虹口区2012学年度第一学期高三年级数学学科
期终教学质量监控测试卷（一模）
（时间120分钟，满分150分）2013.1
一、填空题（每小题4分，满分56分）
1、已知集合，，则．
2、已知向量，，，，如果，则实数
．
3、从甲、乙、丙、丁四个人中任选两名志愿者，则甲被选中的概率是．
4、双曲线的两条渐近线的夹角大小等于．
5、已知，则．
6、在下面的程序框图中，输出的是的函数，记为，则．
7、关于的方程（其中是虚数单位），则方程的解．
8、若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是．
9、在等比数列中，已知，，则．
10、在中，，且，则的面积等于．
11、已知正实数、满足，则的最小值等于．
12、等差数列的前项和为，若，，则．
13、设定义在上的函数是最小正周期为的偶函数，当时，，且在上单调递减，在上单调递增，则函数在上的零点个数为．
14、设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值等于．
二、选择题（每小题5分，满分20分）
15、若是关于的实系数方程的一根，则该方程两根的模的和为（）
510
16、已知、、是空间三条不同的直线，下列命题中正确的是（）
如果，．则．如果，．则、、共面．
如果，．则．如果、、共点．则、、共面．
17、定义域为的函数四个单调区间，则实数满
18、数列满足，其中，设，则等于()．
三、解答题（满分74分）
19、（本题满分12分）在正四棱锥中，侧棱的长为，与所成的角的大小等于．
（1）求正四棱锥的体积；
（2）若正四棱锥的五个顶点都在球的表面上，求此球的半径．
20、（本题满分14分）已知函数．
（1）求函数的最小正周期，最大值及取最大值时相应的值；
（2）如果，求的取值范围．
21、（本题满分14分）已知圆．
（1）直线：与圆相交于、两点，求；
（2）如图，设、是圆上的两个动点，点关于原点的对称点为，点关于轴的对称点为，如果直线、与轴分别交于和，问是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由．
22、（本题满分16分）数列的前项和记为，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）求和；
（3）设有项的数列是连续的正整数数列，并且满足：
．
问数列最多有几项？并求这些项的和．
23、（本题满分18分）如果函数的定义域为，对于定义域内的任意，存在实数使得成立，则称此函数具有“性质”．
（1）判断函数是否具有“性质”，若具有“性质”求出所有的值；若不具有“性质”，请说明理由．
（2）已知具有“性质”，且当时，求在上的最大值．
（3）设函数具有“性质”，且当时，．若与交点个数为2013个，求的值．
上海市虹口区2013届高三一模数学试题
参考答案
一、填空题（每小题4分，满分56分）
1、；2、2；3、；4、；5、；
6、；7、；8、；9、；10、或；
11、9；12、10；13、20；14、；
二、选择题（每小题5分，满分20分）
15、B；16、A；17、C；18、C；
三、解答题（满分74分）
19、(12分)解：（1）取的中点，记正方形对角线的交点为，连，，，则过．
，，又，，得.………………4分
，
正四棱锥的体积等于（立方单位）．………………8分
（2）连，，设球的半径为，则，，在中有，得。…………12分
20、（14分）解：
……………………6分
的最小正周期等于．
当，时，取得最大值2.………………10分
（2）由，得，，
的值域为………………14分
21、（14分）解：（1）圆心到直线的距离．
圆的半径，．………………4分
（2），，则，，，．………………8分
：，得．
：，得．…………12分
………………14分[
22、（16分）解：（1）由得，相减得，即．
又，得，数列是以1为首项2为公比的等比数列，．
………………………………………………5分
（2）由（1）知．
………………………………………………10分
（3）由已知得．
又是连续的正整数数列，．上式化为．……
又，消得．
，由于，，时，的最大值为9.
此时数列的所有项的和为……………………16分
23、（18分）解：（1）由得，根据诱导公式得．具有“性质”，其中．
………………4分
（2）具有“性质”，．
设，则，
……………………6分
当时，在递增，时
当时，在上递减，在上递增，且，时
当时，在上递减，在上递增，且，时
综上所述：当时，；当时，
………………………………11分
（3）具有“性质”，，，
，从而得到是以2为周期的函数。网Z,X,X,K]
又设，则，
．
再设（），
当（），则，
；
当（），则，；
对于，（），都有，而，，是周期为1的函数．
①当时，要使得与有2013个交点，只要与在有2012个交点，而在有一个交点．过，从而得
②当时，同理可得
③当时，不合题意．
综上所述…………………………18分
虹口区2013数学一模（文理）试卷与答案
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