第二十讲图形最值1．平面上有四个点，任意三点都不在一条直线上，以这四个点为端点连接六条线段，子啊所组成的图形中，最少可以组成
个三角形。解：最少是4个三角形，如图所示。42．牧羊人用15段每段2米的篱笆，一面靠墙围成
一个长方形羊圈，则羊圈的最大面积是平方米。提示：两个数的和一定(即a+b为定值)，则它们的差越
小，所得的乘积(即a×b)越大。设长方形的长为a，宽为b，112解：从最值考虑，设长方形的长为a，宽为b则a
+2b=30。即a和2b都取15时面积最大，而2b是一个偶数，则可以取a=14，2b=16，
即最大值为2ab=14×16=14×2×8，因此取a=14，b=8时，长方形的面积最大为112平方米。
3．小虎在19×19的围棋盘的格点上摆棋子，先摆成一个长方形的实心点阵，然后再加上45枚棋子，就正好摆成一边不变的较大的长方形实心
点阵，那么小虎最多用了枚棋子。解：45=3×3×5，它小于19的最大约数是15，所以可以按1
5×3放入。原来的长方形就可以是15×16的形状，于是最多用了15×19=285枚棋子。2854．把一块长
90厘米、宽42厘米的长方形纸板恰无剩余地剪成边长都是整数厘米、面积都相等的小正方形纸片，最少能剪出块；这种
剪法剪成的所有正方形纸片的周长之和是厘米。提示：把长和宽都分成相同长度的线段，可以取9
0和42的最大公约数为边长。最大公约数是6.1052520解：由于小正方形的面积都相等，所以可以取90
与42的最大公约数，它们的最大公约数是6，所以小正方形的边长是6，90÷6=15，42÷7=7
，所以一共有15×7=105块小正方形。小正方形的周长是24，所有正方形的周长之和是24×10
5=2520厘米。5．乐乐把一些小正方形和等腰直角三角形不重叠地放在边长是7厘米的大正方形盒子的底层，如果小正方形的边长都是2厘
米，等腰直角三角形的斜边长都是3厘米，那么两种图形他最多可以放进对。提示：一个小正方形的面积是4，四个小三角形
的面积是8，所以一对图形的面积和是6.25.7解：小正方形的面积是2×2=4平方厘米，而四个斜边长为3厘米的等腰
直角三角形合成一个边长为3厘米的正方形，一个三角形的面积是3×3÷4=2.25平方厘米，一个小正方形和一个三角
形的面积和是4+2.25=6.25平方厘米。大正方形的边长为7厘米，面积是7×7=49平方厘米，
49÷6.25=7.84，所以放不下8对，理论上最多放7对图形。如下图构造可以放入8个三角形和7个小正
方形。6．如图所示，某小区花园的道路由一个长480米、宽200米的长方形，一个边长为260米的菱形和十字交叉的两条道路组成。一天
，王大爷从A处进入花园，走遍花园的所有道路并从A处离开，如果他每分钟走60米，那么他从进入花园到走出花园最少要用
分钟。提示：用一笔画的观点看，此图中有四个奇数点，不能一笔画出，需要加线。60解：根据一笔画的原理，图中有4个奇
数点，所以必须重复走某些道路，使得图形中没有奇数点，如下图构造两条线，这样就可以完成一笔画了，所以道
路总长是(480+200)×3+260×6=3600（米）。所用的时间是3600÷60=60（分钟）。7．有
100个棱长为1厘米的正方体木块，表面均为白色，还有25个棱长为1厘米的正方体木块，表面均为蓝色，将这125个小正方体木块粘在一起
，形成一个大正方体，大正方体的表面白色的面积至少是平方厘米。提示：在顶点处的方块露出三个面，共有8个
顶点。在侧棱处的方块露出2个面，92解：由题意知道应该使得蓝色正方体露在外面的部分尽可能大，当蓝色正方体在
顶点时，有3个面露在外面，8个顶点露出3×8=24个（面），当蓝色正方体在棱上时，有2个面露在外面
25–8=17，17×2=34个（面），露在外面的蓝色表面有24+34=58个面，面积是58平方厘米。
而大正方体的棱长为5，表面积是6×5×5=150（立方厘米），所以表面为白色的面积最少是150–
58=92（平方厘米）。8．如图1，再“8×8”的方格中放棋子，每格至多放一枚棋子，若要求8行、8列、30条斜线（如图2）上的棋
子数都是偶数，那么“8×8”的方格中最多可以放枚棋子。图2解：观察图1，图2，发现其中标有1~8
