一、选择题
1.（2015四川省遂宁市，15，4分）下列命题：
①对角线互相垂直的四边形是菱形；
②点G是△ABC的重心，若中线AD＝6，则AG＝3；
③若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限．则k＜0，b＞0；
④定义新运算：a?b＝2a－b2，若(2x)?(x－3)＝0，则x＝1或9；
⑤抛物线y＝－2x2＋4x＋3的顶点坐标是(1，1)．
其中真命题有＿＿＿．(只填序号)
【答案】③④．
【解析】
对于①，对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，故①错；
对于②，重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，所以AD＝4，故②错；
对于③，画出草图易知，显然成立，故③正确；
对于④，(2x)?(x－3)＝0，要得4x－(x－3)2＝0，得x2－10x＋9＝0，解得x＝1或9，故④正确；
对于⑤，y＝－2x2＋4x＋3＝－2(x2－2x＋1－1)＋3＝－2(x－1)2＋5，顶点为(1，5)，故⑤错误．
2.（2015浙江省金华市，8，3分）图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴，若干OA＝10米，则桥面离水面的高度AC为( )
A.米 B.米 C.米 D.米
【答案】B
3.（2015浙江嘉兴，10，4分）如图，抛物线交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D.下列四个判断：①当时，；②若a=－1，则b=4；③抛物线上有两点和若且，则；④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当m=2时，四边形EDFG周长最小值为.其中正确判断的序号是（）
A.①B.②C.③D.④
【答案】C
二、填空题
1.（2015浙江省衢州市，16，4分）如图，已知直线分别交x轴，y轴于点A、B，P是抛物线上一个动点，其横坐标是a，过点P且平行y轴的直线交直线于点Q，则PQ=BQ时，a的值是__________。
【答案】4或
【解析】解：P点横坐标为a，因为P点在抛物线上，所以P点坐标为，又PQy轴，且Q点在函数上，所以点Q坐标为，B点坐标为根据平面内两点间的距离公式，知道PQ＝，BQ=,根据题意，PQ=BQ，所以＝，解得a的值分别为4或.
三、解答题
1.（2015年四川省宜宾市，24，12分）如图，抛物线与x轴分别交于点A（－2，0）、B（4，0），与y轴交于点C，顶点为点P。
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点M、N从点O同时出发，都以每秒1个单位长度的速度分别在线段OB、OC上向点B、C方向运动，过点M作x轴的垂线交BC于点F，交抛物线于点H。
①当四边形OMHN为矩形时，求点H的坐标；
②是否存在这样的点F，使△PFB为直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由。
【答案】（1）抛物线的解析式为：
（2）①H（，）
②存在点F（，），使△PFB为直角三角形
【解析】解：（1）由题意得：，解得：，
∴抛物线的解析式为：
（2）
①设点M、N从点O同时出发t秒后四边形OMHN为矩形，则M（t，0）、N（0，t）、H（t，t）
∵点H在抛物线上，∴解得：
∴H（，）
②设存在点F，使△PFB为直角三角形
如图，连结PF，BP，过点F作FQ⊥对称轴于点Q
∵c=4，A（－2，0），B（4，0），∴∠OBC=45°，P点的横坐标为1，
∵点P为抛物线的顶点，∴y=,P（1，），
∴
∵∠OBC=45°，M（t，0），∴MF=BM=4－t即
在Rt△PQF中，FQ=1－t，PQ=，∴PF2=
∵△PFB为直角三角形，
∴Ⅰ）当点F为直角顶点时，
=+
整理得：
∵△=，∴该方程无解
Ⅱ）当点P为直角顶点时，
=+
解得：t=，F（，）
综上所述：存在点F（，），使△PFB为直角三角形。
2.（2015浙江省丽水市，24，12分）某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上．在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A的水平距离为（米），与桌面的高度为（米），运动时间为（秒），经过多次测试后，得到如下部分数据：
（秒） 0 0.16 0.2 0.4 0.6 0.64 0.8 … （米） 0 0.4 0.5 1 1.5 1.6 2 … （米） 0.25 0.378 0.4 0.45 0.4 0.378 0.25 … （1）当为何值时，乒乓球达到最大高度？
（2）乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离是多少？
（3）乒乓球落在桌面上弹起，与满足＝．
①用含的代数式表示；
②球网高度为0.14米，球桌长（1.4×2）米．若球弹起后，恰好有唯一的击球点，可以将球沿直线扣杀到点A，求的值．
【答案】解：以点A为原点，以桌面中线为轴，乒乓球运动方向为正方向，建立平面直角坐标系．
（1）由表格中的数据，可得＝0.4（秒）．
答：当为0.4秒时，乒乓球达到最大高度．
（2）由表格中数据，可画出关于的图象，根据图象的形状，可判断是的二次函数．可设＝．
将（0，0.25）代入，可得＝．
∴＝．
当＝0时，＝，＝（舍去），即乒乓球与端点A的水平距离是米．
（3）①由（2）得乒乓球落在桌面上时，对应的点为（，0）．
代入＝，得＝0，化简整理，得＝．
②由题意可知，扣杀路线在直线＝上．
由①，得＝．
令＝，整理，得＝0．
当＝＝0时符合题意．
解方程，得＝，＝．
当＝时，求得＝，不符合题意，舍去．
当＝时，求得＝，符合题意．
答：当＝时，能恰好将球沿直线扣杀到点A．
3.（2015四川省自贡市，22，1分）观察下表：
序号 1 2 3 … 图形
… 我们把某格中字母和所得的多项式称为特征多项式，例如第1格的“特征多项式”为，回答下列问题：
（1）第3格的“特征多项式”为________，第4格的“特征多项式”为________，第格的“特征多项式”为________（为正整数）；
（2）若第1格的“特征多项式”的值为－10，第2格的“特征多项式”的值为－16，
①求，的值；
②在此条件下，第格的“特征多项式”是否有最小值．若有，求出最小值和相应的值；若没有，说明理由．
【答案】解：（1），，．
（2）①依题意，得．
解得．
②设最小值为W，则依题意得：W＝＝＝．
答：有最小值为－18，相应的值为3．
4.（2015四川省自贡市，23，12分）如图，己知抛物线＝（≠0）的对称轴为直线＝－1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与轴交于点B．
（1）若直线＝经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴＝－1上找－点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；
（3）设点P为抛物线的对称轴＝－1上的－个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．
【答案】解：（1）依题意得：，解得．
∴抛物线解析式为＝．
∵对称轴＝－1，且抛物线经过点A（1，0），
∴把B（－3，0），C（0，3）分别代入直线＝得
，解得．
∴直线＝的解析式为＝．
（2）设直线BC与对称轴＝－1的交点为M，则此时MA＋MC的值最小．把＝－1代入直线＝得，＝2．
∴M（－1，2）．即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（－1，2）．
（注：本题只求M坐标没说要证明为何此时MA＋MC的值最小，所以答案没证明MA＋MC的值最小的原因）
（3）设P（－1，），又B（－3，0），C（0，3），
∴BC2＝18，PB2＝＝，PC2＝＝．
①若点B为直角顶点，则BC2＋PB2＝PC2，即＝，解得＝－2．
②若点C为直角顶点，则BC2＋PC2＝PB2，即＝，解得＝4．
③若点P为直角顶点，则PB2＋PC2＝BC2，即＝18，解得＝，＝．
综上所述P的坐标为（－1，－2）或（－1，4）或（－1，）或（－1，）．
5.（2015四川省遂宁市，25，12分）如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－2，0)，B(4，0)，C(0，3)三点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)在y轴上是否存在点M，使△ACM为等腰三角形，若存在，请直接写出所有满足要求的点M的坐标；若不存在，请请说明理由；
(3)若点P(t，0)为线段AB上一动点(不与A、B重合)，过P作y轴的平行线，记该直线右侧与△ABC围成的图形面积为S，试确定S与t的函数关系式．
【答案】(1)；(2)M1(0，3＋)，M2(0，3－)，M3(0，－3)，M4(0，)；(3)．
【解析】
解：(1)由y＝ax2＋bx＋c经过A(－2，0)，B(4，0)，C(0，3)，
设函数解析式为，将C(0，3)代入，
得3＝－8a，得a＝，
所以解析式为，
；
(2)设M(0，m)，则AC＝，CM＝，AM＝，
①当AC＝CM，得13＝(m－3)2，得m＝3±，得M1(0，3＋)，M2(0，3－)，
②当AC＝AM，得13＝m2＋4，得m＝3(舍去)或m＝－3，所以M3(0，－3)；
③当CM＝AM，得(m－3)2＝m2＋4，－6m＋9＝4，得m＝，所以M4(0，)
(3)分两种情况，
①当－2＜t≤0时，如图a，
由P(t，0)，得AP＝t－2，OP＝－t，
由PK∥y轴交AC于K，所以△APK∽△AOC，
所以，得，得，
所以S＝＝，
即：S＝(－2＜t≤0)，
②当0＜t＜4时，如图b，
由P(t，0)，得OP＝t，PB＝4－t，
由PH∥y轴交BC于点H，
所以△BPH∽△POC，
所以，得PH＝，
所以S＝
＝．
即：S＝(0＜t＜4)．
6．（2015四川省巴中市，31，12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与x轴交于点A（－2，0）、C（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）如图1，连接BC，在线段BC上是否存在点E，使得△CDE为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，若点P（m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中m＞0，n＜0），连接PB，PD，BD，求△BDP的面积的最大值即此时点P的坐标．
【答案】解：（1）依题意，把点A（－2，0）、C（8，0）代入二次函数解析式，得
解得∴二次函数解析式为．
（2）存在点E，使得△CDE为等腰三角形．
依题意，点D的坐标为（3，0）．OB=4，OC=8，BC．直线BC的解析式为y=x－4．
有如下情形：
①当CE=DE时，过点E作EF⊥OC，∴点F为DC中点．∴DF=（OC－OD）=．
∴OF=．在直线BC的解析式中，令x=，得y=．∴点E的坐标为．
②当CD=CE时，过点E作EG⊥OC，∴EG∥BO，∴△CEG∽△CBO．
∴，，∴OG=8－．
在直线BC的解析式中，令x=8－，得y=．∴点E的坐标为．
③当CD=DE时，过点E作EH⊥OC．设E的坐标为，∴OH=x，HE=，DH=3－x．
在Rt△HDE中，，∴25=．整理，得．
解得x1=0，x2=8（舍去）．此时点E与点B重合，坐标为（0，－4）．
（3）如图，过点P作PH⊥OB于点H．设点P的坐标为．
∴
所以当时，最大，最大值为．此时点P的坐标为．
7.（2015福建省福州市，26，13分）如图，抛物线与x轴交于O、A两点，P为抛物线上一点，过点P的直线y=x+m与对称轴交于点Q.
(1)这条抛物线的对称轴是；直线PQ与x轴所夹锐角的度数是；
(2)若两个三角形面积满足，求m的值；
(3)当点P在x轴下方的抛物线上时，过点C(2，2)的直线AC与直线PQ交于点D，
①求PD+DQ的最大值；②求PD·DQ的最大值.
【答案】解：(1)x=2；45°.
