选修4-5第2讲

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定理1：设aR，则a＋b当且仅当a＝b时等号成立．

定理2：如果a、b为正数则，当且仅当a＝b时等号成立．

定理3：如果a、b、c为正数则，当且仅当a＝b＝c时等号成立．

定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a为n个正数则，当且仅当a＝a＝…＝a时等号成立．

2．不等式的证明方法

证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法等．

考点一比较法证明不等式

求证：(1)当x∈R时＋2x＋x；

(2)当a(0，＋∞)时(ab).

[证明(1)法一：(1＋2x)－(2x＋x)

＝2x(x－1)－(x＋1)(x－1)＝(x－1)(2x－x－1)＝(x－1)(2x－2x＋x－1)＝(x－1)[2x(x－1)＋(x－1)]x－1)(2x2＋2x＋1)＝(x－1)≥0，

所以1＋2x＋x

法二：(1＋2x)－(2x＋x)

＝x－2x＋x＋x－2x＋1＝(x－1)＋(x1)2≥0，

所以1＋2x＋x

(2)＝a＝当a＝b时＝1；当a>b>0时>1，>0，>1；当b>a>0时<1，<0，>1.

所以a(ab).



作商比较法证明不等式的一般步骤

(1)作商：将不等式左右两边的式子进行作商；

(2)变形：将商式的分子放(缩)分母不变或分子不变分母放(缩)或分子放(缩)分母缩(放)从而化简商式为容易和1比较大小的形式；

(3)判断：判断商与1的大小关系就是判断商大于1或小于1或等于1；

(4)结论.

1.已知a(0，＋∞)求证a(ab).

证明：＝a－－＝当a＝b时＝1；当a>b>0时<1，>0，<1.当b>a>0时>1，<0，<1.所以a(ab).

考点二用综合法、分析法证明不等式

设x≥1求证x＋y＋＋＋xy.

[证明由于x≥1要证x＋y＋＋＋xy只需证xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)

因为[y＋x＋(xy)]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1) ＝(xy－1)(x－1)(y－1)因为x≥1所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0从而所要证明的不等式成立．



分析法与综合法常常结合起来使用称为分析综合法其实质是既充分利用已知条件又时刻瞄准解题目标即不仅要搞清已知什么还要明确干什么通常用分析法找到解题思路用综合法书写证题过程．

2.设a>0若是3与3的等比中项

求证＋

证明：由是3与3的等比中项得3＝3即a＋b＝1.要证原不等式成立只需证＋即证＋因为a>0所以＋＝2所以＋

考点三利用基本不等式证明不等式

设a为正实数求证：＋＋abc≥2.

[证明因为a为正实数由基本不等式可得＋＋，

即＋＋，

当且仅当＝＝即a＝b＝c时等号成立所以＋＋＋abc≥＋abc.而＋abc≥2＝2当且仅当＝abc即abc＝时等号成立所以＋＋＋abc≥2



利用基本不等式必须要找准“对应点”明确“类比对象”使其符合基本不等式的特征注意检验等号成立的条件特别是多次使用基本不等式时必须使等号同时成立．

3.设a均为正数且a＋b＋c＝1.证明：

(1)ab＋bc＋ca≤；

(2)＋＋

证明：(1)由a＋b＋c＋a得a＋b＋c＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)＝1即a＋b＋c＋2ab＋2bc＋2ca＝1所以3(ab＋bc＋ca)≤1即ab＋bc＋ca≤

(2)因为＋b≥2a＋c≥2b＋a≥2c＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)即＋＋a＋b＋c.所以＋＋