Gothedistance
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别业岁月悠长，有暗香盈袖。冗长了日与夜，空掷了乐与悲。遂
撰文三两卷，遣尽浮光，以飨后学。谨祝诸位：学业有成，前程似锦。
编者：李健，匠人，喜于斗室伏案两三卷，愁与身在红尘浪荡无
涯。写过一些铅字附庸了世态，跑过几个码头了断了青春。如今归去
来兮，只为了挥洒一方三尺讲台。
目录
第五章平面向量...................................................................2
第1讲平面向量的概念及线性运算.................................2
第2讲平面向量基本定理及坐标表示错误!未定义书签。
第3讲平面向量数量积及应用.........错误!未定义书签。
第4讲数系的扩充及复数的引入.....错误!未定义书签。
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第五章平面向量
第1讲平面向量的概念及线性运算
一．知识梳理
1．向量的有关概念
（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）．平面向
量是自由向量．
（2）零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
（3）单位向量：长度为1个单位的向量．与非零向量a同方向的单位向量为
||aa
．
（4）相等向量：长度相等且方向相同的向量．
（5）相反向量：长度相同且方向相反的向量．
（6）平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
2．向量的线性运算
向量
运算
定义法则（或几何意义）运算律
加法
求两个向量
和的运算
交换律：
abba???
结合律：
()()abcabc?????
减法
求a与b的
相反向量
b?的和运
算
()abab????
数乘求实数?||||||aa???，当0??时，()aa?????；
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与向量a的
积的运算
a?与a的方向相同；当
0??时，a?与a的方向相
反；当0??时，0a??
()aaa???????；
()abab??????
3．两个向量共线定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数?，使得ba??．
二．要点整合
1．辨明两个易误点
（1）作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点．
（2）在共线向量的重要条件中易忽视“0a?”，否则?可能不存在，也可能有无数个．
2．三点共线的等价关系
,,APB三点共线(0)(1)APABOPtOAtOB?????????（O为平面内异于
,,APB的任意一点，tR?）OPxOAyOB???（1xy??）．
三．典例精析
1．平面向量的有关概念
对向量的概念应注意以下几条
（1）向量的两个特征：既有大小又有方向，向量可以用有向线段和字母
表示，也可以用坐标表示．
（2）相等向量不仅模相等，而且方向也相同，所以相等向量一定平行，
而平行向量却未必是相等向量．
（3）向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是
非负实数，故可以比较大小．
【例题1】
（1）①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a与向量b平行，则a与b方向相
同或相反；③向量AB与向量CD共线，则,,,ABCD四点共线；④如果,abbc∥∥，那么
ac∥．以上命题中正确的个数为（）
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.1A.2B.3C.0D
（2）（2014河南开封）下列命题中，正确的是（）
.A若||||ab?，则ab?或ab??
.B若0ab?，则0a?或0b?
.C若0ka?，则0k?或0a?
.D若,ab都是非零向量，则||||abab???
【变式1】
（1）设0a为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则0||aaa?；②若a与0a平行，则
0||aaa?；③若a与0a平行且||1a?，则0aa?．上述命题中，假命题的个数是（）
.0A.1B.2C.3D
（2）给出下列命题：①||||ab?，则ab?；②若,,,ABCD是不共线的四点，则ABDC?
是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若abc??，则ac?；④ab?的充要条件
是||||ab?且ab∥．以上命题中正确的是．
2．平面向量的线性运算
用几个基本向量表示某个向量的技巧
（1）观察各个向量的位置；
（2）寻找相应的三角形或多边形；
（3）运用法则找关系；
（4）化简结果．
【例题2】
（1）（2014课标Ⅰ）设,,DEF分别为ABC的三边,,BCCAAB的中点，则EBFC??
（）
.ABC1.2BAD.CAD1.2DBC
（2）（2013四川）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，
ABADOCAO????，则?（）
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.1A.2B.4C.6D
（3）（2015福建福州）在ABC中，2,,,ADDCBAaBDbBCc????，则下列等式成
立的是（）
.2Acba??.2Bcab??31.22Ccab??31.22Dcba??
（4）（2014北京东城）在直角梯形ABCD中，90,30,23ABAB?????，2BC?，
点E在线段CD上，若AEADAB???，则?的取值范围是（）
.[0,1]A.[0,3]B1.[0,]2C1.[,2]2D
（5）若点O是ABC所在平面内一点，且满足|||2|OBOCOBOCOA????，则ABC
的形状为．
【变式2】
（1）（2014福建）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在
平面内任意一点，则OAOBOCOD????（）
.AOM.2BOM.3COM.4DOM
（2）在ABC中，已知D是AB边上一点，若12,3ADDBCDCACB????，则??（）
2.3A1.3B1.3C?2.3D?
（3）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点,OE是线段OD中点，AE延长
线与CD交于点F，若,ACaBDb??，则AF?（）
11.42Aab?21.33Bab?11.24Cab?12.33Dab?
（4）P是ABC内一点，1()3APABAC??，则ABC面积与ABP面积之比是（）
.2A.3B3.2C.6D
（5）（2013辽宁五校）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，
216,||||BCABACABAC????，则||AM?（）
.2A.4B.6C.8D
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（6）（2014山东烟台）如图，O为线段02013AA外一点，若01232013,,,,,AAAAA中任意相
邻两点的距离相等，02013,OAaOAb??，用,ab表示0122013OAOAOAOA????，其
结果为（）
.1006()Aab?.1007()Bab?.2012()Cab?.2014()Dab?
