2014－2015学年九年级数学（上）期末试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．下列电视台的台标，是中心对称图形的是 A． B． C． D． 掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是（）
A．必有5次正面朝上 B． 可能有5次正面朝上
C．掷2次必有1次正面朝上 D． 不可能10次正面朝上
x2－2x－3＝0时，配方后所得的方程为
A、(x－1)2＝4B、(x－1)2＝2C、(x＋1)2＝4D、(x＋1)2＝2
4．九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意列出方程为
A、x(x－1)＝2070B、x(x＋1)＝2070C、x(x＋1)＝2070D、x(x－1)＝2070
5．小明想用一个圆心角为120°，半径为6cm的扇形做一个圆锥的侧面（接缝处忽略不计），则做成的圆锥底面半径为
A、4cmB、3cmC、2cmD、1cm
6．已知抛物线y＝ax2＋bx和直线y＝ax＋b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是
ABCD
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
7．一元二次方程x2＝x°，
则BC＝。
9．如图所示的五角星绕中心点旋转一定的角度后能与
自身完全重合，则其旋转的角度至少为。
10．某品牌手机两年内由每台2500元降低到每台1600元，
则这款手机平均每年降低的百分率为。
11．若正方形的边长为6cm，则其外接圆半径是。
12．林业工人为调查树木的生长情况，常用一种角卡工具，
可以很快测出大树的直径，其工作原理如图所示，已知AC
和AB都与⊙O相切，∠BAC＝60°，AB＝0.6m，则这棵大树
的直径为。
13．将二次函数y＝－2(x－1)2＋3的图象关于原点作对称变换，
则对称后得到的二次函数的解析式为。
14．如图，矩形ABCD内接于⊙O，∠OAD＝30°，若点P是
⊙O上一点，且OP⊥OA，则∠OPB的度数为。
三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
15．已知一抛物线与x轴的交点是、B（1，0），且经过点C（2，8）。求该抛物线的解析式已知关于x的方程x2ax＋a－2＝0。
（1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根如图所示，正方形网格中，ABC为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）把ABC沿BA方向平移后，点A移到点A1，在网格中画出平移后得到的A1B1C1；
（2）把A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°，在网格中画出旋转后的A1B2C2；
（3）如果网格中小正方形的边长为1，求点B经过1）、（2）变换的路径总长．
ABC中，以BC为直径的⊙O与AB交于点D，
DE⊥AC，垂足为点E．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）计算。
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
22．某校七年级学生准备去购买《英汉词典》一书，此书标价为20元。现A、B两书店都有此书出售，A店按如下方法促销：若只购一本，则按标价销售；若一次性购买多于一本，但不多出20本时，每多购一本，每本销售价在标价的基础上优惠2%（例如买两本，每本价优惠2%；买三本价优惠4%，以此类推）；若购买多于20本时，每本售价为12元。B店一律按标价的7折销售。
（1）试分别写出在两书店购此书的总价yA、yB与购本书数x之间的函数关系式。
（2）若某班一次性购买多于20本时，那么去哪家书店购买更合算？为什么？若要一次性购买不多于20本时，先写出y（y＝yA－yB）与购书本数x之间的函数关系式，并在图中画出其函数图象，再利用函数图象分析去哪家书店购买更合算。
23．在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为5cm的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径应有多大？问题提出后，同学们经过讨论，大家觉得本题实际上就是求将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆形硬纸板能盖住时的最小直径．老师将同学们讨论过程中探索出的三种不同摆放类型的图形画在黑板上，如下图所示：
（1）计算（结果保留根号与π）．
（Ⅰ）图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为cm；
（Ⅱ）图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为cm；
