方法思想——数形结合思想求函数最值D6本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用第3讲函数的单调性与最值第二章基本初等函数、导数及其应用f(x1)f(x2)上升的下降的增函数减函数区间Df(x)≤Mf(x0)＝Mf(x)≥Mf(x0)＝MBDA[1，4]82考点一函数单调性的判断与证明考点二求函数的单调区间B考点三函数单调性的应用(高频考点)BDB(0，4]>(－1，0)∪(0，1)栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用
1．函数
(1)单调函数的定义
增函数 减函数 定
义 一般地设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x 当x时都有____________那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x时都有____________那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
增函数 减函数 图象
描述
自左向右看图象是________
自左向右看图象是________
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是________或________那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性________叫做函数y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意x∈I都有________；
(2)存在x使得________ (1)对于任意x∈I都有________；
(2)存在x使得________ 结论 M为最大值 M为最小值
1．辨明两个易误点
(1)区分两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”前者指函数具备单调性的“最大”的区间后者是前者“最大”区间的子集．
(2)单调区间只能用区间表示不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写出一般不能用符号“∪”连接也不能用“或”连接．例如函数f(x)＝在区间(－1)上是减函数在(0)上是减函数但在(－1)∪(0，1)上却不是减函数．
2．判断函数单调性的四种方法
(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论；
(2)复合法：同增异减即内外函数的单调性相同时为增函数不同时为减函数；
(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的或者f(x)的图象易作出可由图象的直观性判断函数单调性．
(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性．
3．函
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(最小值)．
1．(2014·高考北京卷)下列函数中定义域是R且为增函数的是()
＝－x＝x3
＝＝|x|
2．(必修1P39习题1.3A组T3改编)若函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞＋∞)上是减函数则()
B．k<
C．k>－－
3．(2016·长春质量检)已知函数f(x)＝|x＋a|在(－∞－1)上是单调函数则a的取值范围是()
(－∞] B．(－∞－1]
[－1＋∞)[1，＋∞)
解析：因为函数f(x)在(－∞－a)上是单调函数所以－a≥－1解得a≤1.故选
4．(必修习题1.3B组T1改编)函数f(x)＝x－2x[－2]的单调递增区间为________(x)max＝__________．
解析：函数f(x)的对称轴为x＝1单调增区间为[1]，f(x)max＝f(－2)＝f(4)＝8.
5．(必修1例4改编)已知函数f(x)＝[2，6]，则f(x)的最大值为________最小值为__________．
解析：可判断函数f(x)＝在[2]上为减函数所以(x)max＝f(2)＝2(x)min＝f(6)＝
试讨论函数f(x)＝x∈(－1)的单调性(其中a≠0).
[解设－1
因为－10.所以因此当a>0时(x1)－f(x)>0，
所以f(x)>f(x2)，此时函数f(x)在(－1)上为减函数；当a<0时(x1)－f(x)<0，
所以f(x)
判断函数单调性的常用方法
(1)定义法和导数法．注意证明函数单调性只能用定义法和导数法．
(2)图象法．如果f(x)是以图象形式给出的或者f(x)的图象易作出可由图象的升、降判断函数的单调性.