(2)设直线PQ交x轴于点B，分别过点O、A作PQ的垂线，垂足分别为E、F.(
显然，当点B在OA的延长线上时，不成立.
①如图所示，
当点B落在线段OA上时，，
由△OBE∽△ABF得，
∴AB=3OB.
∴.
由得点A（4,0），
∴OB=1，
∴B(1，0).
∴1+m=0，
∴m=－1.
②如图所示，
当点B落在线段AO的延长线上时，
，
由△OBE∽△ABF得，
∴AB=3OB.
∴.
由得点A（4,0），
∴OB=2，
∴B(－2，0).
∴－2+m=0，
∴m=2.
综上所述，当m=－1或2时，.
(3)①如图所示，过点C作CH∥x轴交直线PQ于点H，则△CHQ是等腰三角形.
∵∠CDQ=45°+45°=90°，
∴AD⊥PH，
∴DQ=DH，
∴PD+DQ=PH.
过点P作PM⊥CH于点M，
则△PMH是等腰直角三角形.
∴.
∴当PM最大时，PH最大.
∴当点P在抛物线的顶点处时，PM取得最大值，此时PM=6.
∴PH的最大值为.
即PD+DQ的最大值为.
解法2：如图所示，
过点P作PE⊥x轴，交AC于点E，作DF⊥CQ于点F，
则△PDE、△CDQ、△PFQ是等腰直角三角形.
设点P()，则E()，F().
∴，PF=PQ=|2－x|，
∴点Q()，
∴，
∴（0＜x＜
4）.
∴当x=2时，PD+DQ的最大值为.
②由①可知：PD+DQ≤.
设PD=a，则DQ≤.
∴PD·DQ≤.
∵当点P在抛物线的顶点时，，
∴PD·DQ≤18.
∴PD·DQ的最大值为18.
附加说明：（对a的取值范围的说明）
设点P的坐标为()，延长PM交AC于N.
PD=a.
∵＜0，0＜n＜4，
∴当时，由最大值为.
∴0＜a≤.
8.（2015山东省青岛市，22，10分）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽的4m.按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用表示，且抛物线上的点C到墙面OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为m.
(1)求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
(3)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等.如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
【答案】解：(1)由题意得点B的坐标为（0，4），点C的坐标为（3，），
∴，解得，
∴该抛物线的函数关系式为.
∵，
∴拱顶D到地面OA的距离为10.
(2)当x=6+4=10时，，
∴这辆货车能安全通过.
(3)当y=8时，，
即，
∴，
∴两排灯的水平距离的最小值是：
(m).
9.（2015重庆B卷，26，12分）如图，抛物线与x轴交与A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E.
（1）求直线AD的解析式；
（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH的周长的最大值；
（3）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是AM为边的矩形，若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标.
【答案】（１）y＝x+1，（２）；（3）或
【解析】解：⑴AD：y＝x+1；
⑵过点F作x轴的垂线，交直线AD于点M，易证△FGH≌△FGM
故
设
则FM=
则C=
故最大周长为
⑶
①若AP为对角线
如图，由△PMS∽△MAR可得
由点的平移可知
故Q点关于直线AM的对称点T为
②若AQ为对角线
如图，同理可知P
由点的平移可知Q
故Q点关于直线AM的对称点T为
10.（2015四川省泸州市）如图，已知二次函数的图象M经过A(－1，0),B(4，0),C(2，－6)三点。
（1）求该二次函数的解析式；
（2）点G是线段AC上的动点（点G与线段AC的端点不重合），若△ABG与△ABC相似，求点G的坐标；【出处：21教育名师】
（3）设图象M的对称轴为，点是图象M上一动点，当△ACD的面积为时，点D关于的对称点为E，能否在图象M和上分别找到点P、Q，使得以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形。若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由。
【答案】
解：（1）设抛物线解析式为，根据题意得
，解得a=1,b=－3,c=－4
∴二次函数的解析式为：
（2）设直线AC的解析式为y=kx+b,根据题意得
，解得k=－2,b=－2
∴AC的解析式为y=－2x－2
∵△ABG∽△ABC
∴
∵AB=3－(－1)=4，AC=
∴AG=
设G点坐标为（a,－2a－2）,则
解得a=
∴G点坐标为（）
（3）如图，分别过点D、C作DE⊥AB、CF⊥AB,分别交AB于点E、F
则
∵G点坐标为（m,n）
∴n=
∵－1＜m＜2
∴AE=m+1,FE=2－m,DE=,CF=6
∴
解得m=
∴G点坐标（）
∴E点坐标（）
当DE为对角线时，则P为抛物线顶点，其坐标为（）；
当DE为一边时，则PQ=DE=2，则P点横坐标为－0.5，3.5，P点坐标为（），（）
11.（2015浙江省湖州市，3，分）如图，已知抛物线C1：y＝a1x2＋b1x＋c1和C2：y＝a2x2＋b2x＋c2都经过原点，顶点分别为A、B，与x轴的另一交点分别为M、N．如果点A与点B，点M与点N都关于原点O成中心对称，则称抛物线C1和C2为姐妹抛物线．请你写出一对姐妹抛物线C1和C2，使四边形ANBM恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是＿＿＿＿和＿＿＿＿．
【答案】答案不唯一，如：和．
【解析】
这类题答案不唯一，考试中为节省时间计，越简单越好，越特殊越好．
因为要求四边形NBMA是矩形，所以两条抛物线必是关于原点成中心对称图形，
为简单起见，若Rt△ANM是∠ANM＝30°的直角三角形，相对简单，
此时，不妨设A(1，)，则M(2，0)，
设右边抛物线的解析式为y＝ax2＋bx，代入A、M的坐标，
可求得其解析式为，
另一条也易得．
这样的姐妹抛物线还可以源源不断写出．
12.（2015浙江省湖州市，1，分）(本小题12分)
已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点A(0，2)，B(1，0)分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点．现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过点D．
(1)如图1，若该抛物线经过原点O，且a＝．
①求点D的坐标及该抛物线的解析式；
②连结CD．问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(2)如图2，若该抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过点E(1，1)，点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余．若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围．
【答案】
【解析】
解：(1)①过点D作DF⊥x轴于点F，如图所示．
∵∠DBF＋∠ABO＝90°，
∠BAO＋∠ABO＝90°，
∴∠DBF＝∠BAO，
又∵∠AOB＝∠BFD＝90°，AB＝BD，
∴△AOB≌△BFD，
∴DF＝BO＝1，BF＝AO＝2，
∴D点坐标是(3，1)．
根据题意，得，c＝0，且a×32＋b×3＋c＝1，
∴b＝，∴该抛物线解析式为．
②∵C、D两点纵坐标都为1，
∴CD∥x轴，∴∠BCD＝∠ABO，
∴∠BAO与∠BCD互余，
若要使得∠POB与∠BCD互余，则需满足∠POB＝∠BAO，
设点P的坐标为(x，)，
(Ⅰ)当点P在x轴上方时，过点P作PG⊥x轴于点G，
则tan∠POB＝tan∠BAO，即，
∴，解得x1＝0(舍去)，x2＝，
＝，∴点P的坐标是(，)，
(Ⅱ)当点P在x轴下方时，过点P作PH⊥x轴于点H，则,
∴，解得x1＝0(舍去)，x2＝．
∴＝，∴点P的坐标是(，)．
综上所述，在抛物线上存在点P1(，)，P2(，)，使得∠POB与∠BCD互余．
(2)a的取值范围是a＜或．
13.（2015浙江省金华市，24，12分）如图，抛物线y＝ax2＋c(a≠0)与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点(点C在x轴正半轴上)，△ABC为等腰直角三角形，且面积为4.现将抛物线沿BA方向平移，平移后的抛物线过点C时，与x轴的另一个交点为E，其顶点为F，对称轴与x轴的交点为H.
(1)求a，c的值.
(2)连结OF，试判断△OEF是否为等腰三角形，并说明理由.
(3)先将一足够大的三角板的直角顶点Q放在射线AF或射线HF上，一直角边始终过点E，另一直角边与y轴相交于点P.是否存在这样的点Q，使以点P，Q，E为顶点的三角形与△POE全等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】解：（1）
∵△ABC为等腰直角三角形，∴OA＝BC，
又∵△ABC的面积＝BC×OA＝4，即＝4，
∴OA＝2，
∴A，B，C，
∴c＝2，
∴抛物线的函数表达式为，
有，解得，
∴，c＝2.
（2）
△OEF是等腰三角形.
理由如下：
∵A，B，
∴直线AB的函数表达式为，
又∵平移后的抛物线顶点F在射线BA上，
∴设顶点F的坐标为（m，m＋2），
∴平移后的抛物线函数表达式为，
∵抛物线过点C，
∴，解得
∴平移后的抛物线函数表达式为，即.…1分
当y＝0时，，解得
∴E（10，0），OE＝10，
又F（6，8），OH＝6，FH＝8，
∴
又∵，
∴OE＝OF，即△OEF为等腰三角形.
（3）点Q的位置分两种情形.
情形一、点Q在射线HF上.
当点P在轴上方时，如图2.
由于△PQE≌△POE，∴，
在Rt△QHE中，，
∴.
当点P在轴下方时，如图3，有，
过P点作于点，则有PK＝6，
在Rt中，，
∵，∴，
∵，∴，
又∵，
∴∽，
∴，即，解得，
∴.
情形二、点在射线AF上.
当时，如图4，有，
∴四边形POEQ为矩形，∴的横坐标为10，
当时，，∴.
当时，如图5.
过作y轴于点，过E点作x轴的垂线交QM于点N.
设的坐标为，∴，，，
在中，有，即，解得，
当时，如图5，，∴，
当时，如图6，，∴.
综上所述，存在点，，，，，使以P，Q，E三点为顶点的三角形与△POE全等.
14.（2015山东省德州市，24，12分）已知抛物线y=－mx2+4x+2m与x轴交于点A(α,0),B(β,0),且.
(1)求抛物线的解析式.
(2)抛物线的对称轴为l，与y轴的交点为C，顶点为D，点C关于l的对称点为E.是否存在x轴上的点M、y轴上的点N，使四边形DNME的周长最小？若存在，请画出图形（保留作图痕迹），并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由.
(3)若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标.
【答案】解：(1)由题意可知，α，β是方程－mx2+4x+2m=0的两根，由根与系数的关系可得：α+β=,αβ=－2.
∵,
∴,即.
∴m=1.
∴抛物线解析式为y=－x2+4x+2.
(2)存在x轴上的点M，y轴上的点N，使得四边形DNME的周长最小.
∵y=－x2+4x+2=－(x－2)2+6.
∴抛物线的对称轴l为x=2,顶点D的坐标为（2，6）.
又∵抛物线与y轴交点C的坐标为（0，2）,点E与点C关于l对称，
∴E点坐标为（4，2），
作点D关于y轴的对称点D＇，点E关于x轴的对称点E＇.
则D＇坐标为（－2，6），E＇坐标为（4，－2），连接D＇E＇.交x轴于M，交y轴N.
此时，四边形DNME的周长最小为D＇E＇+DE.如图1所示.
