一题多解开放型练习题
练习主要目的是通过练习掌握最基本解题公式，基本结论和基本方法，一题多解的开放型的题目能够使所学的基本方法加以综合应用、举一反三，特编拟一份练习题，这些题附加一些基本条件或抽取一部分即可成为常见的中考题．
一、对以下题写出五个结论：
1、写出可表示成结果为1的不同类型的非三角函数公式表达式五个．
2、写出常见结果为1的三角函数式或特殊的函数值五个．
3、写出结果为0的运算表示式五个．
4、写出结果为－1的文字表达式或常见结论五个．
5、写出不同类型的图像经过原点的且具有轴对称或中心对称图形函数解析式五个．
6、写出解为和并由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组五个（要求方程组的每个方程都是最简方程）．
7、画一个自设条件的简单的几何图形，并根据图形写出五个结论，且同类型结论不超过两个（图形上标的字母不超过5个，不必证明，只要写对即可。但不能和卷面上的图形完全相同）．如右图正方形ABCD的CD边上向外接上
一个边长等于正方形边长的正三角形CDE，
它可得出结论为：（1）∠ABC＝90°（2）∠EDC＝60°
（3）⊿ADE≌⊿BCE（4）⊿AEB是等腰三角形
（5）∠EAD＝∠EDC∠DEA＝∠CEB°
（还有如∶∠ADC＝150°AB＝DE∠EAB=∠EBA=75°∠AEB=30°等）
8、已知有两边和一角相等不一定全等．你如何处理和安排这三个条件，使这两个三角形全等．如处理方法：解：设有两边和一角对应相等的两个三角形，如果这个角的对边恰是这两边中的大边，则这两个三角形全等．请你按照上法，再设计五个方案．
9、如图1，AB是⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC于E，
（1）请你根据图形和条件写出5个结论（不再添字母和辅助线，不写推理的过程）．
（2）若∠ABC为直角，其它条件不变，除上述结论外，请你再写出五个结论，并画出相应的图形．
10、如图2，△ABC是⊙O的内接三角形，∠ACB=90°，∠A=30°，过顶点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，连CD．根据题中的图形和条件，写出你认为正确的结论．（如角相等、边相等以及其它正确的结论，每类写出两个即可，不再添字母和辅助线，不写推理的过程）．
二、根据图形要求回答问题：
1、如图3，直线PA、PB切⊙于A、B，PO、AB交于D，连AO、BO，请你根据要求写出结论：
（1）写出所有的：①相等的线段；②相等的锐角；③直线或线段互相垂直的位置关系（表明垂足）；④全等三角形；⑤等腰三角形；⑥射影定理表达式．
（2）回答问题：①图中有直角三角形几个？②图中有相似三角形几对？
2、如图4，在△ABC中，DE∥BC，CD、BE交于O，连AO交DE于F，延长AO交BC于G．写出图中成有等于的线段比．
三、根据要求分割图形：
1、用不同的方法把一个下面的4个任意三角形的面积分成相等的四块．
2、已知：在菱形ABCD中，∠A=72°，请设计三种不同的方法，将下画菱形分成四个等腰三角形．（画图工具不限，要求画出分割线段，标出能说明分割后的等腰三角形底角的度数，不标度数的三角形不计分，不要求写出画法，不要求证明．）
、涂色或拼接1、有五个1×1的小正方形，可以拼出多少种图形，要求相邻两个拼成请画图示意（旋转和的算）2、有三个小正方形可拼成“”，那么有两个这样的“”拼种图形（旋转和的算）3、将图九个小方格涂去两格，得到的图形
4、将图中的小三角形涂去4个，得到的图形
5、16个小正方形涂去8个连在一起的小正方形，分成的两块形状相同
6、用4颗红色珠子和4颗蓝色珠子串一串圆环，不同的串法
五、一题多证∶如图5⊙O的内接△ABC中AD是BC边上的高，AE是⊙的直径??
求证：∠1=∠2（要求至少能用五种以上的不同的方法加以证明，证明中可添加辅助线和标注字母，不同的证明，请画出相应的图形）．
?????
、写出多个结论：
已知四边形ABCD内接于⊙O，连AC，BD交于点E，过A点作⊙O的切线交CD的延长线于点P，根据图形列出的条件，写出你认为可以得到的不同类型的结论各一个（要求至少写出10种以上的结论，且这些结论都是很常见的）．附参考解答（有的题还有很多的解，不能一一列举）：
一、写出五个结论：
1、
2、
3．a－a=0，?0·a=0，?0÷a=0(a≠0)，.?