1.判断函数y＝在(－1＋∞)上的单调性．
解：法一：任取x(－1＋∞)且x2，则y－y＝－＝因为x－1－1所以x＋1>0＋1>0又x所以x－x>0，即y－y所以y所以函数y＝在(－1＋∞)上是减函数．
法二：y＝＝1＋因为y＝x＋1在(－1＋∞)上是增函数所以y＝在(－1＋∞)上是减函数所以y＝1＋在(－1＋∞)即函数y＝在(－1＋∞)上是减函数．
(1)函数y＝－的单调递减区间为()
(－1](0，1]
C．[1，＋∞)(0，＋∞)
(2)求函数f(x)＝－x＋2|x|＋1的单调区间．
[解(1)由题意知函数的定义域为(0＋∞)．令y′＝x－＝即x即－1≤x≤1.故当x∈(0]时函数单调递减．
(2)f(x)＝
＝画出函数图象如图所示可知单调递增区间为(－∞－1]和[0]，单调递减区间为[－1]和[1＋∞)．
若将本例(2)中函数变为f(x)＝|－x＋2x＋1|如何求解？
解：函数y＝－x＋2x＋1|的图象如图所示．由图象可知函数y＝－x＋2x＋1|的单调递增区间为(1－)和(1＋＋∞)；单调递减区间为(－∞－)和(1＋)．
确定函数的
(1)定义法：先求定义域再利用单调性定义来求．
(2)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写用“和”或“连接一般不能用“∪”连接．
(3)导数法：利用导数取值的正、负确定函数的单调区间．
2.作出函数y＝|x－1|＋x的图象并根据函数图象写出函数的单调区间．
解：当x≥1或x≤－1时＝xx－1＝－；当－1
画出函数图象如图所示：由函数图象可知函数的减区间为(－∞－1]，函数的增区间为[1，＋∞)．
函数单调性结
(1)求函数的值域或最值；
(2)比较两个函数值或两个自变量的大小；
(3)解函数不等式；
(4)求参数的值或取值范围．
(1)(2015·高考四川卷改编)如果函数f(x)＝(m－2)x＋(n－8)x＋1(m≥2)在区间上单调递减那么mn的最大值为()
C．25 D.
(2)(2016·昆明模拟)已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称当x时[f(x2)－(x1)]·(x2－x)<0恒成立设a＝f＝(2)，c＝f(3)则a的大小关系为()
>a>b B．c>b>a
C．a>c>b D．b>a>c
(3)(2016·泉州质量检测)已知函数f(x)＝在R上为减函数则实数a的取值()
(0，1)B.
C.D.
(4)已知函数f(x)＝(a>0)在(2＋∞)上递增则实数a的取值范围为________．
[解析(1)①当m＝2时因为f(x)在上单调递减所以0≤n<8＝2n<16.当m>2时抛物线开口向上因为f(x)在上单调递减所以－即2m＋n≤12.又2m＋n≥，所以2所以mn≤18.当且仅当2m＝n＝6即m＝3＝6时取等号所以mn的最大值为18.综上所述的最大值为18故选
(2)根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称且在(1＋∞)上是减函数．因为a＝＝f且2<3，所以b>a>c.(3)由于函数f(x)为R上的减函数所以满足解得0
(4)任取2
利用函数单调性求解四种题型
(1)比较大小：比较函数值的大小应将自变量转化到同一个单调区间内然后利用函数的单调性解决．
(2)解不等式：在求解与抽象函数有关的不等式时往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．
(3)利用单调性求参：①视参数为已知数依据函数的图象或单调性定义确定函数的单调区间与已知单调区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a]上是单调的则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．
(4)利用单调性求最值：应先确定函数的单调性然后再由单调性求出最值.
3.(1)已知函数f(x)为R上的减函数若m
(2)已知函数f(x)＝－(a＞0＞0)若f(x)在上的值域为则a＝________．
解析：(1)由题意知f(m)>f(n)；>1，即|x|<1且x≠0.故－1
已知函数f(x)＝|x－1|(x)＝＋1(x)＝＋若a[－1]，且当x[a，b]时>0恒成立则b－a的最大值为()
C．4 D．5
[解析]当f(x)≥f2(x)时
g(x)＝＋＝f(x)；
当f(x)
g(x)＝＋＝f(x)．
综上(x)＝
即g(x)是f(x)，f2(x)两者中的较大者．在同一直角坐标系中分别画出函数f(x)与f(x)的图象则(x)的图象如图中实线部分所示．由图可知g(x)在[0＋∞)上单调递增又g(x)在[a]上单调递增故a[0，5]，则b－a的最大值为5.
本题利用了数形结合的思想解答本题首先利用分类讨论思想写出函数g(x)的表达式然后再作出(x)的图象利用图象求出b－a的最大值．
用表示a三个数中的最小值则函数(x)＝＋1＋4－x＋8}的最大值是__________．
解析：在同一直角坐标系中分别作出函数y＝4x＋1＝x＋4＝－x＋8的图象后取位于下方的部分得函数f(x)＝＋1＋4－x＋8}的图象如图所示不难看出函数(x)在x＝2时取得最大值6.
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