延长E＇E,D＇D交于一点F.在Rt△D＇E＇F中，D＇F=6，E＇F=8.
∴D＇E＇===10,
设对称轴l与CE交于点G，在Rt△DGE中，DG=4，EG=2，
∴DE===2.
∴四边形DNME的周长的最小值为10+2.
(3)如图2，P为抛物线上的点，过P作PH⊥x轴，垂足为H.若以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形.
则△PHQ≌△DGE.
∴PH=DG=4,
∴|y|=4.
∴当y=4时，－x2+4x+2=4，
解得x=2±,
∴点P的坐标为（2－，4），（2+，4），（2+，－4），（2－，－4）.
15.（2015四川省达州市，23，8分）阅读与应用：
阅读1：a、b为实数，且a＞0，b＞0，因为，所以，从而（当a＝b时取等号）．
阅读2：若函数（m＞0，x＞0，m为常数），由阅读1结论可知：
，所以当即时，函数的最小值为．
阅读理解上述内容，解答下列问题：
问题1：已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x，则另一边长为，为，求当x＝__________时，周长的最小值为__________．
问题2：已知函数y1＝x＋1（x＞－1）与函数y2＝x2＋2x＋10（x＞－1），
当x＝__________时，的最小值为__________．
问题3：某民办学习每天的支出总费用包含以下三个部分：一是教职工工资4900元；二是学生生活费成本每人10元；三是其他费用．其中，其他费用与学生人数的平方成正比，比例系数为0.01．当学校学生人数为多少时，该校每天生均投入最低？最低费用是多少元？（生均投入＝支出总费用÷学生人数）
【答案】2，8；，；当学校学生人数为700人时，该校每天生均投入最低，最低费用是24元．
【解析】解：问题1因为x＞0，4＞0，所以，当即时，取最小值8．
问题2由题意得，因为x＞－1，所以x＋1＞0，所以，当即时，取最小值．
问题3设学校学生人数为x人，生均投入为y元，依题意得：
，因为x＞0，
所以，当即x=700时，y取最小值24．
答：当学校学生人数为700人时，该校每天生均投入最低，最低费用是24元．
16.（2015四川省达州市，25，12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，∠AOC的平分线交AB于点D，E为BC的中点，已知A（0，4）、C（5，0），二次函数的图象抛物线经过A、C两点．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）F、G分别为x轴、y轴上的动点，首尾顺次连接D、E、F、G构成四边形DEFG，求四边形DEFG周长的最小值；
（3）抛物线上是否存在点P，时△ODP的面积为12？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】
【解析】解：（1）将A（0，4）、C（5，0）代入得，解得，∴该二次函数的表达式为．
（2）∵四边形OABC为矩形，
∴∠BAO＝∠AOC＝90°，AB＝OC＝5，BC＝OA＝4
∴B（5，4），
∵E为BC中点，
∴E（5，2），
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD＝∠DOC＝45°，
∴∠ADO＝∠AOD＝45°，
∴AD＝OA＝4，
∴D（4，4），
作D关于y轴的对称点D′，作E关于x轴的对称点E′，连接D′G、E′F，
则D′（－4，4），E′（5，－2），且D′G＝DG，E′F＝EF，
四边形DEFG的周长＝DE＋EF＋FG＋GD＝DE＋E′F＋FG＋GD′≥DE＋E′D′，
根据勾股定理，，，
∴四边形DEFG周长的最小值是．
（3）设△ODP边OD上的高为h，根据勾股定理，
∵，∴，
如图，过O作MN⊥OD交OD于O，使得，
过M、N分别做MH⊥y轴，NI⊥x轴，
∵∠AOD＝∠DOC＝45°，
∴∠OMH＝∠NIO＝45°＝∠AOD＝∠DOC，
∴MH＝OH，OI＝NI，
根据勾股定理MH2＋OH2＝OM2，OI2＋NI2＝ON2，
∴MH＝OH＝OI＝NI＝3，
∴M（－3，3），N（3，－3），
分别过M、N作OD的平行线l1、l2，
设lOD：y＝kx，将D代入得4＝4k，解得k＝1，∴lOD：y＝x，
设l1：y＝x＋b1，l2：y＝x＋b2，将M代入l1，N代入l2得，解得，∴l1：y＝x＋6，l2：y＝x－6．
将l1与抛物线解析式联立得，解得，；
将l2与抛物线解析式联立得，解得，；
综上，存在点P，使得△ODP的面积为12，符合条件的P点坐标为：
、、
、．
17.（2015湖南省长沙市，25，10分）在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”．
（1）求函数的图像上所有“中国结”的坐标；
（2）若函数（，为常数）的图像上有且只有两个“中国结”，试求出常数的值，与相应“中国结”的坐标；
（3）若二次函数（为常数）的图像与轴相交得到两个不同的“中国结”，试问该函数的图像与轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”？
【答案】（1）（2），；，（3）6个.
【解析】解：（1）；
（2）若函数（，为常数）的图像上有且只有两个“中国结”，则，
当时，“中国结”为；
当时，“中国结”为．
（3）令，则有，
解得，，
∴，，当且仅当时，有整数解，即有“中国结”存在．
此时函数为此抛物线的顶点为，故满足条件的“中国结”有：共计6个．
18.（2015湖南省长沙市，26，10分）若关于的二次函数（，，，，是常数）与轴交于两个不同的点，（），与轴交于点，其图像顶点为点，点为坐标原点．
（1）当，时，求与的值；
（2）当时，试问能否为等边三角形？判断并证明你的结论；
（3）当（）时，记，的面积分别为，，若，且，求的值．
(第26题图)
【答案】（1）；（2）时，为等边三角形；（3）
【解析】解：（1）令的两根为．
把，代入，得
解得，
故方程为：，解得另一根为．
（2）当时，，整理得，
当为等边三角形时，
∵顶点
∴
∴
∴（舍去）
当时，，重合，故不能组成等边三角形．
（3）由得，，即，∴．
由得，∴．
∴（舍）
∴方程可化为，
又∵，所以，
解得
19.（2015山东临沂，26，13分）在平面直角坐标系中，O为原点，直线与y轴交于点A，与直线交于点B，点B关于原点的对称点为点C。
求过点A、B、C三点的抛物线的解析式；
P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q。
当四边形PBQC为菱形时，求点p的坐标；
若点P的横坐标为t（－1
【答案】（1）
（2）①，②t=0
【解析】解：（1）所以所以x=1y=－1所以B（－1,1）
因为点B关于原点的对称点为点C，所以C（1，－1）
因为直线与y轴交于点A，所以A(0，－1)
设抛物线为过A、B、C
所以解之得所以抛物线为
（2）①因为对角线互相垂直平分的四边形为菱形
所以与BC垂直的直线为y=x
所以所以所以
所以，
②因为四边形PBQC面积最大所以三角形BPC的面积最大，所以P离开BC的距离最远，
因为－1
设过P点与BC平行的直线为+b
当+b与抛物线只有一个交点时，点p到直线的距离最远。
所以所以所以
所以△==0所以b=1所以x=0即t=0
故答案为（1）
（2）①，②t=0
20.（2015四川省凉山州市，28，12分）如图，已知抛物线y=x2﹣(m+3)x+9的顶点C在x轴正半轴上，一次函数y=x+3与抛物线交于A、B两点，与x、y轴分别交于D、E两点
（1）求m的值；
（2）求A、B两点的坐标；
（3）点P(a，b)(﹣3＜a＜1)是抛物线上一点，当△PAB的面积是△ABC面积的2倍时，求a、b的值.
【答案】（1）3；（2）A(1，4)，B(6，9)；（3）a=﹣1，b=16.
【解析】解：（1）∵抛物线的顶点在x轴上，
∴它与x轴只有一个交点，
∴(m+3)2﹣4×9=0，
解得m=3或m=－9，
又，即，
∴m=3；
（2）由（1）可得抛物的解析式为y=x2﹣6x+9.
解方程组，得或，
∴点A的坐标为(1，4)，点B的坐标为(6，9)；
（3）如图，连接AC，BC，CE.
∵当y=0时，x=﹣3，∵当x=0时，y=3，
∴点D(﹣3，5)，E(0，3)，
∴OD=OE=3，
又∵顶点C的坐标为(3，0)
∴OC=6，
∴△CED是直角三角形，且CE⊥BD，
∴CE为△ABC的AB边上的高，
过C作直线CF∥AB，则点F的坐标为(﹣3，0)
∴EF=6，即直线CF可以看作直线y=x+3向下平移6个单位得到的，
将直线y=x+3向上平移12个单位得到的直线的解析式为y=x+15，
又∵△PAB的面积是△ABC的面积的2倍，
∴点P是直线y=x+15与抛物线y=x2﹣6x+9.的交点坐标，
由，得或，
又点P(a，b)(﹣3＜a＜1)，
∴点P的坐标为(﹣1，16)
∴a=﹣1，b=16.
21.（2015浙江省台州市，23，12）如图，在多边形ABCDE中，∠A=∠AED=∠D=90°，AB=5，AE=2，ED=3．过点E作EF//CB交AB于点F，FB=1，过AE上的点P作PQ//AB交线段EF于点Q，交折线BCD于点Q，设AP=x，PO·OQ=y
（1）①延长BC交ED于点M，则MD=______，DC=______；
②求y关于x的函数解析式；
（2）当a≤x≤（a＞0）时，9a≤y≤6b，求a，b的值；
（3）当1≤y≤3时，请直接写出x的取值范围．
【答案】（1）①2，1；
②
（2）
（3）.
【解答】解：（1）①，
；
②∵，∴.
在△中，，
∴.
∵，∴.
∵，∴．
当时，如图1所示，
∵，，
∴四边形是平行四边形．∴.
∴．
当时，如图2所示，
∵，∴．
∵，∴四边形是矩形．
∴．
∴．
∴
（2）关于的函数图象如图3所示．
当时，随着的增大而减小，
所以
解得
（3）.
