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| 渐开线方程推导 |
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渐开线方程推导
Propertyoftheinvolute：
性质1：渐开线的形状仅取决于基圆；
推论1：齿轮的渐开线形状仅取决于m、z、a，即模数、齿数、压力角；
性质2：基圆内无渐开线；
性质3：发生线沿基圆滚过的长度，等于基圆上被滚过的长度，即NANK???；
性质4：渐开线上任一点的法线恒与基圆相切；
Illumination：
图1渐开线方程推导
图中，
青色带箭头的线――构成正交直角坐标系，O点为坐标原点；
绿色的圆――基圆、即渐开线发生圆，KN为渐开线发生线，基圆半径为rb；
蓝色曲线KBA?――渐开线，A为始端，B为终端，K为渐开线上任一动点；
蓝色直线OK――连接基圆圆心O与动点K的矢径，KO?；
蓝色直线KV――动点K的速度矢量VK?，垂直于矢径KO?；
绿色直线KN――动点K的法线，根据渐开线的性质4，设法线与基圆相切于N，连接NO；
法线方向即为两齿轮啮合传动时、力矢的方向KF；
紫色直线NQ――切点N向X轴作垂线，垂足为Q；
紫色直线KP――动点K向直线NQ作垂线，垂足为P；
Definition：
KOA?称为展角，记为k?；
NOA?称为滚动角，记为k?；
速度矢KV与力矢KF的夹角称为压力角，记为k?，即图1中VKN?；
Because
?????90OKNVKN
And
?????90OKNNOK
Thatis
kVKNNOK?????
滚动角＝展角+压力角；
Evolutioninpolarcoordinates：
在极坐标系中，渐开线方程可写为：
)cos(/kbkrKOr????
kkk
b
k
b
kkkr
NK
r
NA???????????????)tan(??
即，
)cos(/kbkrr??
kkk?????)tan(
EvolutioninCartesiancoordinates：
在直角坐标系中，渐开线方程可写为（关键是两条紫色的辅助线，注意：
kONQKNP???????90）：
)sin()cos(
)sin()cos(
)sin()cos(
kkbkb
kk
kk
k
rr
NANO
KNNO
KPQOx
???
??
??
??
??
??
??
??
??
??
)cos()sin(
)cos()sin(
)cos()sin(
kkbkb
kk
kk
k
rr
NANO
KNNO
PNQNy
???
??
??
??
??
??
??
??
??
??
即，
)sin()cos(kkbkbkrrx?????)cos()sin(kkbkbkrry?????
Supplement：
由以上推导可得出展角、滚动角、压力角三者之间的关系：
)tan(
)tan(
kk
kkk
??
???
?
??；
kkk
kkk
???
???
??
??
)tan(；
即，
展角＝压力角的正切－压力角；
滚动角＝压力角的正切；
滚动角＝压力角+展角；
压力角的正切＝压力角+展角；
注1：本文角度单位为弧度制；
注2：图1中的角a，b，c分别对应正文中的kkk???,,，即压力角，展角，滚动角。
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