的斜线上各有奇数个格子，每条斜线上至少有一个格子不能放棋子。又因为图1、图2中标有1~8的斜线的格子都不相同
，所以这16条斜线上每条至少有1个格子不能放棋子，一共至少少放16枚棋子。即所放棋子数不多于8×8–16=48（枚）。
9．用7个长4厘米、宽3厘米的长方形拼成一个大长方形，再所有可能的拼法中，大长方形周长的最小值是厘米。
提示：可以有三种方案。方案一方案二方案三78解：用7个小长方形拼成一个大长方形，只有三种方式。要使周长最小，即
在拼接的过程中，使内部重合的线最长。方案（1）内部重合的线有6条长度为4的线段，即4×6=24；方案（2）内部重
合的线有6条长度为3的线段，即3×6=18；方案（3）内部有6条长度为4的线段2条长度为3的线段，总和是30.所
以选方案（3），此时大长方形的周长是7×2+12×2=38。10．如图所示，6段绳子互相连接，现在要在绳子的某处点火，
如果火每分钟燃烧的距离是1，那么至少需要分钟才能烧光这些绳子。解：折线中最长的是8+4+6=18（厘米）
，所以选它们的中点处开始点火，需要烧18÷2=9（分钟）。提示：把长方形的长和宽标上字母，则a+c=5，a+
d=6，b+c=7。求出b+d=811．如图所示，一个长方形被分成4个小长方形，其中长方形A、B、C的周长分别是10厘米
、12厘米、14厘米，那么长方形D的面积最大是平方厘米。adcb16解：如图，让四边的长分别
为a、b、c、d，则有a+c=5，a+d=6，b+c=7，后两个式子相加得a+b+c+d=13，
再减去第一个式子，得b+d=8，当b=d时，即b=4，d=4时，长方形D的面积b×d取得最大值为
16平方厘米。12．如图所示，一个长方形纸板每个角都被切掉了一个小长方形，如果被切掉的小长方形的8对对边的长度分别是一个1，四个
2，两个3和一个4，那么纸板剩下部分面积的最大值是。提示：要求剩下的面积最大就是切掉的部分面积最小
，最小面积是1×4+2×3+2×3+2×2=20，112解：要求剩下的面积最大，就是切掉的部
分面积最小，最小面积是1×4+2×3+2×3+2×2=20，所以剩下部分面积的最大值是
12×11–20=112。13．下图的部件A、B、C、D、E都是由4个1×1的小正方形组成，它们的单价依次为5元、4元、3元、2
元、1元，现在请你用4个部件（至少用两种不同的部件）拼成一个4×4的大正方形，并使得购买部件的花费尽可能少，至少花
元。请将你的拼凑方案画在图中（部件可以旋转或翻转）。解：由于E最便宜，所以尽量用E，最多用2个，当用2个E时，需要再
用2个C可以拼得（如图1），此时花费是2×1+2×3=8（元）。如果用1个E，再用2个D和一个C也可以得到（如图2），
此时的花费是1+2×2+3=8（元）。两种方法花费相同。图1图214．如图所示，一个长方形被分成
A、B、C三块，其中B和C都是长方形，A的八条边的边长分别是1、2、3、4、5、6、7、8厘米，那么B和C的面积和最多是
平方厘米。（本图为示意图，不代表真实长度）解：为叙述方便，把A的各边线段标上字母。abcdefg
h显然b=d+f+h，a=g+c–e，8厘米的线只可能是a或b，（1）当a=8厘米时，b可能是7厘米或6厘
米，如图2所示，a=8厘米，b=7厘米，d+f+h=7，g+c+e=(1+2+3+…+8)–8–7–7=14，
由g+c–e=8，得e=3，g+c=11，要使B和C面积最大，g=6，c=5，f=4，d=2，h=1
，此时B和C的面积和是(6–3)×(7–1)+3×4=30；abcdefgh图28736542
1（2）同理，如图3所示，当a=8厘米，b=6厘米时，可得g=7，c=5，e=4，f=3，d=2，h=1，此时B和C的
面积和是(6–1)×(7–4)+3×4=27（平方厘米）；abcdefgh图387365421（3）如图4所示，当b=8厘米时，a只能是7厘米，这种情况下，B和C面积最大时，c=4，d=2，e=3，f=5，g=6，h=1，B和C的面积和是(8–1)×(6–3)+3×5=36(平方厘米)。综上所述，B和C的最大面积是36平方厘米。abcdefgh图487365421下课了！ |
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