22.(2015广东省广州市，25，14分)(本小题满分14分)
已知O为坐标原点，抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)与轴相交于点A(x1，0)，B(x1，0)．与轴交于点C，且O，C两点之间的距离为3，x1?x2＜0，|x1|＋|x2|＝4，点A，C在直线y2＝－3x2＋t上．
(1)求点C的坐标；
(2)当y1随着x的增大而增大时，求自变量的取值范围；
(3)将抛物线y1向左平移n(n＞0)个单位，记平移后y随着x的增大而增大的部分为P，直线y2向下平移n个单位，当平移后的直线与P有公共点时，求2n2－5n的最小值．
【答案】解：(1)令x＝0，则y＝c，∴C(0，c)
∵OC的距离为3，∴|c|＝3，即c＝±3
∴C(0，3)或C(0，－3)
(2)∵x1x2＜0∴x1x2异号
①若C(0，3)，即c＝3
把C(0，3)代入y2＝－3x＋t，则0＋t＝3，即t＝3
∴y2＝－3x＋3
把A(x1，0)代入y2＝－3x＋3，则－3x1＋3＝0，即x1＝1
∴A(1，0)
∵x1x2异号，x1＝1＞0∴x2＜0
∵|x1|＋|x2|＝4∴1－x2＝4，x2＝－3，则B(－3，0)
代入y1＝ax2＋bx＋3得，解得：
y1＝－x2＋－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，则当x≤－1时，y随x增大而增大．
②若C(0，－3)，即c＝－3
把C(0，－3)代入y2＝－3x＋t，则0＋t＝－3，即t＝－3
∴y2＝－3x－3
把A(x1，0)代入y2＝－3x－3，则－3x1－3＝0，即x1＝－1
∴A(－1，0)
∵x1x2异号，x1＝－1＜0∴x2＞0
∵|x1|＋|x2|＝4∴1＋x2＝4，x2＝3，则B(3，0)
代入y1＝ax2＋bx＋3得，解得：
y1＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，则当x≥1时，y随x增大而增大．
综上所述，若c＝3，当y随x增大而增大时，x≤－1
若c＝－3，当y随x增大而增大时，x≥1
(3)①若c＝3，则y1＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，y2＝－3x＋3
y1向左平移n个单位后则解析式为：y3＝－(x＋1＋n)2＋4
则当x≤－1－n时，y随x增大而增大．
y2向下平移n个单位后则解析式为：y4＝－3x＋3－n
要使平移后直线与P有公共点，则当x＝－1－n，y3≥y4
即－(－1－n＋1＋n)2＋4≥－3(－1－n)＋3－n，解得，n≤－1
∵n＞0，n≤－1不符合条件，应舍去．
②若c＝－3，则y1＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，y2＝－3x－3
y1只向左平移n个单位后则解析式为：y3＝(x－1＋n)2－4
则当x≥1－n时，随x增大而增大．
y2向下平移n个单位后则解析式为：y4＝－3x－3－n
要使平移后直线与P有公共点，则当x＝1－n，y4≥y3
即－3(1－n)－3－n≥(1－n－1＋n)2－4，解得：n≥1
综上所述，n≥1
2n2－5n＝2－，
∴当n＝时，2n2－5n的最小值为－．
【解析】(1)依照数轴上的距离即可得到答案：C(0，3)或C(0，－3)．
(2)由(1)知C(0，3)或C(0，－3)．所以要分两种情况解决．但是两种情况的解法是一样的，即：解出y2和A点坐标，再求出点B的坐标，代入y1，利用待定系数法即可解出解析式，再根据二次函数的性质写出顶点式，自变量的取值范围即可写出．
(3)在(2)的基础上，用顶点式去平移，当抛物线开口向下时，二次函数值要大于等于一次函数值；当抛物线开口向上时，二次函数值要小于等于一次函数值；这样才能确保有交点，解出以后要保证n＞0，否则舍去即可．在解出的n的取值范围内找2n2－5n的最小值，即2－的最小值．
23.（2015安徽，22，12分）为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80米的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等.设BC的长度是x米，矩形区域ABCD的面积为y平方米.
(1)求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
(2)x取何值时，y有最大值？最大值是多少？?
【答案】(1)(2)y有最大值是300平方米.
【解析】解：(1)设AE=a,由题意,得AE·AD=2BE·BC,AD=BC,∴BE=a,AB=a.
由题意,得2x+3a+2·a=80,∴a=20－x.
∴,即.
(2)∵
∴当x=20时,y有最大值,最大值是300平方米.
24.(2015贵州省安顺市,26,14分）
如图，抛物线与直线AB交于点A（－1，0），B（4，），点D是抛物线A，B两点间部分上的一个动点（不与点A，B重合），直线CD与y轴平行，交直线AB于点C，连接AD，BD.
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点D的横坐标为m，△ADB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出当S取最大值时的点C的坐标。
解：(1)由题意得解得：
∴y=－x2+2x+.
（2）设直线AB为：y=kx+b，则有解得∴y=x+
则D(m,－m2+2m+),C(m,m+),
CD=(－m2+2m+)－(m+)=－m2+m+2
∴S=(m+1)·CD+(4－m)·CD
=×5×CD=×5×(－m2+m+2)=－m2+m+5
∵－<0∴当m=时,S有最大值。
当m=时，m+=×+=
∴点C(,).
25.（2015山东省威海市，25，12分）已知：抛物线：交x轴于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，其对称轴为x=1，抛物线经过点A，与x轴的另一个交点为E（5，0），与y轴交于点D（0，）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）P为直线x=1上一点，连接PA，PC．当PA=PC时，求点P的坐标；
（3）M为抛物线上一动点，过点M作直线MN∥y轴，交抛物线于点N，求点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值．
【答案】（1）；（2）点P的坐标为（1，1）；（3）12．
【解析】解：（1）由题意，得，a=﹣1，∴b＝2．
∴抛物线的函数表达式为．
设，解，得x1＝﹣1，x2＝3．
∴点A的坐标为（﹣1，0）．
设y＝a（x＋1）（x－5），将点D（0，）代入，得
∴抛物线的函数表达式为．
（2）设直线x＝1与x轴交于点G，过点C作CH⊥PG，垂足为H．
由（1）知，C的坐标为（0，3）．
则HG=OC=3．
设P点的纵坐标为m，在Rt△APG中，AG=2，PG=m．
∴．
在Rt△CHP中，CH=OG=1，HP=3－m．
∴．
∵AP=CP，∴．
解，得m＝1．
∴点P的坐标为（1，1）．
（3）设点M，则N．
当时，
解，得x1=﹣1，．
①当时，．
显然，，∴当时，MN有最大值．
②当时，．
显然，当时，MN随x的增大而增大．
所以当点M与点F重合，即x=5时，MN有最大值：．
综上所述，在点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值为12．
26.（2015浙江省温州市，23，12分）如图抛物线交x轴正半轴于点A，顶点为M，对称轴MB交x轴于点B，过点C（2，0）作射线CD交MB于点D（D在x轴上方），OE∥CD交MB与点E，EF∥x轴交CD与点F，作直线MF.
（1）求点A、M的坐标.
(2)当BD为何值时，点F恰好落在该抛物线上？
（3）当BD=1时，①求直线MF的解析式，丙判断点A是否落在该直线上.②延长OE交FM于点G，取CF中点P，连结PG，△FPG，四边形DEGP，四边形OCDE的面积分别记为S1，S2，S3，则S1：S2：S3=_________________.
解：（1）令y=0，则－x2+6x=0，解得x1=0，x2=6，∴A（6,0），∴对称轴是直线x=3，∴M（3,9）.
（2）∵OE∥CF，OC∥EF，C（2,0），∴EF=OC=2，∴BC=1，∴点F的横坐标为5，∵点E落在抛物线y=－x2+6x上，∴F（5，5），BE=5.∵,∴DE=2BD,∴BE=3BD,∴BD=.
（3）①当BD=1时，BE=3，∴F（5，3）.
设MF的解析式为y=kx+b，将M（3,9），F（5，3）代入，得，解得，
∴y=－3x+18.∵当x=6时，y=－3×6+18=0，∴点A落在直线MF上.
②因为BD=1,BC=1,所以△BDC为等腰直角三角形,所以△OBE为等腰直角三角形,所以CD=,CF=OE=3,所以DP=,PF=,根据MF及OE解析式求得点G的坐标为（，），作GN⊥EF于点N，则EN=GN=，所以EG=,S△FPG，S梯形DEGP，S梯形OCDE的高相等,所以三者面积比等于底之比故S△FPG:S梯形DEGP:S梯形OCDE=PF：（DP+EG）：（DC+OE）=：（+）：（3+1）=：2：4=3：4：8。
27.（2015四川资阳，24，12分）已知直线y=kx+b（k≠0）过点F（0，1），与抛物线y=x2相交于B、C两点.
（1）如图13－1，当点C的横坐标为1时，求直线BC的解析式；
（2）在（1）的条件下，点M是直线BC上一动点，过点M作y轴的平行线，与抛物线交于点D，是否存在这样的点M，使得以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图13－2，设(m<0)，过点的直线l∥x轴，BR⊥l于R，CS⊥l于S，连接FR、FS．试判断△RFS的形状，并说明理由．www.21－cn－jy.com
【答案】解：（1）因为点C在抛物线上，所以C（1，）．
又因为直线BC过C、F两点，故得方程组，
解之，得，所以直线BC的解析式为：．
要使以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形，则MD=OF．
设M（x1,），则D（x1，）．
因为MD∥y轴，所以MD=，由MD=OF，可得，
①当时，解得x1=0（舍）或x1=，所以M（，）；
②当时，解得，
所以M（，）或M（，）．
综上所述，存在这样的点M，使以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形，
M点坐标为（，）或（，）或（，）．
过点F作FT⊥BR于点T，因为点B在抛物线上，所以m2=4n.在Rt△BTF中，
BF====，因为n>0，所以BF=n+1.
又因为BR=n+1，所以BF=BR.，所以∠BRF=∠BFR.
又因为BR⊥l，EF⊥l，所以BR∥EF，所以∠BRF=∠RFE，所以∠RFE=∠BFR.
同理，可得∠EFS=∠CFS.所以∠RFS=∠BFC=90(，所以△RFS是直角三角形.
28.（2015四川南充，25，10分））已知抛物线与x轴交于点A（m－2，0）和B（2m＋1，0）（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为P，对称轴为l：x＝1．
（1）求抛物线解析式．
（2）直线y＝kx＋2(k≠0)与抛物线相交于两点M（x1，y1），N(x2，y2)（x1＜x2），当最小时，求抛物线与直线的交点M和N的坐标．
（3）首尾顺次连接点O，B，P，C构成多边形的周长为L．若线段OB在x轴上移动，求L最小值时点O，B移动后的坐标及L的最小值．
【答案】（1）；（2）,；（3）,；【解析】解：解：（1）令y=0，得
由韦达定理可知：
；
又抛物线的对称轴为，即
∴解得
∴
∴抛物线的解析式为
………………………………………3分
（2）由可得
……………………………4分
∴
∴
当时，取到最小值2………………………………5分
此时，
∴直线解析式为
,……………………………………6分
（3）如图，设平移后的O、B两点为和
以、为边作平行四边形，则有
，
再将C点以x轴为对称轴对称到点，连接,
,则有
∴
………………………………………7分
又由（1）易知
∵
∴,
∴直线的解析式为
与x轴的交点为
∵为定值
∴当取最小值时L最小
此时,则………………………………………9分
又
∴………………………………………10分
29.（2015山东省菏泽市，21，10分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，k为正整数.
（1）求k的值；
（2）当此方程有一根为零时，直线y=x+2与关于x的二次函数的图象交于AB两点，若M是AB线段上的一个动点，过点M作MN⊥x轴，交二次函数的图象于点N，求线段MN的最大值及此时点M的坐标；
（3）将（2）中二次函数图象x轴下方的部分沿x轴翻折到轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后图象与原图象x轴上方的部分组成一个“W”形状的新图象，若直线与该新图象恰好有三个公共点，求b的值.
解：（1）∵关于x的一元二次方程=0有两个不相等的实数根.∴b2－4ac=4－4×＞0，
∴k－1＜2，∴k＜3.∵k为正整数，∴k的值是1,2.
把x=0代入到方程=0，得k=1,此时二次函数为y=x2+2x.
