2012年《数学教学》第五期
暴露思维过程案例分析
例谈不等式”的应用
魏立国
江苏省响水中学高数组
魏立国简介
魏立国，男，汉族,江苏省响水中学教师，中国数学奥林匹克一级教练，第十八届全国希望杯备选题命题人，《中学数学教学参考》编辑部特约编辑。他先后有31篇论文在省级以上刊物上发表，其中有11篇论文在《数学通报》、《数学通讯》等国家级刊物上发表。2008年被响水县人民政府授予“十佳劳动模范”。2013年被盐城市人民政府授予“盐城市劳动模范”。2015获评为响水县首届最美教师；盐城市第二届最美教师提名奖。
2007年、2008年，连续任教高三，所任教班级学生数学人平分均名列同类班级之首，分别超出省均分31分、32分。2008年他培养的一名学生在全国数学联赛中荣获一等奖。2009年任教的高三（15）班，囊括全县数学单科180分以上所有名额。2011年夏天，在江苏大学举办的全省数学竞赛中，他培养的四名学生荣获全省一等奖。2012年任教的高三（1）班，在高考中一本达线率为95%。2015年任教的普通班高三（22）班，超额完成学校高考指标，与此同时，一位同学取得数学单科同省理科状元同分的数学高分。
内容摘要：“和”
这两个基本结论，在有些不等式放缩中所起的作用，真是妙不可言，本文将试图通过案例来说明它在不等式放缩中的应用。—、不等式”的证明。二、案例分析三、案例反思
多少年来，不等式“”早已被人们应用得出神入化，对于不等式“和”的应用却很少有人光顾。其实这两个基本结论，在有些不等式放缩中所起的作用，真是妙不可言，本文将试图通过案例来说明它在不等式放缩中的应用。
—、不等式”的证明。
对于的证明，只须构造函数则，令
所以，即证得。对于”的证明，只需当时，对两边取对数即可。显然，这两个不等式从本质上是相通的。
二、案例分析
案例1：
给定数列｛｝，其中，求证：如果，那么，当n≥时，必有。
这道题是1984年高考第八道第（3）小问，据说当年全国没有多少中学老师能做，二十多年来，第（3）小问除了官方提供的一种反证法外，笔者还没有看到有正面证明方法的报道。2009年6月高考前，我为了让学生领略一下反证法证明的精秒，特选此题，让同学们思考。我说哪一位同学会做，同学甲说，先用不动点法，求。
即：，，欲证，即<3，也就是”。再向下怎么做，同学甲也做不下去了，我也认为不好做，正想准备收场，来展示一下反证法的精秒之处。可是一位同学乙说：用老师总结过的基本结论可以做。即证，即证，，，a<。由n≥，∴a≤，即证：<，即<，①当n≥2时，≤，即<，也就是，ln9<3，显然成立。②当n=1时，由1≥，a>3，得4≥a>3，而。
同学乙能从正面做出来，这是我始料未及的。可以说这位同学已把“”结论运用得出神入化。
说明：案例1的关键如何把“”放大为“”,即把“”型放大为“”型。说明同学乙真正把结论用活了。这个案例也告诉我们，老师要相信学生，学生的潜力是巨大的。
案例2：
已知函数(e为自然对数的底数)
求的最小值。
设，探究的整数部分的值，并证明你的结论。
（2008年江苏省姜堰中学最后一卷压轴题）
分析、（1）由，即，.
(2)该小问看上去无法下手,其实,一道压轴题的前面小问,往往就是下面小问的阶梯,当你无法入手的时候看能否利用前面小问。第(1)问的实质,就是.对通项如何使用呢？只要根据不等式的基本结构对号入座，通项中根本没有，只能在谁是上下功夫，底数是，指数是，究竟谁写成，只能试试看，如把写成，则，你会立刻意识到原来的和式可放缩成等比数列前项和。如把放缩成或
或，对解题都没有什么实际意义。
，又整数部分为1.
案例2的关键是要关注第一小问，要有对不等式应用的意识。即把“”写成“”形式。事实上，本题在分析过程中，足以看出的作用。
案例3.
求证：
（2008年江苏省响水中学最后一卷压轴题）
分析:本题用没有用。用数学归纳法也不容易找到从成立到也成立的因果关系。对于基本不等式也很难找到解决问题的切入点。这时候我们就想能否通过构造函数，把离散型变为连续型，利用导数去研究。由，在构造函数时，可以把看成，这样可减少求导后的繁琐运算。令，则一眼看出，，。
说明：案例3的关键学会构造合适的函数，在求导过程中，巧用了不等式。
案例4
（2011年清华大学自主招生试题）已知函数。令。
(I)求数列的通项公式；
(II)证明。
分析：仅分析第二小问由（1）可知，证明，即证，也就是，即
原命题显然成立。
说明：案例4的关键是将代数式使用了不等式进行放缩，让一道清华大学自主招生数学难题，显得平淡无奇。
案例5.
已知函数
求函数的单调区间。
若不等式对于任意的都成立
（其中e是自然对数的底数）。求α的最大值。（2008年高考数学湖南卷21题）
分析：（1）本题最常规的解法，对求导，由，令，即但解这个方程，几乎就无法入手，是不是这个方程初等方法就不能解呢？现在不能下这一结论。至少说我们常人很难解，此时，我们应该换位思考，是不是根本就没有根，这一想法是错误的。因为，我们一眼看出0就是它的一个根，那么是不是只有一根为0呢？是否还有其它的根呢？显然，接下来的工作，必须研究的单调性。
由立刻意识到，而当时，，当时，。∴当时,单调递增，当时,单调递减。
（2）略
案例6：
已知函数其中为常数。
当时，求函数的极值。
当时，对任意正整数，当时，有
（2008年山东高考卷21题）
只分析第（2）小题。当时，欲证即证：由立刻意识到，.即证，显然成立。
说明：对于案例5利用导数判断函数单调性的时候。不等式“”起了决定性的作用。对于案例6第（2）小问，如果我们脑中有不等式这一基本模型，当看到就会立刻意识到，那么，第（2）小问就显得非常简单。
三、案例反思
1、从上面案例可以看出，解决问题最关键的地方都是使用了不等式”。而，所以我们可以说它们是多题一解，是一个具有普适性的思考规律。
2、要提高学生的思维水平，有必要引领学生探索发现常见的、具有普适性的思考规律。有助于学生解题少走弯路，更好更快地找到解题捷径。
3、教师要注重在课堂教学中将自身是如何看待问题、又是如何找出解决问题的办法这一思维过程展示给学生，使学生理解和认识知识发生和发展的必然的因果关系，从中领悟到思考、分析和解决问题的思想方法和步骤，培养和提高学生思维的能力。
参考文献：《黄河清中学数学问题导学教学策略》
2012年《数学教学》第五期
7
|
|
