板块三启智培优·破译高考板块四模拟演练·提能增分板块五限时·规范·特训板块一板块二板块四板块五高考一轮总复习·数学（理）板块三高考一轮总复习·数学（理）第7章立体几何第5讲直线、平面垂直的判定及性质板块一知识梳理·自主学习板块二典例探究·考向突破板块一板块二板块四板块五高考一轮总复习·数学（理）板块三
1.能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面及面面垂直的有关性质和判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论，证明一些有关空间图形的位置关系的简单命题.
[必备知识]
考点1直线与平面垂直
1．直线和平面垂直的定义
直线l与平面α内的直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．
2．直线与平面垂直的判定定理
文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的都垂直，则该直线与此平面垂直 l⊥α
任意一条
两条相交直线
3.直线与平面垂直的性质定理
文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线 ?a∥b
平行
考点2平面与平面垂直
1．平面与平面垂直的判定定理
文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的，则这两个平面垂直 α⊥β
一条垂线
2.平面与平面垂直的性质定理
文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于的直线垂直于另一个平面 l⊥α
交线
[必会结论]
直线与平面垂直的五个结论
(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线．
(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．
(4)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
(5)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
[双基夯实]一、疑难辨析
判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
1．垂直于同一个平面的两平面平行．()
2．若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行．()
3．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则αβ.()
4．二面角是指两个相交平面构成的图形．()
5．若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．()
×
×
×
×
×
解析1.错误．两个平面也可能相交.2.错误．两条直线也可能异面或相交.3.错误．α与β不一定垂直.4.错误．二面角是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.5.错误．若平面α平面β，则平面α内的直线l与β可平行，可相交，也可在平面β内．
二、小题快练
1．[课本改编]在空间中，l，m，n，a，b表示直线，α表示平面，则下列命题正确的是()
A．若lα，ml，则mα B．若lm，mn，则mn
C．若aα，ab，则bα D．若lα，la，则aα
解析对于A，m与α位置关系不确定，故A错；对于B，当l与m，m与n为异面垂直时，m与n可能异面或相交，故B错；对于C，也可能bα，故C错；对于D，由线面垂直的定义可知正确．
2．[2016·烟台模拟]已知不重合的直线m，l和平面α，β，且mα，lβ.给出下列命题：若αβ，则ml；若αβ，则ml；若ml，则αβ；若ml，则αβ，其中正确命题的个数是()
A．1 B．2
C．3 D．4
解析因为mα，αβ，所以，mβ，又lβ，所以ml，故正确；
因为mα，αβ，所以mβ或mβ，又lβ，
所以ml或m，l相交或m，l互为异面直线，故不正确；
因为mα，ml，所以lα，又lβ，所以αβ，故不正确，正确．选B.
3．[课本改编]已知m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列条件能使nα成立的是()
A．αβ，nβ B．αβ，nβ
C．αβ，nβ D．mα，nm
解析若αβ，nβ，则n与α平行或相交，即A不一定使nα；αβ，nβ，则nα，故应选B.本题考查了空间直线与平面，平面与平面的几何性质及推理证明．
4．[2016·珠海模拟]在如图所示的四个正方体中，能得出ABCD的是()
解析A中，CDAB；B中，AB与CD成60°角；C中，AB与CD成45°角；D中，AB与CD夹角的正切值为.
5．[2016·济南模拟]已知如图，六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABCDEF.则下列结论不正确的是()A．CD平面PAF
B．DF平面PAF
C．CF平面PAB
D．CF平面PAD
解析A中，因为CDAF，AF平面PAF，CD平面PAF，所以CD平面PAF成立；
B中，因为ABCDEF为正六边形，所以DFAF.
又因为PA平面ABCDEF，所以PADF，又因为PA∩AF＝A，所以DF平面PAF成立；
C中，因为CFAB，AB平面PAB，CF平面PAB，
所以CF平面PAB；而D中CF与AD不垂直，故选D.
考向有关垂直关系的判断
例1(1)[2015·浙江高考]设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且lα，mβ.()
A．若lβ，则αβ B．若αβ，则lm
C．若lβ，则αβ D．若αβ，则lm
[解析]对于面面垂直的判定，主要是两个条件，即lα，lβ，如果这两个条件存在，则αβ.
(2)[2016·德阳二诊]设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列四个命题：
若mβ，αβ，则mα；
若αβ，mα，则mβ；
若nα，nβ，mα，则mβ；
若mα，mβ，则αβ.
其中正确命题的序号是()
A． B．
C． D．
[解析]对于，注意到直线m可能与平面α，β的交线平行，此时结论不成立，因此不正确；对于，此时直线m与平面β必没有公共点，因此mβ，正确；对于，由mα，nα得mn，又nβ，因此mβ，正确；对于，注意到此时平面α，β可能是相交平面，因此不正确．综上所述，其中正确命题的序号是，选D.