此时直线y=x+2与二次函数y=x2+2x的交点A(－2,0),B(1,3),
由题意可设M（m,m+2),其中－2＜m＜1，
则N（m,m2+2m),MN=m+2－（m2+2m)=－m2－m+2=－(m+)2+.
当m=－时，MN的长度最大值为，
此时点M的坐标为（－，）；
当y=x+b过点A时，直线与新图象有3个公共点，（如图2所示）
把A（－2,0）代入y=x+b得b=1，
当y=x+b与新图象的封闭部分有一个公共点时，直线与新图象有3个公共点，由于新图象的封闭部分与原图象的封闭部分关于x轴对称，所以其解析式为：y==－x2－2x.
∴有一组解，此时－x2－x－b=0有两个相等的实数根，
则（）2－4b=0，所以b=.
综上所述，b=1或b=.
30.（2015上海市，24，12分）已知在平面直角坐标系XOY中（如图6），抛物线与x轴的负半轴相交于点A，与y轴相交于点B，AB=.点P在抛物线上，线段AP与y轴的正半轴相交于点C，线段BP与x轴相交于点D.设点P的横坐标为m.
(1)求这条抛物线的表达式；
(2)用含m的代数式表示线段CO的长；
(3)当tan∠ODC=求∠PAD的正弦值.
【答案】（1）这条抛物线的表达式为;(2)线段CO的长;(3)∠PAD的正弦值
【解析】解：(1)∵AB=,OB=4
∴OA=2，即A(
∴二次函数解析式为
(2)由（1）得，P
∴
∴OC=
(3)tan∠ODC==
解得：m=3，m=－1(舍)
作PH⊥x轴
∴PH=
∴AP=
∴sin∠PAD=
31.（2015天津市，25，10分）已知二次函数（为常数）
（1）当时，求二次函数的最小值；
（2）当时，若在函数值的情况下，只有一个自变量与其对应，求此时二次函数的解析式；
（3）当时，若在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最小值为，求此时二次函数的解析式.
【答案】（1）当时，求二次函数的解析式为，即：
。∴当时，二次函数的最小值.
（2）当时，二次函数的解析式为.由题意得方程有两个相等的实数根.有，解得.此时二次函数的解析式为或.
（3）当时，二次函数的解析式为.它的图象开口向上，对称轴为的抛物线.
①若，即，若在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值随的增大而增大。故当时，为最小值.所以，解得（舍），；
②若，即.当时，为最小值.所以，解得（舍），（舍）；
③若，即.若在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值随的增大而减小.
当时，为最小值.所以时，即，解得（舍），.
综上所述，或.
∴此时二次函数的解析式为或.
【考点解剖】本题考查了二次函数表达式的确定、配方法、分类讨论等知识点，解题的关键是掌握二次函数的图像及性质，并能合理地进行分类讨论．
32.（2015浙江省衢州市，22，10分）小明在课外学习中遇到这样一个问题：定义：如果二次函数与满足
，则称这两个函数互为“旋转函数”。求函数的“旋转函数”。
小明是这样思考的，由函数可知根据
，求出，就能确定这个函数的“旋转函数”。
请参考小明的方法解决下面问题：
（1）写出函数的“旋转函数”。
（2）若函数与互为“旋转函数”，求的值。
（3）已知函数的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C,点A，B，C关于原点的对称点分别为,试证明经过点的二次函数与函数
互为“旋转函数”
【答案】(1)(2)－1(3)证明略
【解析】解：（1）由题可出的旋转函数为
（2）得m=－3，
（3）知由题可知
设经过点的二次函数为将代入得求得二次函数为
经判断，故经过点的二次函数与函数
互为“旋转函数”
33.（2015山东潍坊，24，14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点为A，与轴的交点分别为B（，0），C（，0），且.直线AD//x轴，在x轴上有一动点E（t，0），过点E作平行于y轴的直线与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q.
（1）求抛物线的解析式；
（2）当时，求△APC面积的最大值；
（3）当时，是否存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似.若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由.
解：（1）由题意知，是方程的两根，
∴.
由解得
∴B（2，0），C（6，0）.
则，解得，
该抛物线的解析式为.
（2）由，当时，则A（0，3），设直线AC的解析式为，
由解得
∴直线AC的解析式为.
要构成△APC，显然t≠6，下面分两种情况讨论：
①当时，设直线与AC的交点为F，则.
∵，∴.
∴
②当6＜t≤8时，延长AC交直线l于点H，则H（t，），
则PH=，
∴
此时，当t=8时，△APC面积的最大值是12＞.
综上，当t=8时，△APC面积的最大值是12．
（3）由题意可知：OA=3，OB=2，Q（t，3），t＞2.
①如图，当点P在直线AD下方时，
令△AOB∽△AQP，
∴，∴，解得：t=0（舍去）或．
令△AOB∽△PQA，
∴，∴，解得：t=0（舍去）或t=2（舍去）．
②当P在直线AD上方时，
△AOB∽△AQP，
∴，∴
解得t=0（舍去），或．
令△AOB∽△PQA，
∴，∴，
解得t=0（舍去）或t=14．
综上所述，满足条件的点P有3个，此时t的值分别是，，14．
34.（2015四川省广安市，26，10分）如图，边长为1的正方形ABCD一边AD在x负半轴上，直线l：经过点B（x，1）与x轴、y轴分别交于点H、F，抛物线y=－x2+bx+c顶点E在直线l上.
⑴求A、D两点的坐标及抛物线经过A、D两点时的解析式.
⑵当该抛物线的顶点E（m，n）在直线l上运动时，连接EA、ED，试求△EAD的面积S与m之间的函数解析式.并写出m的取值范围.
⑶设抛物线与y轴交于G点，当抛物线顶点E在直线l上运动时，以A、C、E、G为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，求出E点坐标；若不能，请说明理由.
解：⑴∵直线l：经过点B（x，1），∴1=，解得x=－2，∴B（－2，1），∴OA=2，∴OD=AD+OA=3，∴A（－2，0），D（－3，0），∵抛物线y=－x2+bx+c经过A、D两点，∴，解得，∴抛物线经过A、D两点时的解析式为y=－x2－5x－6.
⑵过点E作EM⊥x轴，
∵抛物线的顶点E（m，n）在上，∴，
∵直线与x轴的交点H（－4，0）
∴①当E在x轴上方时，即m＞－4时，EM=，
则S△EAD=，
②当E在x轴下方时，即m＜－4时，EM=－，
则S△EAD=，
∴，
⑶∵四边形ACEG为平行四边形，∴△ACD≌△GEN，则NG=AD=1，EN=CD=1，∵抛物线y=－x2+bx+c与y轴交点为G（0，c），∴E(－1，c+1)，∵点E在上，
∴，解得c=，∴c+1=，∴E(－1，).
35.（2015浙江省杭州市，20，10分）设函数y=(x－1)[(k－1)x+(k－3)]（k是常数）.
（1）当k取1和2时的函数y1和y2的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k取0时函数的图象；
（2）根据图象，写出你发现的一条结论；
（3）将函数y2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数y3的图象，求函数y3的最小值.
（第20题）
解：(1)当k=0时，y=－（x－1）(x+3),所画函数图象如图；
（2）①图象都过点（1,0）和点（－1,4）；②图象总交x轴于点（1,0）；③k取0和2时的函数图象关于点（0,2）中心对称；④函数y=（x－1）[(k－1)x+（x－3）]的图象都经过点（1,0）和（－1,4）；等等.（其他正确结论也行）
（3）平移后的函数y3的表达式为：y3=(x+3)2－2，所以当x=－3时，函数y3的最小值等于－2.
（第20题）
36.(2015年山东省济宁市)（本题满分11分）
如图，⊙E的圆心E（3，0），半径为5，⊙E与y轴相交于A、B两点（点A在点B的上方），与x轴的正半轴相交于点C；直线l的解析式为y=x+4，与x轴相交于点D；以C为顶点的抛物线经过点B。
求抛物线的解析式；
判断直线l与⊙E的位置关系，并说明理由；
动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时，求出点P的坐标及最小距离。
解：（1）连接AE
由已知得：AE=CE=5，OE=3，
在Rt△AOE中，由勾股定理得
OA=
∵OC⊥AB，
∴由垂径定理得，OB=OA=4，
OC=OE+CE=3+5=8，
∴A（0，4）B（0，－4）C（8，0）
∵抛物线的顶点为点C，
∴设抛物线的解析式为y=a,
将点B的坐标代入上解析式，得
64a=－4，故a=
∴y=
∴y=为所求抛物线的解析式……………………3分
（2）在直线l的解析式中，令y=0，得，解得
所以点D的坐标为（，0）；
当x=0时，y=4，所以点A在直线l上，
在Rt△AOE和Rt△DOA中，
∵，，∴，
∵∠AOE=∠DOA=90°，∴△AOE∽△DOA，∴∠AEO=∠DAO，
∵∠AEO+∠EAO=90°，∴∠DAO+∠EAO=90°，即∠DAE=90°，
因此，直线l与E相切于点A。…………………………7分
（3）过点P作直线l的垂线段PQ，垂足为Q；过点P作直线PM垂直于x轴，交直线l于点M。
设M（m，），P（，则
PM==
当m=2时，PM取得最小值。
此时，P（2，），
对于△PQM，∵PM⊥x轴，∴∠QMP=∠DAO=∠AEO，又∵∠PQM=90°，
∴△PQM的三个内角固定不变，
∴在动点P运动的过程中，△PQM的三边的比例关系不变，
∴当PM取得最小值时，PQ也取得最小值，
所以，当抛物线上的动点P的坐标为（2，）时，点P到直线l的距离最小，其最小距离为。………………………………………………11分
37.（2015江苏省泰州市，22，10分）（本题满分10分）
已知二次函数y=x2＋mx＋n的图像经过点P（?3，1），对称轴是经过（?1,0）且平行于y轴的直线.
（1）求m、n的值；
（2）如图，一次函数y=kx＋b的图像经过点P，与x轴相交于点A，与二次函数的图像相交于另一点B，点B在点P的右侧，PA﹕PB=1﹕5，求一次函数的表达式．
解：（1）由题意得，∴m=2，n=－2；
（2）分别过点P、B作x轴的垂线，垂足分别为点C、D，
则PC∥BD，
∴△APC∽△ABD，
∴，
∵PA﹕PB=1﹕5，
∴，
∴BD=6，
令x2＋2x－2=6，得x1=2，x2=－4（舍去），
∴点B坐标为（2，6），
∴，解之，得，
∴一次函数的表达式为y=x＋4．
38.（2015内蒙古呼和浩特，25，12分）已知：抛物线y=x2+(2m－1)x+m2－1经过坐标原点，且当x<0时，y随x的增大而减小.
(1)求抛物线的解析式，并写出y<0时，对应x的取值范围;
(2)设点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于点B，DC⊥x轴于点C.
①当BC=1时，直接写出矩形ABCD的周长;
②设动点A的坐标为(a，b)，将矩形ABCD的周长L表示为a的函数并写出自变量的取值范围，判断周长是否存在最大值，如果存在，求出这个最大值，并求出此时点A的坐标;如果不存在，请说明理由.