3．平面向量共线定量的应用
（1）证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点
共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．
（2）向量,ab共线是指存在不全为零的实数12,??，使120ab????成立，
若120ab????，当且仅当120????时成立，否则向量,ab不共线．
【例题3】
（1）已知非零向量12,ee不共线．
（Ⅰ）如果121212,28,3()ABeeBCeeCDee??????，求证：,,ABD三点共线；
（Ⅱ）欲使12kee?和12eke?共线，试确定实数k的值．
（2）（2013山东济南）已知,,ABC是平面内不共线的三点，O是ABC的重心，动点P，
满足111(2)322OPOAOBOC???，则点P一定为ABC的（）
.AAB边中线的中点.BAB边中线的三等分点（非重心）
.C重心.DAB边的中点
（3）如图，已知G是ABO的重心．
（Ⅰ）求GAGBGO??；
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（Ⅱ）若PO过ABO的重心G，且,,OAaOBbOQnb???，求证：113mn??．
【变式3】
（1）（2012四川）设,ab都是非零向量，下列四个条件中，使
||||ab?
成立的充分条件是
（）
.Aab??.Bab∥.2Cab?.Dab∥且||||ab?
（2）已知向量,,abc中任意两个都不共线，并且ab?与c共线，bc?与a共线，那么
abc??等于（）
.Aa.Bb.Cc.0D
（3）已知向量121223,23aeebee????，其中12,ee不共线，向量12ce?29e?．若向量
dab????与c共线，则实数,??的关系为．
（4）如图，在ABC中，11,,42OCOAODOBAD??与BC相交于点M，设
,OAaOBb??，试用,ab表示向量OM．
四．针对训练
.A组基础训练
1．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②两个向量不能比较大
小，但模可以比较大小；③0a??（?为实数），则?必为零；④,??为实数，若ab???，
则a与b共线．其中错误的命题个数是（）
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.1A.2B.3C.4D
2．（2015福建六校）已知点,,OAB不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且
22OPOABA??，则（）
.A点P在线段AB上.B点P在线段AB的反向延长线上
.C点P在线段AB的延长线上.D点P不在直线AB上
3．如图，已知,,3ABaACbBDDC???，用,ab表示AD，则AD?（）
3.4Aab?13.44Bab?11.44Cab?31.44Dab?
4．若,,,ABCD是平面内任意四点，给出下列式子：①ABCDBCDA???；②
ACBDBCAD???；③ACBDDCAB???．其中正确的是（）
.0A.1B.2C.3D
5．如图，在ABC中，60,AA???的平分线交BC于点D，若4AB?，且
1()4ADACABR?????，则AD的长为（）
.23A.33B.43C.53D
6．已知点O为ABC外接圆的圆心，且0OAOBOC???，则ABC的内角A等于（）
.30A.60B.90C.120D
7．已知O为平行四边形ABCD所在平面内一点，且向量,,,OAOBOCOD满足等式
OAOCOBOD???，则四边形ABCD的形状为．
8．在ABCD中，,,3,ABaADbANNCM???为BC中点，则MN?
（用,ab表示）．
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9．（2013江苏）设,DE分别是ABC的边,ABBC上的点，12ADAB?，23BEBC?，
若12DEABAC????（12,??为实数），则12???的值为．
10．在ABC中，已知D是AB边上一点，若12,3ADDBCDCACB????，则
??．
11．在ABC中，,DE分别是,BCAC边上的中点，G为BE上一点，且2GBGE?，设
,ABaACb??，试用,ab表示,ADAG．
12．设两个非零向量1e和2e不共线．
（Ⅰ）如果121212,32,82ABeeBCeeCDee???????，求证：,,ACD三点共线；
（Ⅱ）如果121212,23,2ABeeBCeeCDeke??????，且,,ACD三点共线，求k的值．
.B组能力提升
1．设O在ABC的内部，D为AB中点，且20OAOBOC???，则ABC的面积与
AOC的面积之比为（）
.3A.4B.5C.6D
2．已知ABC和点M满足0MAMBMC???，若存在实数m使得ABACmAM??成
立，则m等于（）
.2A.3B.4C.5D
3．O是平面上一定点，,,ABC是平面上不共线的三点，动点P满足：OP?OA?
,[0,)||||ABACABAC????????????，则P的轨迹一定通过ABC的（）
.A外心.B内心.C重心.D垂心
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4．（2013河北保定）如图，已知点G是ABC的重心，过G作直线与,ABAC两边分别交
于,MN两点，且,AMxABANyAC??，则xy
xy?
的值为（）
.3A1.3B.2C1.2D
5．已知||1,||3,0OAOBOAOB???，点C在AOB?内，且30AOC??，
(,)OCmOAnOBmnR????，则mn?．
6．如图，在ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线,ABAC于不同的两
点,MN，若,ABmAMACnAN??，则mn??．
7．如图，在ABC中，M是BC中点，点N在边AC上，且2,ANNCAM?与BN相
交于点P，则:APPM?．
8．已知,,OAB是不共线的三点，且(,)OPmOAnOBmnR???．
（Ⅰ）若1mn??，求证：,,APB三点共线；
（Ⅱ）若,,APB三点共线，求证：1mn??．
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