当n≥2时的结论．
如果适合，则统一“合写”；如果不适合，则应分段表示．
(4)所给数列7,77,777,7777，…当n＝1时，由a1＝S1，求a1；当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1消去Sn，得an＋1与an的关系．转化成由递推关系求通项．
1．在数列{an}中，a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N)，则a100等于()．A．1B．－1C．2D．0
10或11
(1)解决与数列周期性有关的题目，关键是找出数列的周期．
(2)求数列最大项的方法：①判断{an}的单调性；②解不等式组求数列最小项依此类推．
所给数列可改写为1＋1，－1＋1,1＋1，－1＋1，…，可以看作×(10－1)×(100－1)×(1000－1)×(10000－1)，…，知当n≥2时，Sn＝Sn－1＋1，
利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)数列的通项an与前n项和Sn的关系是an＝当n＝1时，a1若适合Sn－Sn－1，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项an；当n＝1时，a1若不适合Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示．
【训练2】已知各项均为正数的数列{an}的前n项和满足Sn＞1，且6Sn＝(an＋1)(an＋2)，n∈N.求{an}的通项公式．
解由a1＝S1＝(a1＋1)(a1＋2)，解得a1＝1或a1＝2，由已知a1＝S1＞1，因此a1＝2.又由an＋1＝Sn＋1－Sn
＝(an＋1＋1)(an＋1＋2)－(an＋1)(an＋2)，
得an＋1－an－3＝0
或an＋1＝－an.
因为an＞0，故an＋1＝－an不成立，舍去．
因此an＋1－an－3＝0.
即an＋1－an＝3，从而{an}是公差为3，首项为2的等差数列，故{an}的通项为an＝3n－1.∴an＝（2）解由(1)可得＝2n，Sn＝，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝＝－.
当n＝1时，a1＝不适合上式．故an＝
解析法一由a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N)，可得该数列为1,5,4，－1，－5，－4,1,5,4，….
由此可得此数列周期为6，故a100＝－1.
法二an＋2＝an＋1－an，an＋3＝an＋2－an＋1，
两式相加可得an＋3＝－an，an＋6＝an，
∴a100＝a16×6＋4＝a4＝－1.答案B
解析∵Sn＋Sn＋1＝an＋1，∴当n≥2时，Sn－1＋Sn＝an.
两式相减得an＋an＋1＝an＋1－an，∴an＝0(n≥2)．
当n＝1时，a1＋(a1＋a2)＝a2，∴a1＝0，
∴an＝0(n∈N)，故选C.
答案C
2．已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＋Sn＋1＝an＋1(nN)，则此数列是()．
A．递增数列B．递减数列C．常数列D．摆动数列
解析当n＝1时，S1＝a1＝2a1－1，a1＝1，
又Sn－1＝2an－1－1(n≥2)，Sn－Sn－1＝an＝2(an－an－1)．
＝2.an＝1×2n－1，a5＝24＝16.
答案B
解析结合图形可知，该数列的第n项an＝2＋3＋4＋…＋(n＋2)．所以a2014－5＝4＋5＋…＋2016＝2013×1010.故选D.答案D
解析易知a1＝20>0，显然要想使和最大，则应把所有的非负项求和即可，这样只需求数列{an}的最末一个非负项．令an≥0，则－n2＋10n＋11≥0，－1≤n≤11，可见，当n＝11时，a11＝0，故a10是最后一个正项，a11＝0，故前10或11项和最大．
答案10或11
解析由an＝n(an＋1－an)，可得＝，
则an＝···…··a1＝×××…××1＝n，
a2＝2，an＝n.答案2n
4．下列关于星星的图案个数构成一个数列,则该数列的一个通项公式是()．
A．an＝n2－n＋1B．an＝
C．an＝D．an＝
5．(2013·苏州模拟)函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴交点的横坐标为ak＋1，其中kN.若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．
解析将x1＝1代入xn＋1＝－1，得x2＝－，再将x2代入xn＋1＝－1，得x3＝1，所以数列{xn}的周期为2，故x2013＝x1＝1.答案D
解析由题意知an＝0＝0]n·＋(n0)＋)＝1＋n＋，显然数列{an}既不是等差数列也不是等比数列；又函数y＝x＋在[1，＋∞)上为增函数，所以数列{an}为递增数列．答案C
5．(12分)(2013·杭州模拟)设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a(a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，nN.
(1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；(2)若an＋1≥an，nN，求a的取值范围．
(2)由(1)知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，nN，于是，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，
当n＝1时，a1＝a不适合上式，故an＝
an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n－2＝2n－2，
当n≥2时，an＋1≥an12·n－2＋a－3≥0a≥－9.又a2＝a1＋3>a1.
综上，所求的a的取值范围是[－9，＋∞)．
6．(13分)(2012·山东)在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝84，a9＝73.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)对任意mN，将数列{an}中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为bm，求数列{bm}的前m项和Sm.
(2)对mN，若9m＜an＜92m，
则9m＋8＜9n＜92m＋8，因此9m－1＋1≤n≤92m－1，
故得bm＝92m－1－9m－1.
于是Sm＝b1＋b2＋b3＋…＋bm
＝(9＋93＋…＋92m－1)－(1＋9＋…＋9m－1)
＝－＝.
解析f(x)为偶函数，f(x)＝f(－x)，
f(x＋2)＝f(2－x)＝f(x－2)．
故f(x)周期为4，
a2013＝f(2013)＝f(1)＝f(－1)＝2－1＝.答案
解析数列{an}是递增数列，又an＝f(n)(nN)，
?2
当b＝－1时，a1适合此等式．当b≠－1时，a1不适合此等式．
∴当b＝－1时，an＝2·3n－1；
当b≠－1时，an＝
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