解：(1)∵抛物线经过坐标原点(0,0)
∴m2－1=0
∴m=±1
∴y=x2+x或y=x2－3x.
∵x<0时，y随x的增大而减小，
∴y=x2－3x.
由图象知：y<0时，0
(2)①当BC=1时,由抛物线的对称性知点B的横坐标为1，从而点A的纵坐标为－2．∴AB=2，所以矩形的周长为2×（1+2）=6；
②∵点A的坐标为（a，b），
∴当点A在对称轴左侧时，如图1，矩形ABCD的一边BC=3－2a，另一边AB=3a－a2.
周长L=－2a2+2a+6,其中0＜a＜.
当点A在对称轴右侧时,如图,2，矩形的一边BC=3－(6－2a)=2a－3,另一边AB=3a－a2，
周长L=－2a2+10a－6，其中＜a＜3.
∴当0＜a＜时，L=－2(a－)2+∴当a=时，L最大=，A点坐标为(,－)；
当＜a＜3时，L=－2(a－)2+∴当a=时，L最大=，A点坐标为(,－).
图1图2
39.（2015山东济南，28，9分）
抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)过点A（1，－1），B（5，－1），与y轴交于点C.
(1)求抛物线的函数关系式；
（2）如图1，连接CB，以CB为边作□CBPQ,若P在直线BC上方的抛物线上，Q为坐
标平面内的一点，且□CBPQ的面积为30，求点P的坐标：
(3)如图2，！！！！！！O1过A、B、C三点，AE为直径，点M为！！！！！！！（7个！）上的一动点（不与点A、E重合），∠MBN为直角，边BN与ME的延长线交于N，求线段BN长度的最大值.
【答案】
【解析】解：
（1）把A（1，－1）B（5，－1）代入
－1=a+b+4
－1=25a+5b+4
∴a=1
b=－6
∴
设p（，）
则S△CBP=15（S△CBP=梯形－两个直角三角形）
∴
∵m＞0
∴m=6
∴P（6,4）
（3）连接AB，EB
则可知∠ABE=90°=∠MBN
又∵∠EAB=∠EMB
∴△EAB∽△NMB
∴01在AB的中垂线上
∴设O1（3，m）
∵m=2
∴O1（3,2）
∴E（5,5）
∴AB=4，EB=6
∵△EAB∽△NMB
∴
∴
∴
∴当MB为直径时，MB最大此时NB最大
∴MB=AE=
∴NB==最大
40.（2015浙江宁波，23，10分）已知抛物线，其中m是常数.
(1)求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；
(2)若该抛物线的对称轴为直线
①求该抛物线的函数解析式；
②该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点.
【答案】解：(1)证明：∵
由y=0得,,
∵m≠m+1，
∴抛物线与x轴一定有两个交点(m，0)，(m+1，0).
(2)①∵
∴抛物线的对称轴为直线,解得m=2，
抛物线的函数解析式为.
②∵,
∴该抛物线沿y轴向上平移个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点.
41.（2015浙江宁波，25，12分）如图1，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，如果∠APB绕点P旋转时始终满足，我们就把∠APB叫做∠MON的智慧角.
(第25题图)
(1)如图2，已知∠MON=90°,点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，且∠APB=135°.
求证：∠APB是∠MON的智慧角.
(2)如图1，已知∠MON=α(0°<α<90°)，OP=2.若∠APB是∠MON的智慧角，连结AB，用含α的式子分别表示∠APB的度数和△AOB的面积.
(3)如图3，C是函数图象上的一个动点，过C的直线CD分别交x轴和y轴于A，B两点，且满足BC=2CA，请求出∠AOB的智慧角∠APB的顶点P的坐标.
【答案】解：(1)证明：∵∠MON=90°，P是∠MON平分线上一点，
∴∠AOP=∠BOP=∠MON=45°.
∵∠AOP+∠OAP+∠APO=180°，
∴∠OAP+∠APO=135°.
∵∠APB=135，∴∠APO+∠OPB=135°，
∴∠OAP=∠OPB,
∴△AOP∽△POB，
∴,∴,
∴∠APB是∠MON的智慧角.
(2)∵∠APB是∠MON的智慧角，
∴,∴
∵P为∠MON平分线上一点，
∴∠AOP=∠BOP=
∴△AOP∽△POB，∴∠OAP=∠OPB，
∴∠APB=∠OPB+∠OPA=∠OAP+∠OPA=180°－,
即∠APB=180°－.
过A作AH⊥OB于H，
∴
∵OP=2,
∴
(3)设点C(a，b)，则ab=3，
过点C作CH⊥OA，垂足为点H，
i)当点B在y轴的正半轴上时，
当点A在x轴的负半轴上时，BC=2CA不可能；
当点A在x轴的正半轴上时，
∵BC=2CA，∴,
∵CH∥OB，∴△ACH∽△ABO,
∴,
∴OB=3b,OA=.
∴.
∵∠APB是∠AOB的智慧角，
∴,
∵∠AOB=90°，OP平分∠AOB，
∴点P的坐标为(,).
ii)当点B在y轴的负半轴上时，
∵BC=2CA,∴AB=CA.
∵∠AOB=∠AHC=90°,
又∵∠BAO=∠CAH，∴△ACH≌△ABO，
∴OB=CH=b，OA=AH=，∴
∵∠APB是∠AOB的智慧角，∴,
∵∠AOB=90°，OP平分∠AOB，
∴点P的坐标为(,).
∴点P的坐标为(,)或(,).
42.（2015四川省绵阳市，24，12分）已知抛物线与y轴相交于A点，顶点为M，直线分别与x轴、y轴相交于B、C两点，并且与直线MA相交于N点．
（1）若直线BC和抛物线有两个不同交点，求a的取值范围，并用a表示交点M、A的坐标；
（2）将△NAC沿着y轴翻折，若点N的对称点P恰好落在抛物线上，AP与抛物线的对称轴相交于点D，连结CD，求a的值与△PCD的面积；
（3）在抛物线上是否存在点P，使得以P、A、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）M（－1,1+a）；（2），；（3）存在，当P点为和时，A、C、P、N能够成平行四边形．
【解析】解：（1）由题意得联立，整理得．
由，解得．
∵a≠0，∴且a≠0．
令x=0，得y=a，∴A（0，a）．
由，得M（－1,1+a）
（2）设直线MA为，代入A（0，a）、M（－1,1+a）
得解得，故直线MA为．
联立解得．
由于P点是N点关于y轴的对称点，∴，
将P点代入，得，解得或（舍去）
∴．
∴
（3）①当点p在y轴左侧时，由四边形ACPN为四边形，则AC与PN相互平分，点P与N关于原点（0,0）中心对称，而故
代入得
②点P在y轴右侧时，由四边形ACPN为四边形，则NP//AC且NP=AC，而故
代入得解得∴P
∴当P点为和时，A、C、P、N能够成平行四边形．
43.（2015山东烟台，24，12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与⊙M相交于A，B，C，D四点，其中A，B两点坐标升别为(－1，0)，(0，－2)，点D在.x轴上且AD为⊙M的直径，点E是⊙M与y轴的另一个交点，过劣弧上的点F作FH⊥AD于点H，且FH=1.5.
（1）求点D的坐标及抛物线的表达式；
（2）若点P是x轴上的一个动点，试求出△PEF的周长最小时点P的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QCM是等腰三角形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由.
解：（1）连接MB，设⊙M的半径为r.
∵A(－1，0)，B(0，－2)，
∴Rt△OMB中，OB=2，OM=r－1，
由勾股定理得22+(r－1)2=r2.
∴r=.
∴AD=5.
∴点D的坐标是(4，0).
∵抛物线y=ax2+bx+c过点A(－1，0)，B(0，－2)，D(4，0)，
解得a=，b=－，c=－2.
∴抛物线的表达式为y=x2－x－2.
（2）连接BF，与x轴相交于点P，则点P即为所求.连接MF.
∵在△MFH中，MF=2.5，FH=1.5，
∴MH==2.
∴OH=3.5.
由题意得△POB∽△PHF，∴=.
即=.
∴OP=2.
∴△PEF的周长最小时点P的坐标是(2，0).
（3）存在，Q1(，)，Q2(，－)，Q3(，－4)，Q4(，－).