（Ⅲ）图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为cm；
（2）其实上面三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都不是最小的，请你画出用圆形硬纸板盖住三个正方形时直径最小的放置方法，（只要画出示意图，不要求说明理由），并求出此时圆形硬纸板的直径．
六、（本大题共12分）
24．如图1，若抛物线L1的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B也在抛物线L1上(点A与点B不重合），我们定义：这样的两条抛物L1，L2互为“友好”抛物线，可见一条抛物线的“友好”抛物线可以有多条。
（1）如图2，已知抛物线L3：y＝2x2－8x＋4与y轴交于点C，试求出点C关于该抛物线对称轴对称的点D的坐标；
（2）请求出以点D为顶点的L3的友好抛物线L4的解析式，并指出L3与L4中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围；
（3）若抛物y＝a1(x－m)2＋n的任意一条友好抛物线的解析式为y＝a2(x－h)2＋k，请写出a1与a2的关系式，并说明理由。
参考答案
一、选择题
1、A2、B3、A4、D5、C6、D
二、填空题
7、x1＝x2＝°10、20%11、3cm
12、13、y＝2(x＋1)2－314、15°或75°
三~六
15、y＝2x2＋2x－4
16、
解：（1）作图如图1，半径等于（2）作图如图2，半径等于5或
17、解：(1)当球在老师手里时，先直接传给甲同学的概率是；…………………2分＝。………………………………………6分
18、（1）将x＝1代入方程x2+ax+a2＝0得，1a＋a－2＝0，解得，a＝方程为x2x－＝0，即2x2x－3＝0，设另一根为x1，则x1＝．
（2）∵△＝a24(a－2)＝a24a＋8＝a24a＋4＋4＝a－2)2＋4＞0，3分
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．6分
（1）画图正确2分（2）画图正确．分（3）＝2；分弧B1B2的长＝。……7分点B所走的路径总长＝＋。……8分
20、（1）证明：由CD⊥AB，得
＝；∴∠AOD＝2∠C
由AO⊥BC，易得∠C＝30°。…………4分π－………………8分
21、（1）证明：连接OD，
∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°
又∵OD＝OBOBD为等边三角形，
∴∠BOD＝60°＝ACB，∴OD∥AC，
又∵DE⊥AC，∴∠ODE＝AED＝90°
∴DE为⊙O的切线；………………4分
2）解：连接CD，
∵BC为⊙O的直径，∴∠BDC＝90°
又∵△ABC为等边三角形，∴AD＝BD＝AB
在Rt△AED中，∠A＝60°ADE＝30°
∴AE＝AD＝ACCE＝ACAE＝AC
∴＝3））x2＋x
＝－(x－8)2＋25.6
当－(x－8)2＋25.6＝0时，x＝0或16。………7分
由图象可得：当0＜x＜16时，y＞0；
当x＝16时，y＝0；当16＜x≤20时，y＜0。
综上所述,若购书少于16本时，到B书店购买；
若购买16本，到A、B书店费用一样；
若超过16本，则到A书店购买合算。…………9分
23、（1）（Ⅰ）如图1，连结BD，
易得圆的最小直径为5cm；……………1分
（Ⅱ）如图2，易得A，B，C三点在以O为圆心，
OA为半径的圆上。利用勾股定理求得OA＝5，
所以圆的最小直径为10cm。…………3分
（Ⅲ）如图3，由垂径定理可知，OA为最小圆的半径，
易得OA＝5，所以圆的最小直径为10cm。…………5分
（2）如图④为盖住三个正方形时直径最小的放置方法：……6分
连接OB，ON，延长OH交AB于点P，
则OP⊥AB，P为AB中点设OG＝x，则OP＝10－x，
则有：x2＋52＝(10－x)2＋()2。
解得：x＝；则ON＝，…………8分
所以直径为。…………9分
24、（1）点D坐标（4，4）…………3分
（2）L4的解析式y＝－2(x－4)2＋4…………6分
由图象可知，当2≤x≤4时，抛物线L3与L4中y同时随x增大而增大。……8分
（3）a1与a2的关系式为a1＋a2＝0或a1＝－a2。…………9分
理由如下：
∵抛物线y＝a1(x－m)2＋n的一条“友好”抛物线的解析式为y＝a2(x－h)2＋k，
∴y＝a2(x－h)2＋k过点（m，n），且y＝a1(x－m)2＋n过点（h，k），即
k＝a1(h－m)2＋n…………①；n＝a2(m－h)2＋k…………②…………10分
由①＋②得(a1＋a2)(h－m)2＝0。…………11分
又“友好”抛物线的顶点不重合，∴h≠m，
∴a1＋a2＝0或a1＝－a2。…………12分
AOB
C
C
A
B
·O
AD
BC
·O
图2
图1
481216
O
x
y
x
y
C
O
L3
图2
x
A
y
L2
B
O
L1
图1
图2
图1
O
O
O
O
O
yA＝
AD
BC
A
BC
O
A
BD
AOE
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