Gothedistance
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题型练7大题专项(五)
解析几何综合问题
1.
(2015甘肃兰州一中三模)如图,椭圆C:??2??2+??2??2=1(a>b>0)的离心率e=35,左焦点为F,A,B,C为其
三个顶点,直线CF与AB交于点D,若△ADC的面积为15.
(1)求椭圆C的方程.
(2)是否存在分别以AD,AC为弦的两个相外切的等圆?若存在,求出这两个圆的圆心坐标;若
不存在,请说明理由.
2.已知椭圆C:??2??2+??2??2=1(a>b>0)经过点(1,√32),离心率为√32.
(1)求椭圆C的方程;
(2)不垂直于坐标轴的直线l与椭圆C交于A,B两点,以AB为直径的圆过原点,且线段AB的
垂直平分线交y轴于点P(0,-32),求直线l的方程.
3.(2015浙江重点中学协作体测试)已知椭圆??2??2+??2??2=1(a>b>0)的离心率为12,且经过点P(1,32).
过它的两个焦点F1,F2分别作直线l1与l2,l1交椭圆于A,B两点,l2交椭圆于C,D两点,且l1⊥l2.
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(1)求椭圆的标准方程;
(2)求四边形ACBD的面积S的取值范围.
4.已知抛物线C:y2=2px(p>0),过焦点且斜率为1的直线m交抛物线C于A,B两点,以线段AB
为直径的圆在y轴上截得的弦长为2√7.
(1)求抛物线C的方程.
(2)过点P(0,2)的直线l交抛物线C于F,G两点,交x轴于点D,设?????????=λ1?????????,?????????=λ2?????????,试问
λ1+λ2是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
5.已知椭圆C:??2??2+??2??2=1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,直
线x+y+1=0与以椭圆C的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆相切.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设P为椭圆C上一点,若过点M(2,0)的直线l与椭圆C相交于不同的两点S和T,满足
?????????+?????????=t?????????(O为坐标原点),求实数t的取值范围.
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6.(2015湖南高考)已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2:??2??2+??2??2=1(a>b>0)的一个焦
点,C1与C2的公共弦的长为2√6.
(1)求C2的方程;
(2)过点F的直线l与C1相交于A,B两点,与C2相交于C,D两点,且?????????与??????????同向.
①若|AC|=|BD|,求直线l的斜率;
②设C1在点A处的切线与x轴的交点为M,证明:直线l绕点F旋转时,△MFD总是钝角三角
形.
参考答案
1.解:(1)设左焦点F的坐标为(-c,0),其中c=√??2-??2,∵e=????=35,∴a=53c,b=43c.
∴A(0,43??),B(-53??,0),C(0,-43??),
∴直线AB的方程为-3??5??+3??4??=1,直线CF的方程为-?????3??4??=1,
联立解得点D的坐标为(-54??,13??).
∵△ADC的面积为15,∴12|xD|·|AC|=15,
即12·54c·2·43c=15,
解得c=3,∴a=5,b=4,
∴椭圆C的方程为??225+??216=1.
(2)由(1)知,点A的坐标为(0,4),点D的坐标为(-154,1).
假设存在这样的两个圆M与圆N,其中AD是圆M的弦,AC是圆N的弦,
则点M在线段AD的垂直平分线上,点N在线段AC的垂直平分线y=0上.
当圆M和圆N是两个相外切的等圆时,一定有A,M,N在一条直线上,且|AM|=|AN|.
∴M,N关于点A对称.设M(x1,y1),
则N(-x1,8-y1),
根据点N在直线y=0上,∴y1=8.
∴M(x1,8),N(-x1,0),
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而点M在线段AD的垂直平分线y-52=-54(??+158)上,可求得x1=-25140.
故存在这样的两个等圆,且这两个圆的圆心坐标分别为M(-25140,8),N(25140,0).
2.解:(1)由题意得
{
????=√32,
1
??2+
3
4??2=1,
??2=??2+??2,
解得a=2,b=1.
故椭圆C的方程是??24+y2=1.
(2)设直线l的方程为y=kx+t,设A(x1,y1),B(x2,y2),
联立{
??=????+??,
??2
4+??
2=1,消去y,得(1+4k
2)x2+8ktx+4t2-4=0,则有x
1+x2=
-8????
1+4??2,x1x2=
4??2-4
1+4??2.
Δ>0?4k2+1>t2,
y1+y2=kx1+t+kx2+t=k(x1+x2)+2t=2??1+4??2,
y1y2=(kx1+t)(kx2+t)=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2
=k24??2-41+4??2+kt-8????1+4??2+t2=??2-4??
2
1+4??2.
因为以AB为直径的圆过坐标原点,所以OA⊥OB,x1x2+y1y2=0.
因为x1x2+y1y2=4??2-41+4??2+??2-4??
2
1+4??2=0,
所以5t2=4+4k2.因为Δ>0,所以4k2+1>t2,解得t<-√32或t>√32.
又设A,B的中点为D(m,n),则m=??1+??22=-4????1+4??2,n=??1+??22=??1+4??2.
因为直线PD与直线l垂直,
所以kPD=-1??=-
3
2-??
-??,得
??
1+4??2=
1
2.
由{
??
1+4??2=
1
2,
5??2=4+4??2,
解得{
??1=1,
??2=-35.
当t=-35时,Δ>0不成立.当t=1时,k=±12,
所以直线l的方程为y=12x+1或y=-12x+1.
3.解:(1)由????=12,则a=2c,∴a2=4c2,b2=3c2,
将点P的坐标代入椭圆方程得c2=1,
故所求椭圆的标准方程为??24+??23=1.