44.（2015湖南株洲，24，10分）已知抛物线的表达式为
（1）若抛物线与轴有交点，求的取值范围；
（2）设抛物线与轴两个交点的横坐标分别为、，若，求的值；
（3）若P、Q是抛物线上位于第一象限的不同两点，PA、QB都垂直于轴，垂足分别为A、B，且△OPA与△OQB全等，求证：
【答案】（1）（2）c=－5（3）
【解析】解：（1）∵与轴有交点
∴有实数根
∴△＝
即：
解之得：
（2）∵有解，且
∴，
即：
解之得：
（3）设P的坐标为，则Q点坐标为，且，
将这两个点的坐标代入方程得：
（1）－（2）得：
故可得：
故可得
代入方程（2）得：
因为存在这样的点，所以上方程有解，所以判别式
即
故：
而当时，，此时
故
45.（2015江苏省无锡市，27，10）（本题满分10分）一次函数y＝x的图像如图所示，它与二次函数y＝ax－4ax＋c的图像交于A、B两点（其中点A在点B的左侧），与这个二次函数图像的对称轴交于点C．
（1）求点C的坐标．
（2）设二次函数图像的顶点为D．
①若点D与点C关于x轴对称，且△ACD的面积等于3，求此二次函数的关系式．
②若CD＝AC，且△ACD的面积等于10，求此二次函数的关系式．
【答案】（1）（2，）；（2）①；②或
【解答】解：（1）
∴二次函数的对称轴为x=2
当x=2时，
∴C点坐标为（2，）
（2）①若点D和点C关于x轴对称，则点D坐标为（2，），CD=3
∵△ACD的面积等于3
∴点A到CD的距离为2,
∴点A的横坐标为0（点A在点B左侧）
∵点A在直线上
∴点A的坐标为（0，0）
将点A，点D坐标代入二次函数解析式，得
∴二次函数解析式为
②若CD=AC，如图，设CD=AC=x（x>0）
过A点作AH⊥CD，则AH=AC=x
∵x>0∴x=5
D点坐标为（2，）或（2，），A点坐标为（－2，）
将A（－2，），D（2，）代入二次函数中，得
∴二次函数解析式为
将A（－2，），D（2，）代入二次函数中，得
∴二次函数解析式为
综上可得，二次函数关系式为：或
46.（2015湖南省益阳市，21，15分）已知抛物线E1：经过点A(1，m)，以原点为顶点的抛物线E2经过点B(2，2)，点A、B关于y轴的对称点分别为点．
（1）求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式；
（2）如图10－1，在第一象限内，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q、B、为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图10－2，P为第一象限内的抛物线E1上与点A不重合的一点，连接OP并延长与抛物线E2相交于点，求与的面积之比．
【答案】（1）m=1，抛物线E2所对应的二次函数表达式为；（2）存在符合条件的点Q坐标为(2，4)与(，3)．（3）
【解析】解：（1）∵抛物线E1经过点A(1，m)，
∴m=12=1．
∵抛物线E2的顶点在原点，可设它对应的函数表达式为()，
又点B(2，2)在抛物线E2上，∴，解得:，
∴抛物线E2所对应的二次函数表达式为．
（2）假设在第一象限内，抛物线E1上存在点Q，使得△为直角三角形，由图象可知直角顶点只能为点B或点Q．
①当点B为直角顶点时，过B作交抛物线E1于Q，
则点Q与B的横坐标相等且为2，将x=2代入y=x2得y=4，
∴点Q的坐标为(2，4)．
②当点Q为直角顶点时，则有，过点Q作于G，
设点Q的坐标为(t，t2)()，
则有，
整理得：,
∵,∴，解得，(舍去)，
∴点Q的坐标为(，3)，
综合①②，存在符合条件的点Q坐标为(2，4)与(，3)．
（3）过点P作PC⊥x轴,垂足为点C，PC交直线于点E，过点作D⊥x轴,垂足为点D，D交直线于点F，
依题意可设P(c，c2)、(d，)(c>0，)，
∵，∴，∴d=2c．
又=2，=4，
∴．
21题解图121题解图2
47.（2015贵州遵义，27，14分）如图，抛物线与x轴交于A（－4,0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，当以A、C、D为顶点的三角形面积最大时，求点D的坐标及此时三角形的面积；
（3）以AB为直径作⊙M，直线经过点E（－1，－5），并且与⊙M相切，求该直线的解析式．
【答案】（1）；（2）点D坐标为（－2，2）此时△ACD
有最大面积，为2；（3）符合条件的直线解析式为：或．
【解析】解：（1）设y=a(x+4)(x－2)过（0，2）
∴－8a=2
∴
∴．
（2）如图所示，作DH∥y轴交AC于点H，
设直线AC的解析式：y=kx+2过（－4，0）
∴－4k+2=0∴
∴
设点D（m，），H（m，）（－4＜m＜0）
∴DH=（）－（）=
而AO=4，
∴S△ACD=DH·AO=×()×4=
其中当时，Smax=，
此时yD==2
∴当点D坐标为（－2，2）时，△ACD有最大面积，为2．
（3）如图（1）所示，设直线EF1与⊙M相切，其中切点为F1，作F1G⊥x轴交x轴于点G；
∵A（－4，0），B（2，0）
∴AB的中点M（－1，0），⊙M的半径r=3，
∵E（－1，－5），M（－1，0）
∴EM=5
在Rt△MEF1中，∠MF1E=90°，∴cos∠F1ME==，
易得：F1G∥ME，∴∠GF1M=∠F1ME
∴cos∠GF1M=cos∠F1ME=
在Rt△GF1M中，∠F1GM=90°，∴cos∠GF1M===
∴F1G=
由勾股定理得：GM=，∴GO=GM+MO=+1=
∴F1（，）
此时直线EF的解析式为：；
如图（2），同理可得：F2（，），此时直线EF的解析式为：；
综上所述，过点E并且于⊙M相切的直线解析式为：或．
48.（2015山东日照市，22，14分）（本题满分14分）
如图，抛物线与直线交于A、B两点，交轴于D、C两点，连接ＡＣ，BC，已知A（0,3）C（3，0）
（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下：
（1）P为轴右侧抛物线上一动点，连接ＰＡ，过点Ｐ作ＰＱ⊥PA交轴于点Q，问：是否存在点P使得以Ａ、P、Q为顶点的三角形与△ＡＣＢ相似？若存在，请求出所有符合条件的点Ｐ的坐标，若不存在，请说明理由。
（２）设Ｅ为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段ＤＥ以每秒一个单位的速度运动到Ｅ点，再沿线段ＥＡ以每秒个单位的速度运动到点A后停止，当点E坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？
【答案】（1）抛物线的解析式为，
tan∠BAC=
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下：
（1）∴(,)
(2)E1（2,1）
【解析】
（Ⅰ）∵抛物线经过A（0,3）C（3，0）两点，
∴，，
求抛物线的解析式为，
方法一：又∵，∴
∴时，，点B（4,1），
解析式：，当时，，
∴点D（2,0），点C（3,0），
设直线与轴交于点E，，当时，，点E（6,0）
点C（3,0），点E（6,0）∴CE=3
，
∴=
tan∠BAC=
方法二：过点E作BE⊥轴，∵点C（3,0），点B（4,1），
∴AO=CO，AO⊥CO，BE=CE,BE⊥CE,
∴∠OCA=∠BCE=45°，
∴∠ACB=90°，
，同理，
tan∠BAC=
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下：
（1）设存在点P，使得△ＡPQ∽△ＡＣＢ如图，
①若，设AQ=m,则PQ=3m,
∴P(3m,3－m),P在解析式：上，
，，
∵P为轴右侧抛物线上一动点
∴(,)
②若，设AQ=3m,则PQ=m,
∴P(m,3－3m),P在解析式：上，
，，
∵P为轴右侧抛物线上一动点
∴P不存在。故
∴(,)
（2）如图：由题意可得：
M在整个运动时间=
过点E作EF⊥轴于点F，
∴A
∴M在整个运动时间==DE+EF
过点D作直线AC的对称点D1，过点Ｄ１作D1F1⊥轴于点F1，交AC于点E1，
∴E1为所求作的点。
点Ｄ（２,０），D1（3,1）
即直线与的交点，
∴E1（2,1）
49.（2014江苏省苏州市，27，10分）如图，已知二次函数（其中0＜m＜1）的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．设P为对称轴l上的点，连接PA、PC，PA=PC．
（1）∠ABC的度数为▲°；
（2）求P点坐标（用含m的代数式表示）；
（3）在坐标轴上是否存在点Q（与原点O不重合），使得以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，且线段PQ的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）45．理由如下：
令x=0，则y=－m，C点坐标为（0，－m）．
令y=0，则，解得，．
∵0＜m＜1，点A在点B的左侧，
∴B点坐标为（m，0）．∴OB=OC=m．
∵∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∠OBC＝45°．
（2）解法一：如图①，作PD⊥y轴，垂足为D，设l与x轴交于点E，
由题意得，抛物线的对称轴为．
设点P坐标为（，n）．
∵PA=PC，∴PA2=PC2，即AE2+PE2=CD2+PD2．
∴．
解得．∴P点的坐标为．
解法二：连接PB．
由题意得，抛物线的对称轴为．
∵P在对称轴l上，∴PA=PB．
∵PA=PC，∴PB=PC．
∵△BOC是等腰直角三角形，且OB=OC，∴P在BC的垂直平分线上．
∴P点即为对称轴与直线的交点．∴P点的坐标为．
（3）解法一：存在点Q满足题意．
∵P点的坐标为，
∴PA2+PC2=AE2+PE2+CD2+PD2
=．
∵AC2=，∴PA2+PC2=AC2．∴∠APC＝90°．∴△PAC是等腰直角三角形．
∵以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，∴△QBC是等腰直角三角形．
∴由题意知满足条件的点Q的坐标为（－m，0）或（0，m）．
①如图①，当Q点的坐标为（－m，0）时，
若PQ与x轴垂直，则，解得，PQ=．
若PQ与x轴不垂直，
则．
∵0＜m＜1，∴当时，取得最小值，PQ取得最小值．
∵＜，∴当，即Q点的坐标为（，0）时，PQ的长度最小．
②如图②，当Q点的坐标为（0，m）时，
若PQ与y轴垂直，则，解得，PQ=．
若PQ与y轴不垂直，
则．
∵0＜m＜1，∴当时，取得最小值，PQ取得最小值．
∵＜，∴当，即Q点的坐标为（0，）时，PQ的长度最小．
综上：当Q点坐标为（，0）或（0，）时，PQ的长度最小．
解法二：如图①，由（2）知P为△ABC的外接圆的圆心．
∵∠APC与∠ABC对应同一条弧，且∠ABC＝45°，∴∠APC＝2∠ABC＝90°．
下面解题步骤同解法一．
50.（2015贵州省铜仁市，25，14分）如图，已知：关于x的二次函数的图象与x轴交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)，抛物线的对称轴与x轴交于点D.
(1)求二次函数的表达式；(4分)
(2)在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形.若存在，请求出点P的坐标；(5分)
(3)有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到
达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积.(5分)
【答案】解：
(1)A(1，0)，C(0，3)的函数的图象上
∴0=1+b+cc=3
∴b=－4，即二次函数的表达式是
（2）如图1，当BC为底边时，作BC的垂直平分线，则P(0，0)
当BC为腰时，分别以B、C为圆心作圆
则P(0，3+)；P（3，3－）；P（0，－3）
第25题图1
（3）
第25题图2第25题图3
如第25题图2、3，设经过的时间为t时，△MNB的面积为：
S=MB·DN=(3－1－t)2t==
∴当t=1时，△MNB的面积最大，最大的值为2，
其中M、N的坐标分别为M（2，0），N（2，－2）或M（2，0），N（2，2）
51.（2015江西省，第23题，10分）如图，已知二次函数L1：y＝ax2－2ax＋a＋3(a>0)和二次函数L2：y＝－a(x＋1)2＋1(a>0)图像的顶点分别为M，N，与y轴分别交于点E，F．
(1)函数y＝ax2－2ax＋a＋3(a>0)的最小值为；当二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而减小时，x的取值范围是；
(2)当EF＝MN时，求a的值，并判断四边形ENFM的形状(直接写出，不必证明)；
(3)若二次函数L2的图象与x轴的右交点为A(m，0)，当△AMN为等腰三角形时，求方程
－a(x＋1)2＋1＝0的解．
【答案】（1）3，（2）四边形ENFM是矩形(3)
【解析】解：（1）∵，∴；
∵，∴当时，L1的值随着的增大而减小，当时，L2的值随着的增大而减小，∴的取值范围是
（2）∵，∴，
∵，∴，
∴，
如图，∵，∴，
∴，∴AM=AN
∵，∴
∴，∴AE=AF
∴四边形是平行四边形，
已知，
∴四边形ENFM是矩形（对角线相等且互相平分的四边形是矩形
（3）∵，，
∴
当时，有，∴，等式不成立；
当时，有∴；
当时，有，∴
∴或，∵的对称轴为，
∴左交点坐标分别是（－4,0）或（，0），
∴方程的解为.
