知能迁移4(2011·桂林)已知二次函数y＝－x2＋x的图象如图．(1)求它的对称轴与x轴交点D的坐标；(
2)将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x轴、y轴的交点分别为A、B、C三点，若∠ACB＝90°，求此时抛物线的解析
式；(3)设(2)中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作⊙D，试判断直线CM与⊙D的位置关系，并说明理由．
(1)由y＝－x2＋x得x＝－＝3，∴D(3,0)．解(2)如图1,设平移后的抛物线的解析式
为y＝－x2＋x＋k，则C(0,k)，OC＝k.令y＝0，即－x2＋x＋k＝0，
得x1＝3＋，x2＝3－，∴A(3－
,0)，B(3＋,0)．∴AB2＝[(3＋－(3－
)]2＝16k＋36，AC2＋BC2＝[k2＋(3－)2]＋[k2＋(3＋
)2]＝2k2＋8k＋36.∵AC2＋BC2＝AB2，即2k2＋8k＋36＝
16k＋36，得k1＝4，k2＝0(舍去)．∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋4.图1(3)如图2,
由抛物线的解析式y＝－x2＋x＋4可得A(－2,0)，B(8,0)，C(0,4)，M(3，)．过C
、M作直线，连结CD，过M作MH垂直y轴于H，则MH＝3.CM2＝MH2＋CH2＝32＋(－4)2＝
.在Rt△COD中，CD＝＝5＝AD.∵点C在⊙D上，∴DM2＝
()2＝，∴CD2＋CM2＝52＋＝，∴DM2＝CM2＋CD2
.∴△CDM是直角三角形，∴CD⊥CM.∴直线CM与⊙D相切．图26．二次函数错例分析考题再现1．用
配方法求二次函数y＝x2－x＋图象的顶点坐标及对称轴．2．已知函数y＝3x2－4x＋1，当0≤x≤4时，求
y的变化范围．学生作答1．解：y＝x2－x＋＝(x2－4x＋3)＝(x－2)2－1
∴该函数图象的顶点坐标是(2,－1)，对称轴是直线x＝2.2．解：当x＝0时，y＝3x2－4x＋1＝3×02－4×0＋
1＝1；当x＝4时，y＝3×42－4×4＋1＝33.∴当0≤x≤4时，y的变化范围是1≤y≤33.易错警示
规范解答1．解：y＝x2－x＋＝(x2－4x＋3)＝[
(x－2)2－1]＝(x－2)2－∴该函数图象的顶点坐标是(2,－)，对称轴是直线x
＝2.2．解:∵y＝3x2－4x＋1，∴抛物线的对称轴是直线x＝－＝.
∴当x＝，y最小值＝－.当x＝0时，y＝1；当x＝4时，y＝33.
于是当0≤x≤时，－≤y≤1，当≤x≤4时，－≤y≤33，
综上，当0≤x≤4时，－≤y≤33.老师忠告1．配方法是重要的数学方法，必须熟练掌握
二次函数y＝ax2＋bx＋c可配方写成y＝a(x＋m)2＋k，后者图象的顶点坐标是(－m,k)，对称轴是直线x＝－m，须牢记．
2．求二次函数值的范围，理解二次函数y＝ax2＋bx＋c有最大值或最小值的条件．当a>0时，函数图象开口向上，当
x＝－时，函数有最小值y＝；当a<0时，函数图象开口向下，当x＝－时，函数有最大值
y＝.当涉及到实际问题时，一定要符合实际问题的意义和条件要求.方法与技巧1.对于二次函
数的解析式，要根据不同条件选用不同形式的解析式：(1)已知图象上三点，选一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
(2)已知顶点或对称轴，选顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)；(3)已知图象与x轴的两个交点(x1,0)，(x2
,0)，选交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．2.字母a、b、c的符号——a的符号决定抛物线的开口方向；
c的符号决定图象与y轴的交点的纵坐标；a、b的符号共同决定对称轴，当a、b同号时，对称轴在y轴的左侧，当a、b异号时，对称轴在y轴
的右侧，当b＝0时，对称轴是y轴．思想方法感悟提高3.二次函数与一元二次方程的关系：二次函数y＝ax2＋
bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点横坐标就是y＝0时自变量x的取值，即是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根．