(2)若l1与l2中有一条直线的斜率不存在,则另一条直线的斜率为0,此时四边形的面积为
S=6.
若l1与l2的斜率都存在,设l1的斜率为k,则l2的斜率为-1??.
∴直线l1的方程为y=k(x+1),设A(x1,y1),B(x2,y2),联立{
??=??(??+1),
??2
4+
??2
3=1,
消去y整理,得(4k2+3)x2+8k2x+4k2-12=0.①
∴x1+x2=-8??
2
4??2+3,x1·x2=
4??2-12
4??2+3,
∴|x1-x2|=12√??
2+1
4??2+3,
∴|AB|=√1+??2|x1-x2|=12(??
2+1)
4??2+3.②
注意到方程①的结构特征,或图形的对称性,可以用-1??代替②中的k,得|CD|=12(??
2+1)
3??2+4,
∴S=12|AB|·|CD|=72(1+??
2)2
(4??2+3)·(3??2+4).
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令k2=t∈(0,+∞),
∴S=72(1+??)
2
(4??+3)·(3??+4)=
6(12??2+25??+12)-6??
12??2+25??+12
=6-6
12??+12??+25
≥6-649=28849(当且仅当t=1时等号成立),∴S∈[28849,6).
综上可知,四边形ABCD的面积S∈[28849,6].
4.解:(1)由已知:直线m的方程为y=x-??2,代入y2=2px,得x2-3px+??24=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=3p,|AB|=x1+x2+p=4p,且线段AB的中点为(32??,??),
由已知(√7)2+(32??)2=(2p)2,
解得p=2或p=-2(舍去),
所以抛物线C的方程为y2=4x.
(2)设直线l:y=kx+2(k≠0),则D(-2??,0),
联立{??=????+2,??2=4??,得k2x2+4(k-1)x+4=0.
由Δ>0得k<12.设F(x3,y3),G(x4,y4),
则x3+x4=4-4????2,x3x4=4??2.
?????????=λ1??????????(x3,y3-2)=λ1(-2??-??3,-??3),
?????????=λ2??????????(x4,y4-2)=λ2(-2??-??4,-??4),
所以λ1=??3
-2??-??3
=-????3????
3+2
,λ2=-????4????
4+2
.
则λ1+λ2=-????3????
3+2
?????4????
4+2
=-2??
2??3??4+2??(??3+??4)
??2??3??4+2??(??3+??4)+4.
将x3+x4=4-4????2,x3x4=4??2代入上式得λ1+λ2=-1.
即λ1+λ2为定值-1.
5.解:(1)由题意,以椭圆C的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为(x-
c)2+y2=a2,
∴圆心到直线x+y+1=0的距离d=|??+1|√2=a.()
∵椭圆C的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,
∴b=c,a=√2b=√2c,代入()式得b=c=1,
∴a=√2b=√2,
故所求椭圆C的方程为??22+y2=1.
(2)由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x-2),设P(x0,y0),
将直线方程代入椭圆方程,得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0,
∴Δ=64k4-4(1+2k2)(8k2-2)=-16k2+8>0,
∴k2<12.
设S(x1,y1),T(x2,y2),则x1+x2=8??
2
1+2??2,x1x2=
8??2-2
1+2??2.由????
?????+?????????=t?????????,
当t=0时,直线l为x轴,点P在椭圆上适合题意;
当t≠0时,得{
????0=??1+??2=8??
2
1+2??2,
????0=??1+??2=??(??1+??2-4)=-4??1+2??2,
∴x0=1??·8??
2
1+2??2,y0=
1
??·
-4??
1+2??2.
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将上式代入椭圆方程,得32??
4
??2(1+2??2)2+
16??2
??2(1+2??2)2=1,整理,得t
2=16??2
1+2??2.
由k2<12知,0
综上可得t∈(-2,2).
6.解:(1)由C1:x2=4y知其焦点F的坐标为(0,1).
因为F也是椭圆C2的一个焦点,
所以a2-b2=1.①
又C1与C2的公共弦的长为2√6,C1与C2都关于y轴对称,且C1的方程为x2=4y,由此易知
C1与C2的公共点的坐标为(±√6,32),所以94??2+6??2=1.②
联立①②,得a2=9,b2=8.故C2的方程为??29+??28=1.
(2)如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).
①因?????????与??????????同向,且|AC|=|BD|,
所以?????????=??????????,从而x3-x1=x4-x2,
即x1-x2=x3-x4,于是(x1+x2)2-4x1x2=(x3+x4)2-4x3x4.③
设直线l的斜率为k,则l的方程为y=kx+1.
由{??=????+1,??2=4??得x2-4kx-4=0.
而x1,x2是这个方程的两根,
所以x1+x2=4k,x1x2=-4.④
由{
??=????+1,
??2
8+
??2
9=1
得(9+8k2)x2+16kx-64=0.
而x3,x4是这个方程的两根,
所以x3+x4=-16??9+8??2,x3x4=-649+8??2.⑤
将④,⑤代入③,得16(k2+1)=162??
2
(9+8??2)2+
4×64
9+8??2,即16(k
2+1)=162×9(??2+1)
(9+8??2)2,
所以(9+8k2)2=16×9,解得k=±√64,即直线l的斜率为±√64.
②由x2=4y得y''=??2,所以C1在点A处的切线方程为y-y1=??12(x-x1),即y=??1??2???124.
令y=0得x=??12,即M(??12,0),
所以??????????=(??12,-1).而?????????=(x1,y1-1),于是?????????·??????????=??122-y1+1=??124+1>0,
因此∠AFM是锐角,从而∠MFD=180°-∠AFM是钝角.
故直线l绕点F旋转时,△MFD总是钝角三角形.
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