52.（2015广东省深圳市，23，9分）如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的图象过点A（－3，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）探究：在抛物线的对称轴DE上是否存在点P，使得点P到直线AD和到x轴的距离相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）探究：在对称轴DE左侧的抛物线上是否存在点F，使得2S△FBC＝3S△EBC？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）y＝－x2－2x＋3
（2）P1（－1，－1）P2＝（－1，－－1）
（3）F（，）
【解析】（1）将A（－3，0），C（0，3）代入y＝－x2＋bx＋c
解∴y＝－x2－2x＋3
（2）方法一：存在，
当P在∠DAB的角平分线上时，如答图1，作PM⊥AD，设P（－1，y0），
则PM＝PDsin∠ADE＝(4－y0)，PE＝y0
∵PM＝PE，
∴(4－y0)＝y0，解得y0＝－1，P（－1，－1）
当P在∠DAB的外角平分线上时，如答图2，
作PN⊥AD，设P（－1，y0），
则PN＝PDsin∠ADE＝(4－y0)，PE＝－y0
∵PM＝PE，
∴(4－y0)＝－y0，解得y0＝－－1，P（－1，－－1）
综上所述，P点坐标为P（－1，－1）或P（－1，－－1）
方法二：存在，设P（－1，y0）
AD解析式：y＝2x＋6
则：|y0|＝（利用点到直线的距离公式）
解得：y0＝－1或y0＝－－1
∴P1（－1，－－1），P2（－1，－1）
（3）方法一：
S△BCE＝3，又S△FBC＝3S△EBC
∴S△FBC＝
如答图3，过F作FQ⊥x轴交BC延长线于Q，
则S△FBC＝FQ?OB＝FQ＝
BC：y＝－3x＋3
设F（x0，－x02－2x0＋3），则Q（x0，－3x0＋3）
∴－3x0＋3＋x02＋2x0－3＝9
∴x02－x0－9＝0
∴x0＝，（x0＝舍去）
∴F（，）
方法二：S△BCE＝3，又2S△FBC＝3S△EBC
∴S△FBC＝
如答图4，过F点作FG∥BC，交x轴于G点
则GB＝＝3，可得G（－2，0）
∵kGF＝kBC＝－3
∴GF：y＝－3x＋6
∴
解得x1＝，x2＝（舍去）
∴F（，）
53.（2015湖南省永州市，26，10分）已知抛物线y＝ax2＋bx十c的项点为(1，0)，与y轴的交点坐标为(0，)，R(1,1)是抛物线对称轴l上的一点.
(1)求抛物线y＝ax2＋bx十c的解析式；
(2)若P是抛物线上的一个动点（如图一），求证：点P到R的距离与点P到直线y＝－1的距离恒相等；
(3)设直线PR与抛物线的另一个交点为Q，,F为线段PQ的中点，过点P，E,Q分别作直线y＝－1的垂线，垂足分别为M，F，N（如图二）.求证：PF⊥QF.
(第26题图一)(第26题图二)
【答案】(1)y＝(x－1)2；(2)证明略；(3)证明略；.
【解析】解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx十c的项点为(1，0)，
∴可设其解析式为y＝a(x－1)2.
把(0，)代入上式，得=a(0－1)2.解得a＝.
∴抛物线的解析式为y＝(x－1)2.
(2)设点P的坐标为(x，(x－1)2),则
PM＝(x－1)2＋1,PR＝＝(x－1)2＋1,∴PM＝PR.
(3)(2)中已证PM＝PR..与(2)中同理可得：QN＝QR.∴PM＋QN＝PR＋QR＝PQ.
∵QN∥EF∥PM,且QE＝PE,∴NF＝MF.∴EF＝(QN＋PM).∴EF＝PQ.又∵QE＝PE,∴△PQF是直角三角形，且∠PFQ＝90°.∴PF⊥QF.
54.（2015江苏淮安，28，14分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8 ，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向点B匀速运动；同时，动点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿BA向点A匀速运动，过线段MN的中点G作边AB的垂线，垂足为点G，交△ABC的另一边于点P，连接PM、PN。当点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动，设运动时间为t秒。
（1）当t=秒时，动点M、N相遇；
（2）设△PMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（3）取线段PM的中点K，连接KA、KC。在整个运动过程中，△KAC的面积是否变化？若变化，直接写出它的最大值和最小值；若不变化，请说明理由。
【答案】(1)2.5(2)(3)
【解析】解：（1）∠ACB=90°，AC=6，BC=8，所以AB=10
因为AM=t，BN=3t，所以3t+t=10所以t=2.5
（2）因为BN=3t，AM=t，所以MN=10－4t，GN=5－2t，所以BG=5－2t+3t=5+t
因为所以所以PG=
所以所以
（3）
55.（2015年江苏扬州市）（本题满分12分）科研所计划建一幢宿舍楼，因为科研所实验中会产生辐射，所以需要有两项配套工程：①在科研所到宿舍楼之间修一条笔直的道路；②对宿舍楼进行防辐射处理，已知防辐射费万元与科研所到宿舍楼的距离之间的关系式为：（0≤≤9），当科研所到宿舍楼的距离为1时，防辐射费用为720万元；当科研所到宿舍楼的距离为9或大于9时，辐射影响忽略不计，不进行防辐射处理，设每公里修路的费用为万元，配套工程费=防辐射费+修路费
（1）当科研所到宿舍楼的距离为=9时，防辐射费=万元；，
（2）若每公里修路的费用为90万元，求当科研所到宿舍楼的距离为多少时，配套
工程费最少？
（3）如果配套工程费不超过675万元，且科研所到宿舍楼的距离小于9，求每公里
修路费用万元的最大值
56.（2015湖南常德，25，10分）如图10，曲线是抛物线的一部分，且表达式为,曲线与曲线关于直线x=3对称.
⑴求A、B、C三点的坐标和曲线的表达式；
⑵过点C作直线CD∥x轴交曲线于点D，连接AD，在曲线上有一点M，使得四边形ACDM为筝形（如果一个四边形的一条对角线被另一条对角线垂直平分，则这样的四边形为筝形），请求出点M的横坐标；
⑶设直线CM与x轴交于点N，试问在线段MN下方的曲线上是否存在一点P，使△PMN的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】⑴A(－1,0);B(3,0);C(0,);；
⑵
⑶存在，
【解析】解：⑴令
解得，
∴A点坐标为（－1，0），B点坐标为（3，0），
将x=0代入中，
∴A点坐标为（－1，0），B点坐标为（3，0），C点坐标为（0，）
∵曲线与曲线关于直线x=3对称
∴曲线与x轴交于点（3，0），（7，0）
∴曲线表达式为：
即：
（2）令
解得
∴D（2,）
∴CD=2,
∵AC=
∴AC=CD
∴点C在AD的垂直平分线上，
如图10－1，取AD的中点E，则E（），即E（）
设直线CE的表达式为：，代入C（0，），E（）
，解得
∴直线CE的表达式为：
令
解得,(舍去)
∴点M的横坐标为
⑶存在.
如图10－1，在线段MN下方的曲线上取一点P，设P（），过P点作直线PQ⊥x轴，交线段MN于点Q，则Q（）
∴PQ=，
=
=
∵
∴当时，PQ最长，此时△PMN的面积也最大
当时，
∴点P的的坐标为
57.（2015娄底市，26，10分）
如图，抛物线y=ax2+bx－经过点A(1，0)和点B(5，0)，与y轴交于点C。
（1）求抛物线的解析式；
（2）以点A为圆心，作与直线BC相切的○A，求○A的半径；
（3）在直线BC上方的抛物线上任取一点P，连接PB、PC，请问：△PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值和此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】
（1）
（2）
（3）△BCP的面积=；点p的坐标为（，）
【解析】
解：（1）将点A和点B的坐标代入函数的解析式得：
解得：
所以抛物线得解析式为:
（2）作AD⊥BC，垂足为D.
将x=0代入抛物线的解析式得：y=
∴△ABC的面积==×4×=
在Rt△OBC中，BC==
△ABC的面积==××AD=
∴AD=
所以○A的半径为.
(3)过点p作EF∥BC，EF交y轴于点E，当EF与抛物线相切时，△BCP的面积最大.
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0）
将点B和点C的坐标代入得：
解得：k=
设直线EF的解析式为y=x+c,
将y=x+c,代入得;x+c=
整理得：
∵直线EF与抛物线相切
∴△=0
即：25－4（3c+5）=0
解得：c=
∴直线EF的解析式为y=x+
∴x+=
解得：x=
将x=代入y=x+得：y=
所以点p的坐标为（，）
作EG⊥CB，则
∴AG=
∴△BCP的面积==
57.（2015成都市）（本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．
（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；
（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；
（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】：（1）A（－1，0），；
（2）；
（3）P的坐标为（1，）或（1，－4）
【解析】：解：
（1）A（－1，0）
∵直线l经过点A，∴0＝－k＋b，b＝k
∴y＝kx＋k
令，即
∵CD＝4AC，∴点D的横坐标为4
∴，∴k＝a
∴直线l的函数表达式为：
（2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F
设E（x，），则F（x，）
EF＝－()＝
S△ACE＝S△AFE－S△CFE
∴△ACE的面积的最大值为.
∵△ACE的面积的最大值为
∴＝，解得
（3）令＝()，即＝0
解得x1＝－1，x2＝4
∴D（4，5a）
∵y＝，∴抛物线的对称轴为x＝1
设P（1，m）
①若AD是矩形的一条边，则Q（－4，21a）
m＝21a＋5a＝26a，则P（1，26a）
∵四边形ADPQ为矩形，∴∠ADP＝90°
∴AD2＋PD2＝AP2
∴
即，∵a＜0，∴
∴P1（1，）
②若AD是矩形的一条对角线
则线段AD的中点坐标为（，），Q（2，－3a）
m＝5a－(－3a)＝8a，则P（1，8a）
∵四边形APDQ为矩形，∴∠APD＝90°
∴AP2＋PD2＝AD2
∴
(－1－1)2＋(8a)2＋(1－4)2＋(8a－5a)2＝52＋(5a)2
即，∵a＜0，∴
∴P2（1，－4）
综上所述，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形
点P的坐标为（1，）或（1，－4）
58.(2015年湖南衡阳，27，10分)如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的橫坐标为２，连结AM、BM.
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）判断△ABM的形状，并说明理由；
（3）把抛物线与直线y＝x的交点称为抛物线的不动点，若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（m，2m），当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点.
【答案】(1)；（２）直角三角形；（３）m≤
【解析】解：（１）∵抛物线的顶点在y轴上，
∴设抛物线解析式为.
∵直线y＝x+1交x轴于点A，
∴点A坐标（－1，０）.
把x＝２代入y＝x+1,得y＝３.
∴点B坐标为（２，3）.
把点A（－1，０）,B（２，3）代入，得，解得.
∴抛物线解析式为.
（２）△ABM为直角三角形.
理由：∵点A（－1，０）,B（２，3），M（0，－1）
∴AB＝＝，
AM＝＝，
BM＝＝.
∵＝20，＝20
∴＝，
∴△ABM为直角三角形，且∠BAM＝90°.
（３）∵将抛物线平移，使顶点为（m，2m），
∴设平移后抛物线解析式为
∵抛物线与直线y＝x的交点为不动点，
∴
∴.
要使抛物线总有不动点，必使△≥0
即≥0，m≤.
∴当m≤时，平移后的抛物线总有不动点.
（图1）
（图2）
（第27题图）
图10－2
图10－1
y
x
O
y＝x
（第27题）
（
（
M
F
x
O
E
B
C
H
D
A
y
F
x
O
E
B
C
H
D
A
y
l
x
y
O
（第23题图3）
（第23题图2）
M
（第23题图1）
（第27题）
x
y
O
A
B
C
D
N
M
第25题图
x
y
O
A
B
D
l
C
E
x
y
O
A
B
D
l
C
备用图
x
y
O
A
B
D
l
C
E
F
x
y
A
B
D
l
C
Q
P
O
x
y
O
A
B
D
l
C
P
Q
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