判断垂直关系需注意的问题
(1)作图要熟练，借助几何图形来说明线面关系要做到作图快、准，甚至无需作图在头脑中形成印象来判断．
(2)善于寻找反例，只要存在反例，那么结论就被驳倒了．
(3)要思考完整，反复验证所有可能的情况，必要时要运用判定或性质定理进行简单说明.
【变式训练1】(1)已知两个不同的平面α，β和两条不重合的直线a，b，下列说法正确的是()
A．若ab，bα，则aα
B．若aα，bα，aβ，bβ，则αβ
C．若αβ，α∩β＝b，ab，则aβ
D．若aα，bβ，αβ，则ab
解析对于A，根据线面平行的判定，ab，bα，则aα或aα，故A不正确；对于B，根据面面平行的判定，a，b相交时，αβ，故B不正确；对于C，根据面面垂直的性质，当aα，αβ，α∩β＝b，ab时，aβ，故C不正确；对于D，若aα，bβ，αβ，则由直线与平面垂直的性质定理知ab，故D正确．故选D.
(2)已知l，m，n是三条不同的直线，α，β是不同的平面，则αβ的一个充分条件是()
A．lα，mβ，且lm
B．lα，mβ，nβ，且lm，ln
C．mα，nβ，mn，且lm
D．lα，lm，且mβ
解析对于A，若lα，mβ，且lm.如图(1)所示虽满足条件，但α与β不垂直．
对于B，当mn时，也得不到平面α与平面β垂直．
对于C，如图(2)所示条件满足但平面α与平面β不垂直．
对于D，由lm，mβ得lβ，又lα，因此有αβ.
考向直线与平面垂直的判定与性质直线与平面垂直的判定与应用是高考考查垂直关系的一个重要考向.常与线线垂直、面面垂直及平行关系综合出现在解答题中，考查线面垂直的判定定理及其性质.
命题角度1利用线线垂直证明线面垂直
例2如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，ACB＝90°，2AC＝AA1，D，M分别是棱AA1，BC的中点，证明：
(1)AM平面BDC1；
[证明](1)取BC1的中点N，连接DN，MN，则MN綊CC1.
又AD綊CC1，AD∥MN，且AD＝MN，
四边形ADNM为平行四边形，
DN∥AM，又DN平面BDC1，AM平面BDC1，
AM∥平面BDC1.
(2)DC1⊥平面BDC.
[证明](2)由题设知BCCC1，BCAC，
又CC1∩AC＝C，BC⊥平面ACC1A1.
又DC1平面ACC1A1，DC1⊥BC，
又由题设知A1DC1＝ADC＝45°，
CDC1＝90°，DC1⊥DC.又DC∩BC＝C，
DC1⊥平面BDC.
命题角度2利用线面垂直证明线线垂直
例3[2015·广东高考]如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3.
(1)证明：BC平面PDA；
[解](1)证明：长方形ABCD中，BCAD，
又BC平面PDA，AD平面PDA，
BC∥平面PDA.
(2)证明：BCPD；
[解](2)证明：取CD的中点H，连接PH，
PD＝PC，
PH⊥CD.
又平面PDC平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，
PH⊥平面ABCD.
又BC?平面ABCD，
PH⊥BC.
又长方形ABCD中，BCCD，
PH∩CD＝H，
BC⊥平面PDC.
又PD?平面PDC.
BC⊥PD.
(3)求点C到平面PDA的距离．
[解](3)连接AC.
由(2)知PH为三棱锥P－ADC的高．
PH＝＝＝，
SADC＝·AD·CD＝×3×6＝9，
VP－ADC＝·SADC·PH＝×9×＝3.
由(2)知BCPD，又AD∥BC，
AD⊥PD，
S△PDA＝·PD·AD＝×4×3＝6.
设点C到平面PDA的距离为h.
VC－PDA＝VP－ADC，
·S△PDA·h＝3，
h＝＝＝.
1．证明线面垂直的常用方法
(1)利用线面垂直的判定定理．
(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”．
(3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则与另一个也垂直”．
(4)利用面面垂直的性质定理．
2．证明线线垂直的常用方法
(1)利用特殊图形中的垂直关系．
(2)利用等腰三角形底边中线的性质．
(3)利用勾股定理的逆定理．
(4)利用直线与平面垂直的性质.
【变式训练2】如图，已知PA平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，M，N分别是AB，PC的中点．
证明(1)如图所示．取PD的中点E，连接AE，NE，
N是PC的中点，E为PD的中点，
∴NE∥CD，且NE＝CD，
而AMCD，且AM＝AB＝CD，
NE綊AM，
四边形AMNE为平行四边形，
MN∥AE.
又PA平面ABCD，PA⊥CD，
又ABCD为矩形，AD⊥CD.
而AD∩PA＝A，CD⊥平面PAD，
CD⊥AE.又AEMN，MN⊥CD.
(2)若PDA＝45°，求证：MN平面PCD.
