Gothedistance
重庆市2013年高考数学模拟题(理工类)（14）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的
1．已知复数
2
121,21,3zzizbiz若????是实数，则实数b的值为（）
A．0B．23?C．6D．－6
2．下列命题中，真命题是()
A.?x∈R，使得sinx＋cosx＝2B.?x∈(0，π)，有sinx＞cosx
C.?x∈R，使得x2＋x＝－2D.?x∈(0，＋∞)，有ex＞1＋x
3．一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一
组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是()
A．57.2,3.6B．57.2,56.4C．62.8,63.6D．62.8,3.6
4．在三角形ABC中，已知A(2,3)，B(8，－4)，点G(2，－1)在中线AD上，且
=AG2GD，则点C的坐标是()
A．(－4,2)B．(－4，－2)C．(4，－2)D(4,2)
5．阅读下边的程序框图，若输入的n是100，则输出的变量S和T的值依次是
()
A．2500,2500B．2550,2550
C．2500,2550D．2550,2500
6．已知α为钝角，且sin(α＋π12)＝13，则cos(α＋5π12)的值为()
A.22＋36B.22－36
C．－22＋36D.－22＋36
7.某几何体的正视图与侧视图如图所示，若该几何体的体积为13，则该几何体的俯视图可以
是()
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8．已知互不相等的正数,,abc满足22+=2acbc，则下列不等式可能成立的是（）
A．>>abcB．>>bacC．>>bcaD．>>cab
9．f(x)的定义域为R，且21(0)()
(1)(0)
xxfx
fxx
??????
???
,若方程f(x)＝x＋a有两不同实根，则a
的取值范围为()
A.(－∞，1)B.(－∞，1]C.(0,1)D.(－∞，＋∞)
10．设a1，a2，…，an是1,2，…，n的一个排列，把排在ai的左边且比ai小的数的个数称
为ai的顺序数(i＝1,2，…，n)．如：在排列6,4,5,3,2,1中，5的顺序数为1,3的顺序数为0.
则在1至8这八个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序数为2,7的顺序数为3,5的顺序
数为3的不同排列的种数为()
A．48B．96C．144D．192
12345678910
二.填空题.(共5小题,每小题5分,共25分)
11．已知集合A＝{a，b，2}，B＝{2，2b，2a}，且A∩B＝A∪B，则a＝.
12．过点(0,1)的直线与x2＋y2＝4相交于A、B两点，则|AB|的最小值为.
13．设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)．若数列{bn}有连续四
项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.
注意：14、15、16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，按前两题给分
⒕（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程是
2cos2sinxym????????（m是常数，],(?????是参数），若曲线C与直线yx?有两个公
共点，则m的取值范围是．
15．如图所示，已知⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过A点
作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交
⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P.若AD是⊙O2
的切线，且PA＝6，PC＝2，BD＝9，则AD＝________．
16．(不等式选讲选选做题)已知对于任意非零实数a和b，不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|(|2＋
x|＋|2－x|)恒成立，实数x的取值范围是．
三.解答题.(共6小题,共75分)解答过程应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，并写
在答题卷相应的位置上
17.已知函数3()2cossin()32fxxx????.(1)求函数()fx的最小正周期T；(2)若
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ABC?中，A、B、C的对边分别为a、b、c，满足2bac?，试求cosB的取值范
围，并确定此时()fB的最大值．
18.已知函数322()3(1)24fxkxkxk?????，若()fx的单调减区间恰为（0，4）。
（1）求k的值：
（2）若对任意的[1,1]t??，关于x的方程225()xxaft???总有实数解，求实数a
的取值范围。
19．某企业准备招聘一批大学生到本单位就业，但在签约前要对他们的某项专业技能进行
测试．在待测试的某一个小组中有男、女生共10人(其中女生人数多于男生人数)，如果从
中随机选2人参加测试，其中恰为一男一女的概率为815.
(1)求该小组中女生的人数；
(2)假设此项专业技能测试对该小组的学生而言，每个女生通过的概率均为34，每个男生通
过的概率均为12.现对该小组中男生甲、男生乙和女生丙3个人进行测试，记这3人中通过测
试的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．[来源:学科网]
20．已知四棱锥S－ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上的任意一
点．
(1)求证：平面EBD⊥平面SAC；
(2)当SAAB的值为多少时，二面角B－SC－D的大小为120°？
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21.如图，设抛物线21:4(0)Cymxm??的准线与x轴交于1F，焦点为2F；以12,FF为焦
点，离心率12e?的椭圆2C与抛物线1C在x轴上方的交点为P，延长2PF交抛物线于点Q，
M是抛物线1C上一动点，且M在P与Q之间运动.
（1）当1m?时，求椭圆2C的方程；
（2）当12PFF?的边长恰好是三个连续的自然数时，求MPQ?面积的最大值．
22.已知函数211()24fxxx???，()fx?为函数()fx的导函数．
（1）若数列{}na满足：11a?，1()()nnafafn?????（nN??），求数列{}na的通项na；
（2）若数列{}nb满足：1bb?，12()nnbfb??（nN??）．当112b??时，求证：
1
1221n
iibb????