4.抛物线的顶点常见的几种变动方式：(1)开口反向(或旋转180°)，此时顶点坐标不变，只是a的符号相反；
(2)两抛物线关于x轴对称，此时顶点关于x轴对称，a的符号相反；(3)两抛物线关于y轴对称，此时顶点关于y轴对称，a的符
号不变．失误与防范1．在考查二次函数概念的有关问题上，常常忽略a≠0这个条件，对二次函数几种不同形式不能正确运用．在解决二次函
数有关增减性、最值等问题时，忽略二次项系数的符号就造成了错误，比如：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在对称轴左侧y随x的增大
而减小；在对称轴右侧y随x的增大而增大．2．利用二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的位置与a、b、c的取值关系，解决a、b、c的关
系式的符号问题．3．在解决与二次函数有关的实际问题时，常犯以下错误：一是不能建立正确的函数关系，缺乏建模思想；二是对自变量取值范
围的忽略．完成考点跟踪训练14第14课二次函数及其图象1．定义：形如函数
叫做二次函数．2．利用配方，可以把二次函数y＝ax2＋bc＋c表示成
.要点梳理y＝ax2＋bx＋c(其中
a、b、c是常数，且a≠0)y＝a2＋3．图象与性质：二次函数的图象是抛物线，当
时抛物线的开口，这时当时，y的值随x的增大
而；当时，y的值随x的增大而；当x＝
时，y有.当时抛物线开口
，这时当时，y的值随x的增大而；当
时，y的值随x的增大而；当x＝时，y
有.抛物线的对称轴是直线x＝
，抛物线的顶点是.a＞0向上x≤－减小x
≥－增大－最小值a<0向下x≤－增大x≥－减小－最大值－4．图象的平移：1．正确理解并掌握二次函数的概
念以及解析式的三种形式的转化根据定义可知，二次函数需满足两个条件：①a≠0，②x的最高次数为2.一般式y＝ax2＋bx
＋c(a≠0)．如果抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点(x1,0)，(x2,0)，则解析式可以写成交
点式y＝a(x－x1)(x－x2).将解析式y＝ax2＋bx＋c通过配方法可化成顶点式y＝a(x＋h)2＋k；将
顶点式、交点式展开，合并同类项后，即可化成一般式y＝ax2＋bx＋c.[难点正本疑点清源]在已知抛物线上三个点的坐
标时，我们通常设一般式，然后将三个点的坐标分别代入关系式中，解方程组，求出各系数，以确定函数关系式；在已知拋物线顶点坐标时，我们通
常设顶点式，只要再找到一个条件，即可求此函数关系式；在已知抛物线与x轴两个交点坐标时，我们通常设交点式，再寻找一个条件即可求函数关
系式．2．正确认识二次函数与二次方程间的关系已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为k，求自变量x的值，就是解一元二
次方程ax2＋bx＋c＝k；反过来，解一元二次方程ax2＋bx＋c＝k，就是把二次函数y＝ax2＋bx＋c－k的函数值看做0，求自
变量x的值．学习这部分知识，可以类比一次函数与一元一次方程的关系．抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点(x1,0)
，(x2,0)，同样满足、x1＋x2＝－，x1x2＝；两交点间的距离︱x1－x2︱＝
.1．(2011·北京)抛物线y＝x2－6x＋5的顶点坐标为()A．(3,－4)
B.(3,4)C．(－3,－4)D．(－3,4)解析：y＝x2－6x
＋5＝(x2－6x＋9)－4＝(x－3)2－4，则抛物线顶点坐标为(3,－4)．基础自测A2．(2011·
乐山)将抛物线y＝－x2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是()A．y＝－(x＋2)2
B．y＝－x2＋2C．y＝－(x－2)2D．y＝－x2－2
解析：抛物线y＝－x2向左平移2个单位，得y＝－(x＋2)2.A3．(2011·重庆)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0