4．1的相反数为－1，－1的倒数为－1，1的负倒数为－1，－1的奇次幂为－1，
相邻的两整数小的数减去大的数为－1，tg135°=－1，ctg135°=－1．
5．y=x2，y=x，y=－x，y=|±x|，y=x3．
6、
7．附图1：DE是△ABC的中位线．
附图2：AD是等腰三角形ABC底BC上的高．
附图3：AD是Rt△ABC斜边AB上的高．
附图4：□ABCD的对角线AC、BD交于O．
附图5：PA、PB切⊙于A、B，PO延长交⊙于D，连OA、OB．
附图6：等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AD⊥BC于点E．
附图7：△ABC中，∠ADE=∠B．
附图8：DB切⊙于B，DA交⊙于A、C．
8．方案1：若这个角是这两边的夹角，则这两个三角形全等．
方案2：若这个角是直角，则这两个三角形全等．
方案3：若这两边相等，则这两个三角形全等．
方案4：若这个角是钝角，则这两个三角形全等．
方案5：若这两个三角形都是锐角三角形，则这两个三角形全等．
方案6：若这两个三角形都是钝角三角形，则这两个三角形全等．
9．（1）①DE是⊙O的切线．②AB=BC．③CD2=CE·CB．④DE2=BE·CE．⑤∠C＋∠CDE=90°．⑥∠A=∠C．⑦CE2＋DE2＝CD2
（2）①CE=BE=DE．②DE∥AB．③CB是⊙的切线．
∠A=∠C=∠CDE=45°
10．下列结论可供选择：角相等：∠A=∠CDB=∠DCB=∠ACO=30°，∠COB=∠CBO=∠BCO=60°，
∠DCB=∠A=∠COB，∠ACB=∠DCO
边相等：OA=OB=OC=BC，AC=CD，AB=DO
其它结论：2＝DB·DA，2＝OC2＋CD2，△DCB∽△DAC，
△AOC≌△DBC，△ACB≌△DCO．
二、1、相等的线段有：OA=OB、PA=PB、AD=BD．
相等的角有：∠OAB=∠OBA=∠APO=∠BPO、∠AOP=∠BOP=∠BAP=∠ABP．
线段或直线互相垂直的有：OA⊥MP于A、OB⊥MP于B、AB⊥OP于D．
全等三角形有：△AOD≌△BOD、△PAD≌△PBD、△OAP≌OBP．
等腰三角形有：△AOB、△APB．
射影定理表达式：OP2=OD·OP=OB2、PA2=PD·PO=PB2、AD2=OD·OP=BD2
图中有直角三角形6个．图中有相似三角形15对．
2、三、1、下图中：D、E、F为△ABC各边中点，BH=HE=EJ=JC，AN=NM=MC，BH=HK=KC，
末图可由比例得到，还有更多略．
2、下图分法供参考，还有更多分法
四、1、共可拼出12种不同图形：
2、共可拼出种图形：
3、解：共可涂出八种不同的图形：解：共可得到13种不同的图形：
5、解：有六种不同的分法：6、解：共有八种不同的串法：
五、根据下面略证：
（1）∵∠1+∠EB=90°，∠2+∠C=90°，∠AEB=∠C，∴∠1=∠2．
（2）连BE，∠=∠C，∠ADC=Rt∠=∠ABE，∴△ABE∽△ADC，则∠1=∠2．
（3）若连EC，则可证△ABD∽△AEC，则∠BAD=∠EAC，同减去∠EAF，则可得∠1=∠2．
（5）延长AD交⊙O于F，连EF，∠AFE=90°=∠ADB，∴BC∥EF，故BE=FC，∴∠1=∠2．
（6）过A作⊙O的切线AT（如上图示），则AT⊥AE于A，则∠TAB=∠C
又∠C+∠2=90°，∠TAB+∠1=90°，∴∠1=∠2．
（7）过O作OG⊥AB于G，延长交⊙O于K，则可证△AOG∽△ACD，则有∠1=∠2．
、根据图形有：1、对顶角：∠DEC∠ACB．2、弦切角：∠PAB=∠ACB．3、圆周角：4、圆外角：5、三角形外角：∠ABP=∠CAB+∠ACB??
6、三角形内角和：∠PAB+∠ABP+∠BAP=180°7、圆内接四边形对角互补：∠ADC+∠ABD=180°．
8、圆内接四边形的外角：∠ABP=∠ADC9、相交弦：AE·EC=EB·ED．?10、切割线：PA2=PB·PC11、面积式：12、面积式：⊿CDF·S⊿AEB=S⊿ADE·S⊿BEC.
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