证明(2)PA⊥平面ABCD，PA⊥AD，
又PDA＝45°，PAD为等腰直角三角形．
又E为PD的中点，AE⊥PD，
又由(1)知CDAE，PD∩CD＝D，
AE⊥平面PCD.
又AEMN，MN⊥平面PCD.
考向面面垂直的判定与性质例4[2015·课标全国卷]如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE平面ABCD.
(1)证明：平面AEC平面BED；
[解](1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD.
因为BE平面ABCD，所以ACBE.故AC平面BED.
又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED.
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(2)若ABC＝120°，AEEC，三棱锥E－ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积．
[解](2)设AB＝x，在菱形ABCD中，由ABC＝120°，可得
AG＝GC＝x，GB＝GD＝.
因为AEEC，所以在RtAEC中，可得EG＝x.
由BE平面ABCD，知EBG为直角三角形，可得BE＝x.
由已知得，三棱锥E－ACD的体积VE－ACD＝×AC×GD×BE＝x3＝.故x＝2.
从而可得AE＝EC＝ED＝.
所以EAC的面积为3，EAD的面积与ECD的面积均为.
故三棱锥E－ACD的侧面积为3＋2.
1．面面垂直的证明的两种思路
(1)用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线；
(2)用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题．
2．垂直问题的转化关系
【变式训练3】如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，BAD＝60°，Q为AD的中点．
(1)若PA＝PD，求证：平面PQB平面PAD；
解(1)证明：由条件知，PQAD，BQAD，PQ∩BQ＝Q，
AD⊥平面PQB，
AD?平面PAD，平面PQB平面PAD.
(2)点M在线段PC上，PM＝PC，若平面PAD平面ABCD，PA＝PD＝AD，三棱锥M－BCQ的体积为，求点Q到平面PAB的距离．
解(2)PA＝PD，Q为AD的中点，PQ⊥AD.
∵平面PAD平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
PQ⊥平面ABCD.
设PA＝PD＝AD＝2a，则PQ＝a，
SBCQ＝a2，VM－BCQ＝××a2＝a3＝，
a＝1，VQ－PAB＝VP－QAB，
设点Q到平面PAB的距离为h，
PA＝AB＝2，PB＝，
×××h＝××1××，
h＝，即点Q到平面PAB的距离为.
核心规律
1.转化思想：垂直关系的转化
2.在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．故熟练掌握“线线垂直”“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键.
满分策略
1.在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化.
2.面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可.
题型技法系列17——“等体积转化法”求三棱锥的体积
[2015·北京高考]如图，在三棱锥V－ABC中，平面VAB平面ABC，VAB为等边三角形，ACBC且AC＝BC＝，O，M分别为AB，VA的中点．(1)求证：VB平面MOC；
[解](1)证明：如图，因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OMVB.
又因为VB平面MOC，
所以VB平面MOC.
(2)求证：平面MOC平面VAB；
[解](2)证明：因为AC＝BC，O为AB的中点，所以OCAB.
又因为平面VAB平面ABC，且OC平面ABC，
所以OC平面VAB.
所以平面MOC平面VAB.
(3)求三棱锥V－ABC的体积．
[解](3)在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝，
所以AB＝2，OC＝1，所以SVAB＝，
又因为OC平面VAB，
所以VC－VAB＝OC·SVAB＝.
又因为三棱锥V－ABC的体积与三棱锥C－VAB的体积相等，
所以三棱锥V－ABC的体积为.
[解题视点](1)利用三角形中位线的性质得VBMO，再利用线面平行的性质定理证明VB平面MOC；(2)利用已知条件可得OC平面VAB，再利用面面垂直的判定定理证得面面垂直；(3)利用等体积法转化VV－ABC＝VC－VAB，其中CO是点C到底面VAB的距离，即三棱锥VC－VAB的高．
答题启示?1?求体积时，可根据条件灵活运用割补的思想和转换顶点的思想.,?2?利用等体积法能够从侧面迂回地解决一些从正面较难下手的问题——这是数学中的一种重要思想方法.在利用等体积法时我们应该在原图形中寻找到一个较容易计算出面积及其高的面来.
跟踪训练如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，BAD＝60°，PA＝PD＝AD＝2，点M在线段PC上，且PM＝2MC，N为AD的中点．(1)求证：AD平面PNB；
解(1)证明：PA＝PD，N为AD的中点，PN⊥AD，
底面ABCD为菱形，BAD＝60°，BN⊥AD，
PN∩BN＝N，AD⊥平面PNB.
(2)若平面PAD平面ABCD，求三棱锥P－NBM的体积．
解(2)PA＝PD＝AD＝2，
PN＝NB＝，
平面PAD平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PNAD，
PN⊥平面ABCD，
PN⊥NB，
S△PNB＝××＝.
AD⊥平面PNB，ADBC，BC⊥平面PNB.
PM＝2MC，VP－NBM＝VM－PNB＝VC－PNB＝×××2＝.
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