)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是()A．a>0B.b
＜0C．c＜0D．a＋b＋c>0解析：当x＝1时，对应的点(1,y)在
第一象限内，y＝a＋b＋c>0.D4．(2011·威海)二次函数y＝x2－2x－3的图象如图所示．当y＜0时
，自变量x的取值范围是()A．－1＜x＜3B．x＜－1C．x＞3
D．x＜－3或x＞3解析：如图，可知x＝－1或3时，y＝0；当－1(2011·孝感)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为，下列结论：①ac＜
0；②a＋b＝0；③4ac－b2＝4a；④a＋b＋c＜0.其中正确的个数是()A.1
B.2C．3D．4(,1)
C解析：根据图象可知：①a＜0，c＞0，∴ac＜0，正确；②∵顶点坐标横坐标等于，∴－＝
，∴a＋b＝0正确；③∵顶点坐标纵坐标为1，∴＝1，∴4ac－b2＝4a，正确；
④当x＝1时，y＝a＋b＋c＞0，错误．正确的有3个．故选C.题型一待定系数法确定二次函数的解析式
【例1】已知一抛物线与x轴的交点是A(－2,0)、B(1,0)，且经过C(2,8).(1)求
该抛物线的解析式；(2)求该抛物线的顶点坐标．解：(1)设y＝a(x＋2)(x－1)，又抛物线过C(2,8)
，∴8＝a(2＋2)(2－1)，a＝2.∴y＝2(x＋2)(x－1)＝2(x2＋x－2)＝2x
2＋2x－4.(2)∵x＝－＝－，∴y＝2×2＋2×
－4＝－1－4＝－4，∴顶点坐标为.题
型分类深度剖析12探究提高根据不同条件，选择不同设法．(1)若已知图象上的三个点，则设所求的二次
函数为一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，列方程组，求出a、b、c的值．(2)若已知图象的顶点坐标或对
称轴方程，函数最值，则设所求二次函数为顶点式y＝a(x＋m)2＋k(a≠0)，将已知条件代入，求出待定系数．(3)若已
知抛物线与x轴的交点，则设抛物线的解析式为交点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，再将另一条件代入，可求出a值．知能迁移
1已知二次函数y＝－x2＋bx＋c图象如图所示，它与x轴交点坐标为(－1,0)，与y轴的交点坐标为(0,3)．(1)求
出b、c的值，并写出此二次函数的解析式；(2)根据图象，写出函数的值y为正数时，自变量x的取值范围．解：(1
)由题意，得解之得∴y＝－x2＋2x＋3.
(2)令y＝0，得－x2＋2x＋3＝0，解之得x1＝－1，x2＝3.当y>0时
，x的取值范围是－1A(1,1)在二次函数y＝x2－2ax＋b的图象上．(1)用含a的代数式表示b；(2)如果该二次函数的图象与x
轴只有一个交点，求这个二次函数的图象的顶点坐标．解：(1)∵点A(1,1)在抛物线y＝x2－2ax＋b上，
∴1＝1－2a＋b，b＝2a.(2)∵抛物线y＝x2－2ax＋2a与x轴只有一个交点，∴
△＝(－2a)2－4×1×2a＝0，∴4a2－8a＝0,4a(a－2)＝0，∵a≠0，∴a－2
＝0，a＝2.∴y＝x2－4x＋4＝(x－2)2，顶点坐标为(2,0)．探究提高某点在函数图象上，
该点的横坐标、纵坐标满足函数解析式．函数y＝x2－2ax＋b的图象与x轴只有一个公共点，可知关于x的方程x2－2ax＋b＝0有两
个相等的实数根，根据此两个条件可列出关于a、b的二元一次方程，解之即得函数的解析式．知能迁移2(1)抛物线y＝a(x＋1)(x
－3)(a≠0)的对称轴是()A．直线x＝1B．直线x＝－1C．直线x＝－3
D．直线x＝3解析：令y＝0，可得x1＝－1，x2＝3，所以对称轴是直线x＝
＝1，选A.A(2)二次函数y＝(x－1)2－2的图象上最低点的坐标是()A．(－1,－2)
B．(1,－2)C．(－1,2)D．(1,2)解析：因为a＝
1>0，抛物线有最低点，其坐标为(1,－2)，选B.B题型三利用二次函数解决实际应用题【例3】我市某大型酒店有包房100
间，在每天晚餐营业时间，每间包房收包房费100元时，包房便可全部租出；若每间包房收费提高20元，则减少10间包房租出，若每间包房收
