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1.理解命题的概念.2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.
[必备知识]
考点1命题的概念
用语言、符号或式子表达的，可以的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做，判断为假的语句叫做
考点2四种命题及其关系
判断真假
真命题
假命题．
考点3充分条件、必要条件与充要条件的概念
若pq，则p是q的条件，q是p的条件 p是q的条件 pq且qp p是q的条件 pq且qp p是q的条件 pq p是q的条件 pq且qp
充分
必要
充分不必要
必要不充分
充要
既不充分也不必要
[必会结论]
1.两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．
2．两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．
3．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则
(1)若AB，则p是q的充分条件；
(2)若AB，则p是q的必要条件；
(3)若A＝B，则p是q的充要条件；
(4)若AB，则p是q的充分不必要条件；
(5)若AB，则p是q的必要不充分条件；
(6)若A?B且AB，则p是q的既不充分又不必要条件．
[双基夯实]
一、疑难辨析
判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
1．数学中的命题都可以判断真假．()
2．命题“若p，则q”的否定是“若綈p，则綈q”．()
3．若命题“若p，则q”为真命题，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真.()
4．“x>－1”是“x>0”的充分不必要条件.()
5．若命题“若綈p，则綈q”为真，则p是q的充分条件．()
×
√
√
×
×
二、小题快练
1．[2015·山东高考]设mR，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是()
A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0
B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0
C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0
D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0
解析原命题的逆否命题是将条件和结论分别否定，作为新命题的结论和条件，所以其逆否命题为“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．
2．[课本改编]已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“AB”的()
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析若a＝3，则A＝{1,3}，从而AB.若AB，则a＝2或a＝3，从而“a＝3”是“AB”的充分而不必要条件．
3．[2016·金版原创]已知命题p：“若m>6且n>2010，则m＋n>2016”，则命题p的逆命题，否命题及逆否命题中，真命题的个数为()
A．0 B．1
C．2 D．3
解析本题考查四种命题之间的关系及命题真假的判断．由条件可知命题p是真命题，故其逆否命题为真命题；p的逆命题为“若m＋n>2016，则m>6且n>2010”，是假命题，故其否命题也是假命题，因此，命题p的逆命题，否命题及逆否命题中，真命题只有1个．
4．[2015·安徽高考]设p：x<3，q：－1
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析由q：－1
5．[课本改编]命题“任意x[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是()
A．a≥4 B．a≤4
C．a≥5 D．a≤5
解析命题“任意x[1,2]，x2－a≤0”为真命题的充要条件是a≥4.故其充分不必要条件是集合[4，＋∞)的真子集，正确选项为C.
考向四种命题及其相互关系
例1[2015·菏泽模拟]有以下命题：
“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；
“面积相等的三角形全等”的否命题；
“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；
“若A∩B＝B，则AB”的逆否命题．
其中真命题为()
A． B．C． D．
[解析]“若x，y互为倒数，则xy＝1”是真命题；
“面积不相等的三角形一定不全等”，是真命题；
若m≤1，Δ＝4－4m≥0，所以原命题是真命题，故其逆否命题也是真命题；
由A∩B＝B，得BA，所以原命题是假命题，故其逆否命题也是假命题．所以选D.
1．书写否命题和逆否命题的关注点
(1)一些常见词语及其否定表示
词语 是 都是 都不是 等于 大于 否定 不是 不都是 至少一个是 不等于 不大于 (2)构造否命题和逆否命题的方法、注意点
方法：首先要把条件和结论分清楚，其次把其中的关键词搞清楚．
注意点：注意其中易混的关键词，如“都不是”和“不都是”，其中“都不是”是指的一个也不是，“不都是”指的是其中有些不是.
2．四种命题的关系及真假判断
(1)在判断四种命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再分析每个命题的条件与结论之间的关系，要注意四种命题关系的相对性．
(2)判断命题真假的关键：一是识别命题的构成形式；二是将命题简化，对等价的简化命题进行判断．要判断一个命题是假命题，只需举出反例.
【变式训练1】有下列命题：“若x2＋y2＝0，则x，y全是0”的否命题；“全等三角形是相似三角形”的否命题；“若m≥1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集是R”的逆命题；“若a＋7是无理数，则a是无理数”的逆否命题.其中正确的是()
A． B．C． D．
解析否命题为“若x2＋y2≠0，则x，y不全是0”，为真．
否命题为“不全等的三角形不相似”，为假．
逆命题为“若mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集是R，则m≥1”．
当m＝0时，解集不是R，
应有即m>1.