．
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重庆市2013年高考数学模拟题(理工类)（14）参考答案
一、选择题CDDBDCDBAC
二、填空题
11．答案：0或1412．23.13．答案：－9
⒕（(22,22)?15．AD＝12.16.－2≤x≤2.
三、解答题
17、解：(1)f(x)＝2cosx·sin(x＋π3)－32＝2cosx(sinxcosπ3＋cosxsinπ3)－32
＝2cosx(12sinx＋32cosx)－32＝sinxcosx＋3·cos2x－32
＝12sin2x＋3·1＋cos2x2－32＝12sin2x＋32cos2x[来源:Zxxk.Com]
＝sin(2x＋π3)．∴T＝2π|ω|＝2π2＝π.
(2)由余弦定理cosB＝a2＋c2－b22ac得，cosB＝a2＋c2－ac2ac＝a2＋c22ac－12≥2ac2ac－12＝12，∴12≤cosB＜
1，而0＜B＜π，∴0＜B≤π3.函数f(B)＝sin(2B＋π3)，∵π3＜2B＋π3≤π，当2B＋π3＝π2，
即B＝π12时，f(B)max＝1.
18.解：（1）2''()36(1)fxkxkx???
又''(4)0,1fk???
（Ⅱ）2''()31210ftttt??????时''()0;01ftt???时''()0ft?
且(1)5,(1)3,ff?????()5ft???8分
2825258axxa????8255a???解得158a??
19．解：(1)设该小组中有n个女生．
根据题意，得1110-
210CCCnn
＝815.解得n＝6，n＝4(舍去)．∴该小组中有6个女生．
(2)由题意，ξ的取值为0,1,2,3.∵P(ξ＝0)＝12×12×14＝116；
P(ξ＝1)＝C1212×12×14＋????122×34＝516；
P(ξ＝2)＝C12????122×34＋????122×14＝716；P(ξ＝3)＝????122×34＝316.
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故ξ的分布列为：
ξ012[来源:Zxxk.Com]3
P116516716316
∴E(ξ)＝0×116＋1×516＋2×716＋3×316＝74.
20．解：(1)∵SA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴SA⊥BD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，∴BD⊥平面SAC，
∵BD?平面EBD，
∴平面EBD⊥平面SAC.
(2)设SA＝a，以A为原点，AB、AD、AS所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标
系，为计算方便，不妨设AB＝1，则C(1,1,0)，S(0,0，a)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，
∴SC＝(1,1，－a)，SB＝(1,0，－a)，SD＝(0,1，－a)，
再设平面SBC、平面SCD的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)，
则1111
111
0
0
nSCxyaz
nSBxaz
???????
?????
∴y1＝0，从而可取x1＝a，则z1＝1，∴n1＝(a,0,1)，
2222
222
0
0
nSCxyaz
nSBxaz
???????
?????
∴x2＝0，从而可取y2＝a，则z2＝1，∴n2＝(0，a,1)，
∴cos〈n1，n2〉＝1a2＋1，
要使二面角B－SC－D的大小为120°，则1a2＋1＝12，从而a＝1，
即当SAAB＝a1＝1时，二面角B－SC－D的大小为120°.
21.
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解：（1）当1m?时，24yx?，则12(1,0),(1,0)FF?,设椭圆方程为221(0xyabab????），
则1,c?又12cea??，所以22,3ab??所以椭圆C2方程为22143xy??
（2）因为cm?，12cea??，则2am?，223bm?，设椭圆方程为22143xymm??
由
22
22
2
143
4
xy
mm
ymx
????
??
??
，得22316120xmxm???即(6)(32)0xmxm???，
得23
Pmx?
代入抛物线方程得263
pym?
，即226(,)33mmP
[来源:学。科。网Z。X。X。K]
212557,24333pmmmPFxmPFaPFm????????
,
12623mFFm??
因为12PFF?的边长恰好是三个连续的自然数，所以3m?
此时抛物线方程为212yx?，(2,26)P，直线PQ方程为：26(3)yx???.
联立
2
26(3)12yx???????
??
，得2213180xx???，即(2)(29)0xx???，
所以92
Qx?
，代入抛物线方程得36Qy??，即9(,36)2Q?
∴22925(2)(2636)PQ?????.
设2(,)12tMt到直线PQ的距离为d，)62,63(??t
[来源:Zxxk.Com]
则
2
2
666
66675()
3022241
??
?????
tt
dt
当62t??时，
max675563024???d
，
Gothedistance
即MPQ?面积的最大值为12556125622416???.
22.解：（Ⅰ）1()22fxx???，
111(2)(2)22122nnnaanan?????????
，
即12(1)12(21)nnanan???????
11a?，?数列{21}nan??是首项为4，公比为2的等比数列．
12142nnan??????，即1221nnan????．
（Ⅱ）2
1122nnnbbb????
，2
112()2nnnbbb?????
．
?当1112b??时，2112bb??．假设12kb?，则112kkbb???．
由数学归纳法，得出数列12
nb?(1,2,3,)n?
．
又
1112()22nnnbbb????
，
11122111nnnbbb??????
，
即
11122111nnnbbb?????
．
?
1
1n
iib??111122
11()n
iiibb???????111122nbb?????
．
112nb??
，
1112
11221n
iibbb???????
．
Gothedistance
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