费再提高20元，则再减少10间包房租出，以每次提高20元的这种方法变化下去．(1)设每间包房收费提高x(元)，
则每间包房的收入为y1(元)，但会减少y2间包房租出，请分别写出y1、y2与x之间的函数关系式；(2)为了投资少而利润大
，每间包房提高x(元)后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为y(元)，请写出y与x之间的函数关系式，求出每间包房每天晚餐应提高多少元可
获得最大包房费收入，并说明理由．解：(1)y1＝100＋x，y2＝x.(2)y＝(100＋x)(100－x
)＝－x2＋50x＋10000＝－(x－50)2＋11250，因为提价前包房费总收入为
100×100＝10000，当x＝50时，可获得最大包房收入11250元，因为11250>10000，又因为每
次提价为20元，所以每间房费应提高40元或60元．所以为了投资少而利润大，每间房费应提高60元．探究提高
解决最值问题的关键是根据已知条件建立二次函数模型，利用二次函数的最大值或最小值来解．知能迁移3某商品的进价为每件40
元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元)．设每件商品
的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元．(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
(2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？(3)每件商品的售价定为多少元时，每个月的
利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？解：(1)y＝(210－10x)(
50＋x－40)＝－10x2＋110x＋2100(0－10(x－5.5)2＋2402.5.∵a＝－10<0，∴当x＝5.5时，y有最大值2402.5.∵
0∴当售价定为每件55元或56元，每个月的利润最大，最大利润是2400元．(3)当y＝2200时，－10x2＋110x＋
2100＝2200，x2－11x＋10＝0，解之得x1＝1，x2＝10.∴当x＝1时，50＋x＝51；当x＝
10时，50＋x＝60.∴当售价定为每件51元或60元时，每个月的利润为2200元．当售价不低于51元且不高于
60元且为整数时，每个月的利润不低于2200元.(或当售价分别为51,52,53,54,55,56,57,58,59,6
0元时，每个月的利润不低于2200元)．题型四结合几何图形的函数综合题【例4】如图，已知直线y＝－x＋1交坐标轴于A
，B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过点A，D，C的抛物线与直线另一个交点为E.(1)请直接写出点C、D的坐标
；(2)求抛物线的解析式；(3)若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落
在x轴上时停止．设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范
围；(4)在(3)的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时D落在x轴上时停止，求抛物线上C、E两点间的抛物线弧所扫过的面积．解
题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！解：(1)C(3,2)，D(1,3)．
[2分](2)设抛物线为y＝ax2＋bx＋c，抛物线
过(0,1)，(3,2)，(1,3)，解得∴
y＝－x2＋x＋1.
[6分]c＝1,a＋b＋c＝3,9a＋3b＋c＝2.a＝－,b＝,c＝1.
(3)①当点A运动到点F时，t＝1，当0FA＝＝，∴tan∠GFB′＝＝＝，∴GB′＝
t，S△FB′G＝FB′×GB′＝×t×＝t2；
[8分]图1②当点C运动到x轴上时，t＝2，当1＝，∴A′F＝t－，∴A′G＝，
∵B′H＝，∴S梯形A′B′HG＝(A′G＋B′H)×A′B′＝×
×＝t－；[10分]图2③当点D运动到x轴上时，t＝3，当2
|
|