其逆命题是假命题．
原命题为真，逆否命题也为真．
充分条件、必要条件的判断充分条件、必要条件的判断是高考命题的热点，常以选择题的形式出现，作为一个重要载体，考查的知识面很广，几乎涉及数学知识的各个方面，如函数、不等式、三角函数、平面向量、解析几何、立体几何等知识.命题角度1定义法判断充分、必要条件
例2[2015·湖南高考]设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“AB”的()
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析]若A∩B＝A，则有AB；若AB，则必有A∩B＝A.所以“A∩B＝A”是“AB”的充要条件．
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命题角度2集合法判断充分、必要条件
例3[2015·重庆高考]“x>1”是“log(x＋2)<0”的()
A．充要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
[解析]由log(x＋2)<0可得x＋2>1，即x>－1，而{x|x>1}{x|x>－1}，所以“x>1”是“log(x＋2)<0”的充分不必要条件．
命题角度3等价转化法判断充分、必要条件
例4[2013·山东高考]给定两个命题p，q.若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的()
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析]因为綈p是q的必要不充分条件，则q綈p但綈pq，其逆否命题为p綈q但綈qp，所以p是綈q的充分不必要条件．
充要条件的三种判断方法
(1)定义法：根据pq，qp进行判断．
(2)集合法：根据p，q成立的对应的集合之间的包含关系进行判断．
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的何种条件.
【变式训练2】(1)[2015·浙江高考]设a，b是实数，则“a＋b>0”是“ab>0”的()
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析当a＝－2，b＝3时，a＋b>0，但ab<0；当a＝－1，b＝－2时，ab>0，但a＋b<0.所以“a＋b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要条件．
(2)[2015·天津高考]设xR，则“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的()
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析因为|x－2|<1等价于10等价于x<－2或x>1，所以“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的充分而不必要条件．
(3)[2016·上海模拟]钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的()
A．充分条件 B．必要条件
C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件
解析“便宜没好货”等价于“好货不便宜”，故选B.
考向充分条件、必要条件的应用
例5[2016·南昌模拟]已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．
[解]由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，
∴P＝{x|－2≤x≤10}，
由x∈P是x∈S的必要条件，知SP.
则∴0≤m≤3.
所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．
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延伸探究1
本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．
解若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，
∴∴
即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．
延伸探究2
本例条件不变，若綈P是綈S的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
解由例题知P＝{x|－2≤x≤10}，
∵綈P是綈S的必要不充分条件，
∴PS且SP.
∴[－2,10][1－m,1＋m]．
∴或
∴m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞)．
利用充要条件确定有关参数的取值范围
利用充要条件求参数的值或范围，关键是合理转化条件，准确地将每个条件对应的参数的范围求出来，然后转化为集合的运算，一定要注意区间端点值的检验．其思维方式是：
(1)若p是q的充分不必要条件，则pq且qp；
(2)若p是q的必要不充分条件，则pq且qp；
(3)若p是q的充要条件，则p
【变式训练3】(1)已知不等式|x－m|<1成立的充分不必要条件是
A.B.C. D.
解析由题易知不等式|x－m|<1的解集为{x|m－1
∴解得－
∴m＝－及m＝亦满足题意，
∴－≤m≤，故选B.
(2)若“x2－2x－8>0”是“x
解析不等式解集为(－∞，－2)∪(4，＋∞)，题目等价于(－∞，m)是(－∞，－2)∪(4，＋∞)的真子集，故有m≤－2，即m的最大值为－2.
－2
核心规律
判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题.
满分策略
1.当一个命题有大前提时，要写出其他三种命题，必须保留大前提，也就是大前提不动.
2.判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p，则q”的形式.
3.判断条件之间的关系，更注意条件之间的推出方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言.
题型技法系列1——利用函数法判断充要条件
[2014·天津高考]设a，bR，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解题视点]一种方法是直接利用“a>b”是否能推出“a|a|>b|b|”，或“a|a|>b|b|”是否能推出“a>b”来判断；另一种方法是巧妙地构造函数，正确利用函数的单调性．
[解析]解法一：(分类讨论法)当a≥0，b≥0时，由a>b可得a2>b2，即a2＝a|a|>b2＝b|b|，反之由a|a|>b|b|也可得a2>b2，进而得a>b.
当a<0，b<0时，由a>b可得a2
即a2＝－a|a|
于是a|a|>b|b|，反之由a|a|>b|b|也可得－a2>－b2，
即(a－b)(a＋b)<0，进而得a>b.
当a≥0，b<0时，显然a>b且有a|a|>b|b|.
所以“a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件．
解法二：构造函数f(x)＝x|x|，则f(x)在定义域R上为奇函数．因为f(x)＝所以函数f(x)在R上单调递增，所以a>bf(a)>f(b)?a|a|>b|b|.选C.
答题启示?1?本题虽是极常见的充要条件判断问题，但考查判断充要条件的方法即函数法要求的思维深度较高，可以更好地考查数学思想的魅力以及考生的解决问题能力.?2?因为命题的内容与不等式性质联系极为紧密，就会使很多考生围绕不等式的知识去研究二者之间的关系，从而花费极长的时间甚至还不能作出正确的结论.
跟踪训练[2015·四川高考]设a，b都是不等于1的正数，则“3a>3b>3”是“loga3
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析3a>3b>3，a>b>1.∴log3a>log3b>0.
∴<，即loga3
∴3a>3b>3是loga3
当01时，满足loga3
而由3a>3b>3，得a>b>1，所以由loga33b>3，所以3a>3b>3不是loga33b>3是loga3
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